二次函数全章的导学案（无答案）
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文档简介
建立二次函数模型
学习目标:
1.探索并归纳二次函数的定义. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
学习过程:
一、自主学习：
1、函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m= ．
2、下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、①正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式．
②已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式．
4、如果人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式．
5、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．
6、如图2-1-1，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于Q，如果BP=x，△ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y．
课后练习:
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．
2．当m 时，y=（m－2）x是二次函数．
3．已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系．
4．已知：一等腰直角三角形的面积为S，请写出S与其斜边长a的关系表达式，并分别求出a=1，a=，a=2时三角形的面积．
5．下列不是二次函数的是（ ）
A．y=3x2＋4 B．y=－x2 C．y= D．y=（x＋1）（x－2）
6．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数
7．下列函数中，二次函数是（ ）
A．y=6x2＋1 B．y=6x＋1 C．y=＋1 D．y=＋1
8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围．
9．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．
（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；
（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．
抛物线y=x2的图象的作法和性质
学习目标:
经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．掌握利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．能够作为二次函数y=－x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．
学习方法:
探索——总结——运用法.
学习过程:
一、作二次函数y=x的图象。
二、议一议：
1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？
3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？
4.当x取什么值时，y的值最小？
5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。
三、y=x的图象的性质：
四、知识运用：
1、求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．
2、已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
五、练习
1．函数y=x2的顶点坐标为 ．若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ．
2．若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m= ．
3．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕 旋转得到．
六、课后练习
1．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为 ．
2．函数y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点．
3．点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上．
4．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标．
5．若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
6．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36
七、学习反思
二次函数y=ax2＋c的图象的作法和性质
学习目标:
1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．
3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．
学习过程:
一、动手操作、探究：
在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1 和y=-3x2与y=-3x2-1的图象，并比较它们的性质，你可以得到什么结论？
二、知识运用：
1、已知抛物线y=（m＋1）x开口向下，求m的值．
2、k为何值时，y=（k＋2）x是关于x的二次函数？
3、有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m．水位上升3m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10m．（1）求抛物线的表达式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？
三、课后练习
1．抛物线y=－4x2－4的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= ．
2．当m= 时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．
3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x= ，y= ．
4．当m= 时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ．
5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k= ，b= ．
6．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）
A．y=x2 B．y=－x2 C．y=－2x2 D．y=－x2
7．对于抛物线y=x2和y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）
A．两条抛物线关于x轴对称 B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点
8．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（ ）
9．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
12．如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
（1）△AOC的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．
四、学习反思
二次函数的图象
学习目标:
1．会用描点法画出二次函数 与 的图象；
2．能结合图象确定抛物线 与 的对称轴与顶点坐标；
3．通过比较抛物线 与 同 的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;
学习方法:
探索研究法。
学习过程:
动手探究
在同一平面直角坐标系内画出 与 的图象．
二、填写下表：
表一：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
表二：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
三、知识运用
1、二次函数y=ax2＋bx2＋c的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．）
2、二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）
3、在同一坐标系中，函数y=ax2＋bx与y=的图象大致是图中的（ ）
4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x2＋0．9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？
5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2＋（a＋c）x＋c与一次函数y=ax＋c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）
6、抛物线y=ax2＋bx＋c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的表达式是 ．
7、已知二次函数y=（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
二次函数的图象（二）
学习目标:
会用描点法画出二次函数 的图像；
学习方法:
探索研究法。
学习过程:
一、自主探究
1、在平面直角坐标系中，画出函数 的图像并指出它的开口方向，对称轴及顶点坐标．
2、填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
3、我们已知抛物线的开口方向是由二次函数 中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？
4、抛物线 有什么关系？
5、它们的位置有什么关系？
①抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
②抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
③抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
④抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
⑤抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
二、总结、扩展
一般的二次函数，都可以变形成 的形式，其中：
1．a能决定什么？怎样决定的？
2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？
三、课堂作业
1、已知抛物线y=a（x－t－1）2＋t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，抛物线y=x2－2x＋1的顶点是B（如图）．
（1）判断点A是否在抛物线y=x2－2x＋1上，为什么？
（2）如果抛物线y=a（x－t－1）2＋t2经过点B．①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
2、如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=，直线FE交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H，作HM⊥AG于M．设HM=x，矩形AMHN的面积为y．（1）求y与x之间的函数表达式，（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？
二次函数的图象习题课 （一）
学习目标
二次函数的性质
学习过程
一、知识运用：
1、已知点A（－1，－1）在抛物线y=（k2－1）x2－2（k－2）x＋1上．
（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．
2、如图，A、B是直线ι上的两点，AB=4cm，过ι外一点C作CD∥ι，射线BC与ι所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动．设P、Q运动的时间为t秒，当t＞2时，PA交CD于E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求△APQ的面积S与t的函数表达式；（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？
3、 如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线ι上．当CQ两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：
（1）当t=3秒时，求S的值；
（2）当t=5秒时，求S的值；
4、如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．
（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？
（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）
5、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．
（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
6、阅读材料，解答问题．
当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如y=x2－2mx＋m2＋2m－1①，有y=（x－m）2＋2m－1②，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m－1），即
当m的值变化时，x、y的值也随之变化，因而y值也随x值的变化而变化．
把③代入④，得y=2x－1．⑤
可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足表达式y=2x－1．
解答问题：
（1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是 ，其中运用了 公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是 ．
（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2－2mx＋2m2－3m＋1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的表达式．
二次函数的图象习题课（二）
学习目标
二次函数的性质
学习过程
一、知识运用：
1．抛物线y=－2x2＋6x－1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．
2．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c的大致图象为（ ）
3．已知二次函数y=x2－x＋6，当x= 时，y最小= ；当x 时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ．
5．二次函数y=－x2＋bx＋c的图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（ ）
A．b=2，c=4 B．b=2，c=－4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4
6．如图，坐标系中的抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（ ）
A．abc＞0 B．a＋b＋c＜0 C．b＜a＋c D．2c＜3b
7．函数y=ax2＋bx＋c和y=ax＋b在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）
8．已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A（4，2）和B（5，7）．（1）求抛物线的表达式；（2）用描点法画出这条抛物线．
9．如图，已知二次函数y=x2＋bx＋c，图象过A（－3，6），并与x轴交于B（－1，0）和点C，顶点为P．
（1）求这个二次函数表达式；
（2）设D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求D点坐标．
10．已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于．设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积关于x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围．
11．如图2-4-24，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B、C），DE∥CA，交AB于E．设BD=x，△ADE的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）△ADE的面积何时最大，最大面积是多少？（3）求当tan∠ECA=4时，△ADE的面积．
12．已知：如图2-4-25，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm．若△A′B′C′与△ABC完全重合，令△ABC固定不动，将△A′B′C′沿CB所在的直线向左以1cm/s的速度移动．设移动xs后，△A′B′C′与△ABC的重叠部分的面积为ycm2．求：
（1）y与x之间的函数关系；
（2）几秒钟后两个三角形重叠部分的面积等于cm2？
用三种方式表示二次函数（一）
学习目标:
经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
学习方法:
讨论式学习法。
学习过程:
一、做一做：
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式,你能得出什么结论 与同伴交流.
二、试一试：
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的 ？用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗
三、积累：
表示方法 优点 缺点
解析法
表格法
图像法
三者关系
四、知识运用
表示方法 优点 缺点
解析法
表格法
图像法
三者关系
四、例题：
1、已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．
2、一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？
3、行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 60 70
刹车距离（m） 0 1．1 2．4 3．9 5．6 7．5 9．6 11．9
（1）以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；
（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．
4、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
5、美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？
为解决该问题，我们可把该班人数n与握手次数s间的关系用下面的模型来表示．
（1）若把n作为点的横坐标，s作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来．
（2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式．
（3）根据（2）中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手？
用三种方式表示二次函数（二）
学习目标:
经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
学习方法:
讨论式学习法。
一、随堂练习：
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
图① 图②
2．抛物线y=ax2＋bx＋c（c≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是 ；
（2）当x= 时，y=3；
（3）根据图象回答：当x 时，y＞0．
3．已知抛物线y=－x2＋（6－2k）x＋2k－1与y轴的交点位于（0，5）上方，则k的取值范围是 ．
二、课后练习
1．若抛物线y=ax2＋b不经过第三、四象限，则抛物线y=ax2＋bx＋c（ ）
A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴
C．开口向上，对称轴平行于y轴 D．开口向下，对称轴平行于y轴
2．二次函数y=－x2＋bx＋c图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（ ）
A．b=2，c=4 B．b=2，c=4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4．
3．二次函数y= ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①c＜0；②b＞0；③4a＋2b＋c＞0；④（a＋c）2＜b2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．两个数的和为8，则这两个数的积最大可以为 ，若设其中一个数为x，积为y，则y与x的函数表达式为 ．
5．一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为 ．
6．若两个数的差为3，若其中较大的数为x，则它们的积y与x的函数表达式为 ，它有最 值，即当x= 时，y= ．
7．边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数表达式为 ．
8．等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为 ．
9．抛物线y=x2＋kx－2k通过一个定点，这个定点的坐标为 ．
10．如图，图①是棱长为a的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n层，第n层的小正方体的个数记为S，解答下列问题：
（1）按照要求填表：
n 1 2 3 4 …
s 1 3 6 …
（2）写出当n=10时，S= ．
（3）根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．
11．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
三、学习反思：
何时获得最大利润
学习目标:
体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
学习方法:
在教师的引导下自主学习。
学习过程:
一、有关利润问题：
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多
二、做一做--知识运用：
x 3 5 9 11
y 18 14 6 2
1、某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
（1）在所给的直角坐标系甲中：
①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；
②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．
（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．
②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．
2、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为30元/kg，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，日均多售出2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．
（1）求y关于x的二次函数表达式，并注明x的取值范围．
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a（x＋）2＋的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？
三、随堂练习：
1、于二次函数y=ax2＋bx＋c的图象有下列命题：
①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？
3、商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
4、货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？
商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；
（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）
（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；
（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？
某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．
（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．
（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．
（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）
5．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？
6．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
（1）求y与x的函数表达式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
x（10万元） 0 1 2 …
y 1 1．5 1．8 …
最大面积是多少
学习目标:
掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
学习方法:
教师指导学生自学法。
学习过程:
一、自主探究、知识运用：
1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
2、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
3、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？
4、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．
5、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
二、练习：1、某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？
2．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=－x2＋4表示．（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？
（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？
3．在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym2，则y与x之间的函数表达式是 ，自变量x的取值范围是 ．y有最大值或最小值吗？若有，其最大值是 ，最小值是 ，这个函数图象有何特点？
4．一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
5．把3根长度均为100m的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？
6．周长为16cm的矩形的最大面积为 ，此时矩形的边长为 ，实际上此时矩形是 ．
7．当n= 时，抛物线y=－5x2＋（n2－25）x－1的对称轴是y轴．
8．已知二次函数y=x2－6x＋m的最小值为1，则m的值是 ．
9．如果一条抛物线与抛物线y=－x2＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是 ．
10．若抛物线y=3x2＋mx＋3的顶点在x轴的负半轴上，则m的值为 ．
11．将抛物线y=3x2－2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（ ）
A．y=3（x＋2）2＋1 B．y=3（x－2）2－1 C．y=3（x＋2）2－5 D．y=3（x－2）2－2
12．二次函数y=x2＋mx＋n，若m＋n=0，则它的图象必经过点（ ）
A．（－1，1） B．（1，－1） C．（－1，－1） D．（1，1）
13．如图是二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，点P（a＋b，bc）是坐标平面内的点，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．已知：如图1，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交A C于F，设DF=x．（1）求△EDF的面积y与x的函数表达式和自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△EDF的面积最大？最大面积是多少；
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD长．
15．如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？
16．如图3，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上，试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于8dm？
17．如图4，在一直角三角形中建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN．其中DE在AB上，AC=8，BC=6．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85处有一棵大树，问这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？
二次函数与一元二次方程
学习目标:
体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
学习方法:
讨论探索法。
学习过程:
一、自主探究、合作交流：
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？
(2).小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流.
二、议一议：
在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程 x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
三、知识运用：
1、已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围？
2、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．
3、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式，并分析理由
4、你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？
四、课后练习：
1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 ．
2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为 ．
3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．
4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是 ．
5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= ．
6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．
7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 ．
8．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
9．抛物线y=x2－2x＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是 ．
10．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无
11．如图1所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则的值是（ ）
A．－3 B．3 C． D．－
12．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
13．已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．
14．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
15．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．
16．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．
（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．
17．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？
（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？
18．已知抛物线y=x2－（k＋1）x＋k．（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由．
第二章回顾与思考
一、填空题：
⑴．抛物线的对称轴是 .这条抛物线的开口向 .
⑵.用配方法将二次函数化成的形式是 .
⑶．已知二次函数的图象的顶点的横坐标是1，则b= .
⑷. 二次函数的图象的顶点坐标是 ，在对称轴的右侧y随x的增大而
⑸．已知抛物线的顶点坐标是（-2，3），则= .
⑹．若抛物线的顶点在x轴上，则c= .
⑺. 已知二次函数的最小值是1,那么m的值是 .
⑻. 若抛物线经过原点，则m= .
⑼. 已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的负半轴，则m的取值范围是 .
⑽. 若抛物线的顶点在y轴上, 则 m的值是
二、选择题：
若直线y=ax+b不经过一、三象限，则抛物线（ ）.
(A)开口向上，对称轴是y轴; (B) 开口向下，对称轴是y轴;
(C)开口向上, 对称轴是直线x=1; (D) 开口向下，对称轴是直线x=-1;
⑵. 抛物线的顶点坐标是( ).
(A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);
⑶. 若二次函数的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴的正半轴; 则点在（ ）. 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限;
⑷. 对于抛物线,下列结论正确的是（ ）.
对称轴是直线x=3,有最大值为1; (C) 对称轴是直线x=3,有最小值为-1;
对称轴是直线x=-3,有最大值为1; (D ) 对称轴是直线x=-3,有最小值为-1;
⑸．已知直线y=x+m与抛物线相交于两点，则实数m的取值范围是( ).
m﹥; (B)m﹤; (C)m﹥; (D) m﹤.
⑹.若一条抛物线的顶点在第二象限，交于y轴的正半轴，与x轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.
(A)a﹥0,bc﹥0; (B)a﹤0,bc﹤0; (C) a﹤0, bc﹥0; (D) a﹥0, bc﹤0
⑺. 抛物线不经过（ ）.
第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限
⑻. 已知抛物线的顶点坐标是(2,1), 且抛物线的图象经过(3,0)点, 则这条抛物线的解析式是（ ）.
(A) , (B),
(C) ,(D) ,
⑼.在同一直角坐标系中，抛物线与直线y=2x-6的交点个数是( ).
(A)0个; (B)1个; (C)2个; (D)3个.
⑽．已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
三、解答下列各题：
已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，求这个二次函数的解析式.
⑵. 已知抛物线,①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
⑶.已知抛物线(a≠0) 经过(0,1)和(2,-3) 两点.①如果抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围;②若对称轴为x=-1. 求抛物线的解析式.
⑷.围猪圈三间（它的平面图为大小相等的三个长方形），一面利用旧墙，其它各墙（包括中间隔墙）都是木料，已知现有木料可围24米长的墙，试求每间猪圈的长与宽各是多少时总面积最大，并求最大面积.
⑸．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
⑹．已知抛物线的顶点A在直线y=-4x-1上，设抛物线与 x轴交于B,C两点.①求抛物线的顶点坐标;②求△ABC的外接圆的面积（用准确值表示）.
⑺．如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上。
⑴求△ABC中AB边上的高h;
⑵设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积最大？
⑶实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。
D．
C．
B．
A．
学习目标:
1.探索并归纳二次函数的定义. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
学习过程:
一、自主学习：
1、函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m= ．
2、下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、①正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式．
②已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式．
4、如果人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式．
5、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．
6、如图2-1-1，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于Q，如果BP=x，△ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y．
课后练习:
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．
2．当m 时，y=（m－2）x是二次函数．
3．已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系．
4．已知：一等腰直角三角形的面积为S，请写出S与其斜边长a的关系表达式，并分别求出a=1，a=，a=2时三角形的面积．
5．下列不是二次函数的是（ ）
A．y=3x2＋4 B．y=－x2 C．y= D．y=（x＋1）（x－2）
6．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数
7．下列函数中，二次函数是（ ）
A．y=6x2＋1 B．y=6x＋1 C．y=＋1 D．y=＋1
8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围．
9．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．
（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；
（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．
抛物线y=x2的图象的作法和性质
学习目标:
经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．掌握利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．能够作为二次函数y=－x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．
学习方法:
探索——总结——运用法.
学习过程:
一、作二次函数y=x的图象。
二、议一议：
1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？
3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？
4.当x取什么值时，y的值最小？
5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。
三、y=x的图象的性质：
四、知识运用：
1、求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．
2、已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
五、练习
1．函数y=x2的顶点坐标为 ．若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ．
2．若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m= ．
3．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕 旋转得到．
六、课后练习
1．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为 ．
2．函数y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点．
3．点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上．
4．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标．
5．若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
6．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36
七、学习反思
二次函数y=ax2＋c的图象的作法和性质
学习目标:
1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．
3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．
学习过程:
一、动手操作、探究：
在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1 和y=-3x2与y=-3x2-1的图象，并比较它们的性质，你可以得到什么结论？
二、知识运用：
1、已知抛物线y=（m＋1）x开口向下，求m的值．
2、k为何值时，y=（k＋2）x是关于x的二次函数？
3、有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m．水位上升3m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10m．（1）求抛物线的表达式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？
三、课后练习
1．抛物线y=－4x2－4的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= ．
2．当m= 时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．
3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x= ，y= ．
4．当m= 时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ．
5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k= ，b= ．
6．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）
A．y=x2 B．y=－x2 C．y=－2x2 D．y=－x2
7．对于抛物线y=x2和y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）
A．两条抛物线关于x轴对称 B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点
8．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（ ）
9．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
12．如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
（1）△AOC的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．
四、学习反思
二次函数的图象
学习目标:
1．会用描点法画出二次函数 与 的图象；
2．能结合图象确定抛物线 与 的对称轴与顶点坐标；
3．通过比较抛物线 与 同 的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;
学习方法:
探索研究法。
学习过程:
动手探究
在同一平面直角坐标系内画出 与 的图象．
二、填写下表：
表一：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
表二：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
三、知识运用
1、二次函数y=ax2＋bx2＋c的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．）
2、二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）
3、在同一坐标系中，函数y=ax2＋bx与y=的图象大致是图中的（ ）
4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x2＋0．9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？
5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2＋（a＋c）x＋c与一次函数y=ax＋c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）
6、抛物线y=ax2＋bx＋c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的表达式是 ．
7、已知二次函数y=（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
二次函数的图象（二）
学习目标:
会用描点法画出二次函数 的图像；
学习方法:
探索研究法。
学习过程:
一、自主探究
1、在平面直角坐标系中，画出函数 的图像并指出它的开口方向，对称轴及顶点坐标．
2、填写下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
3、我们已知抛物线的开口方向是由二次函数 中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？
4、抛物线 有什么关系？
5、它们的位置有什么关系？
①抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
②抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
③抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
④抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
⑤抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
二、总结、扩展
一般的二次函数，都可以变形成 的形式，其中：
1．a能决定什么？怎样决定的？
2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？
三、课堂作业
1、已知抛物线y=a（x－t－1）2＋t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，抛物线y=x2－2x＋1的顶点是B（如图）．
（1）判断点A是否在抛物线y=x2－2x＋1上，为什么？
（2）如果抛物线y=a（x－t－1）2＋t2经过点B．①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
2、如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=，直线FE交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H，作HM⊥AG于M．设HM=x，矩形AMHN的面积为y．（1）求y与x之间的函数表达式，（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？
二次函数的图象习题课 （一）
学习目标
二次函数的性质
学习过程
一、知识运用：
1、已知点A（－1，－1）在抛物线y=（k2－1）x2－2（k－2）x＋1上．
（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．
2、如图，A、B是直线ι上的两点，AB=4cm，过ι外一点C作CD∥ι，射线BC与ι所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动．设P、Q运动的时间为t秒，当t＞2时，PA交CD于E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求△APQ的面积S与t的函数表达式；（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？
3、 如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线ι上．当CQ两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：
（1）当t=3秒时，求S的值；
（2）当t=5秒时，求S的值；
4、如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．
（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？
（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）
5、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．
（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
6、阅读材料，解答问题．
当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如y=x2－2mx＋m2＋2m－1①，有y=（x－m）2＋2m－1②，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m－1），即
当m的值变化时，x、y的值也随之变化，因而y值也随x值的变化而变化．
把③代入④，得y=2x－1．⑤
可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足表达式y=2x－1．
解答问题：
（1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是 ，其中运用了 公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是 ．
（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2－2mx＋2m2－3m＋1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的表达式．
二次函数的图象习题课（二）
学习目标
二次函数的性质
学习过程
一、知识运用：
1．抛物线y=－2x2＋6x－1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．
2．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c的大致图象为（ ）
3．已知二次函数y=x2－x＋6，当x= 时，y最小= ；当x 时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ．
5．二次函数y=－x2＋bx＋c的图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（ ）
A．b=2，c=4 B．b=2，c=－4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4
6．如图，坐标系中的抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（ ）
A．abc＞0 B．a＋b＋c＜0 C．b＜a＋c D．2c＜3b
7．函数y=ax2＋bx＋c和y=ax＋b在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）
8．已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A（4，2）和B（5，7）．（1）求抛物线的表达式；（2）用描点法画出这条抛物线．
9．如图，已知二次函数y=x2＋bx＋c，图象过A（－3，6），并与x轴交于B（－1，0）和点C，顶点为P．
（1）求这个二次函数表达式；
（2）设D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求D点坐标．
10．已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于．设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积关于x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围．
11．如图2-4-24，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B、C），DE∥CA，交AB于E．设BD=x，△ADE的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）△ADE的面积何时最大，最大面积是多少？（3）求当tan∠ECA=4时，△ADE的面积．
12．已知：如图2-4-25，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm．若△A′B′C′与△ABC完全重合，令△ABC固定不动，将△A′B′C′沿CB所在的直线向左以1cm/s的速度移动．设移动xs后，△A′B′C′与△ABC的重叠部分的面积为ycm2．求：
（1）y与x之间的函数关系；
（2）几秒钟后两个三角形重叠部分的面积等于cm2？
用三种方式表示二次函数（一）
学习目标:
经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
学习方法:
讨论式学习法。
学习过程:
一、做一做：
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式,你能得出什么结论 与同伴交流.
二、试一试：
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的 ？用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗
三、积累：
表示方法 优点 缺点
解析法
表格法
图像法
三者关系
四、知识运用
表示方法 优点 缺点
解析法
表格法
图像法
三者关系
四、例题：
1、已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．
2、一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？
3、行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 60 70
刹车距离（m） 0 1．1 2．4 3．9 5．6 7．5 9．6 11．9
（1）以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；
（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．
4、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
5、美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？
为解决该问题，我们可把该班人数n与握手次数s间的关系用下面的模型来表示．
（1）若把n作为点的横坐标，s作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来．
（2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式．
（3）根据（2）中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手？
用三种方式表示二次函数（二）
学习目标:
经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
学习方法:
讨论式学习法。
一、随堂练习：
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
图① 图②
2．抛物线y=ax2＋bx＋c（c≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是 ；
（2）当x= 时，y=3；
（3）根据图象回答：当x 时，y＞0．
3．已知抛物线y=－x2＋（6－2k）x＋2k－1与y轴的交点位于（0，5）上方，则k的取值范围是 ．
二、课后练习
1．若抛物线y=ax2＋b不经过第三、四象限，则抛物线y=ax2＋bx＋c（ ）
A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴
C．开口向上，对称轴平行于y轴 D．开口向下，对称轴平行于y轴
2．二次函数y=－x2＋bx＋c图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（ ）
A．b=2，c=4 B．b=2，c=4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4．
3．二次函数y= ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①c＜0；②b＞0；③4a＋2b＋c＞0；④（a＋c）2＜b2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．两个数的和为8，则这两个数的积最大可以为 ，若设其中一个数为x，积为y，则y与x的函数表达式为 ．
5．一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为 ．
6．若两个数的差为3，若其中较大的数为x，则它们的积y与x的函数表达式为 ，它有最 值，即当x= 时，y= ．
7．边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数表达式为 ．
8．等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为 ．
9．抛物线y=x2＋kx－2k通过一个定点，这个定点的坐标为 ．
10．如图，图①是棱长为a的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n层，第n层的小正方体的个数记为S，解答下列问题：
（1）按照要求填表：
n 1 2 3 4 …
s 1 3 6 …
（2）写出当n=10时，S= ．
（3）根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．
11．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
三、学习反思：
何时获得最大利润
学习目标:
体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
学习方法:
在教师的引导下自主学习。
学习过程:
一、有关利润问题：
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多
二、做一做--知识运用：
x 3 5 9 11
y 18 14 6 2
1、某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
（1）在所给的直角坐标系甲中：
①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；
②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．
（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．
②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．
2、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为30元/kg，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，日均多售出2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．
（1）求y关于x的二次函数表达式，并注明x的取值范围．
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a（x＋）2＋的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？
三、随堂练习：
1、于二次函数y=ax2＋bx＋c的图象有下列命题：
①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？
3、商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
4、货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？
商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；
（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）
（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；
（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？
某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．
（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．
（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．
（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）
5．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？
6．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
（1）求y与x的函数表达式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
x（10万元） 0 1 2 …
y 1 1．5 1．8 …
最大面积是多少
学习目标:
掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
学习方法:
教师指导学生自学法。
学习过程:
一、自主探究、知识运用：
1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
2、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
3、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？
4、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．
5、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
二、练习：1、某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？
2．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=－x2＋4表示．（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？
（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？
3．在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym2，则y与x之间的函数表达式是 ，自变量x的取值范围是 ．y有最大值或最小值吗？若有，其最大值是 ，最小值是 ，这个函数图象有何特点？
4．一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
5．把3根长度均为100m的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？
6．周长为16cm的矩形的最大面积为 ，此时矩形的边长为 ，实际上此时矩形是 ．
7．当n= 时，抛物线y=－5x2＋（n2－25）x－1的对称轴是y轴．
8．已知二次函数y=x2－6x＋m的最小值为1，则m的值是 ．
9．如果一条抛物线与抛物线y=－x2＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是 ．
10．若抛物线y=3x2＋mx＋3的顶点在x轴的负半轴上，则m的值为 ．
11．将抛物线y=3x2－2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（ ）
A．y=3（x＋2）2＋1 B．y=3（x－2）2－1 C．y=3（x＋2）2－5 D．y=3（x－2）2－2
12．二次函数y=x2＋mx＋n，若m＋n=0，则它的图象必经过点（ ）
A．（－1，1） B．（1，－1） C．（－1，－1） D．（1，1）
13．如图是二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，点P（a＋b，bc）是坐标平面内的点，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．已知：如图1，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交A C于F，设DF=x．（1）求△EDF的面积y与x的函数表达式和自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△EDF的面积最大？最大面积是多少；
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD长．
15．如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？
16．如图3，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上，试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于8dm？
17．如图4，在一直角三角形中建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN．其中DE在AB上，AC=8，BC=6．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85处有一棵大树，问这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？
二次函数与一元二次方程
学习目标:
体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
学习方法:
讨论探索法。
学习过程:
一、自主探究、合作交流：
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？
(2).小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流.
二、议一议：
在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程 x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
三、知识运用：
1、已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围？
2、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．
3、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式，并分析理由
4、你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？
四、课后练习：
1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 ．
2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为 ．
3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．
4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是 ．
5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= ．
6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．
7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 ．
8．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
9．抛物线y=x2－2x＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是 ．
10．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无
11．如图1所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则的值是（ ）
A．－3 B．3 C． D．－
12．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
13．已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．
14．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
15．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．
16．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．
（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．
17．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？
（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？
18．已知抛物线y=x2－（k＋1）x＋k．（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由．
第二章回顾与思考
一、填空题：
⑴．抛物线的对称轴是 .这条抛物线的开口向 .
⑵.用配方法将二次函数化成的形式是 .
⑶．已知二次函数的图象的顶点的横坐标是1，则b= .
⑷. 二次函数的图象的顶点坐标是 ，在对称轴的右侧y随x的增大而
⑸．已知抛物线的顶点坐标是（-2，3），则= .
⑹．若抛物线的顶点在x轴上，则c= .
⑺. 已知二次函数的最小值是1,那么m的值是 .
⑻. 若抛物线经过原点，则m= .
⑼. 已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的负半轴，则m的取值范围是 .
⑽. 若抛物线的顶点在y轴上, 则 m的值是
二、选择题：
若直线y=ax+b不经过一、三象限，则抛物线（ ）.
(A)开口向上，对称轴是y轴; (B) 开口向下，对称轴是y轴;
(C)开口向上, 对称轴是直线x=1; (D) 开口向下，对称轴是直线x=-1;
⑵. 抛物线的顶点坐标是( ).
(A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);
⑶. 若二次函数的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴的正半轴; 则点在（ ）. 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限;
⑷. 对于抛物线,下列结论正确的是（ ）.
对称轴是直线x=3,有最大值为1; (C) 对称轴是直线x=3,有最小值为-1;
对称轴是直线x=-3,有最大值为1; (D ) 对称轴是直线x=-3,有最小值为-1;
⑸．已知直线y=x+m与抛物线相交于两点，则实数m的取值范围是( ).
m﹥; (B)m﹤; (C)m﹥; (D) m﹤.
⑹.若一条抛物线的顶点在第二象限，交于y轴的正半轴，与x轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.
(A)a﹥0,bc﹥0; (B)a﹤0,bc﹤0; (C) a﹤0, bc﹥0; (D) a﹥0, bc﹤0
⑺. 抛物线不经过（ ）.
第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限
⑻. 已知抛物线的顶点坐标是(2,1), 且抛物线的图象经过(3,0)点, 则这条抛物线的解析式是（ ）.
(A) , (B),
(C) ,(D) ,
⑼.在同一直角坐标系中，抛物线与直线y=2x-6的交点个数是( ).
(A)0个; (B)1个; (C)2个; (D)3个.
⑽．已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
三、解答下列各题：
已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，求这个二次函数的解析式.
⑵. 已知抛物线,①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
⑶.已知抛物线(a≠0) 经过(0,1)和(2,-3) 两点.①如果抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围;②若对称轴为x=-1. 求抛物线的解析式.
⑷.围猪圈三间（它的平面图为大小相等的三个长方形），一面利用旧墙，其它各墙（包括中间隔墙）都是木料，已知现有木料可围24米长的墙，试求每间猪圈的长与宽各是多少时总面积最大，并求最大面积.
⑸．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
⑹．已知抛物线的顶点A在直线y=-4x-1上，设抛物线与 x轴交于B,C两点.①求抛物线的顶点坐标;②求△ABC的外接圆的面积（用准确值表示）.
⑺．如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上。
⑴求△ABC中AB边上的高h;
⑵设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积最大？
⑶实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。
D．
C．
B．
A．