中小学教育资源及组卷应用平台
5.2.2 同角三角函数的基本关系(一)
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 同角三角函数的基本关系
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z)．
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
2.同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
(2)tan α＝的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝.
注意点：
(1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立．
(2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
(3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A.tan α＝－ B.cos α＝－ C.sin α＝－ D.tan α＝
答案：B
解析：由商数关系可知A、D均不正确，当α为第二象限角时，cos α<0，sin α>0，故B正确．
题后反思：熟记同角三角函数的基本关系，为后面的知识学习做铺垫.
2.若sin θ＋cos θ＝1(θ≠，k∈Z)，则θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
答案：A
3.已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于( )
A. B.－ C. D.－
答案：B
解析：由条件知sin α＝－＝－＝－.
题后反思：已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法:①若已知sin α＝m，先求cos α＝±，再由公式tan α＝求tan α；②若已知cos α＝m，先求sin α＝±，再由公式tan α＝求tan α；③若已知tan α＝m，则tan α＝＝m sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，通过方程组求解；④注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数值的符号．
4.已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案：C
解析：∵α是第二象限角，∴cos α<0.又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－，∴cos α＝－.
5.已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
A. B．± C. D．－
答案：C
解析：由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，解得sin θcos θ＝.
题后反思：关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值．
6.已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A.－ B.－ C. D.
答案：B
解析：sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
题后反思：基本公式的运用，平方差公式与三角函数平方关系的综合运用.
7.已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )
A.－ B. C.－ D.
答案：D
解析：sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝，又tan θ＝2，故原式＝＝.
题后反思：注意所求式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代 换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式．
8.已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值是( )
A. B.－ C. D.－
答案：D
解析：∵sin α＋cos α＝，∴2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－1＝－，∴(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝，∴sin α－cos α＝±.∵α∈(0，π)，sin αcos α<0，∴α∈(，π)，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝.由解得从而tan α＝－.
题后反思：对于这类利用已知α的一个三角函数值或者几种三角函数值之间的关系及α的范围，求其他三角函数值的问题，利用平方关系和商数关系求解．关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析出解决问题的突破口．
9.已知f(x)＝－，x∈，则f 等于( )
A.2 B.－4 C.0 D.
答案：A
解析：f(x)＝－＝－
＝－＝－＝－，因为x∈，所以f(x)＝－＝－2tan x，则f ＝－2tan ＝－2×(－)＝2.
10. (多选)＋的值可能为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：BD
解析：令f(x)＝＋＝＋，当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，则f(x)＝2＋1＝3，当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，则f(x)＝2－1＝1，当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，则f(x)＝－2－1＝－3，当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，则f(x)＝－2＋1＝－1.
二、填空题
11.若α为第三象限角，则＋的值为 ．
答案：－3
解析：∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，∴原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
12.已知sin αcos α＝且<α<，则cos α－sin α＝ .
答案：－
解析：(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，∵<α<，∴cos α13.已知tan α＝－，则的值是 ．
答案：－
解析：原式＝＝＝＝＝－.
14.若sin A＝，且A是三角形的一个内角，求的值是 ．
答案：6或－
解析：∵sin A＝>0，∴A为锐角或钝角，当A为锐角时，cos A＝＝，∴原式＝6.当A为钝角时，cos A＝－＝－，∴原式＝＝－.
题后反思：使用开方关系sin α＝±和 cos α＝± 时，一定要注意正负号 的选取，确定正负的依据是角α所在的象限，如果角 α所在的象限是已知的，则按三角函 数值在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需按象限进行讨 论．
15.设a>0且a≠1，若loga(sin x－cos x)＝0，则sin8x＋cos8x＝ .
答案：1
解析：因为a>0且a≠1，若loga(sin x－cos x)＝0，则sin x－cos x＝a0＝1，所以(sin x－cos x)2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝1，又sin2x＋cos2x＝1，所以sin xcos x＝0，又由(sin2x＋cos2x)2＝sin4x＋cos4x＋2sin2x·cos2x＝1，得sin4x＋cos4x＝1，所以sin8x＋cos8x＝(sin4x＋cos4x)2－2sin4x·cos4x＝(sin4x＋cos4x)2＝1.
题后反思：函数是高中学习的一条主线，在学习的过程中要把学过的基本初等函数连贯起来.
三、解答题
16.已知sin α－cos α＝－，求tan α＋的值．
解：tan α＋＝＋＝＝.
∵sin α－cos α＝－，
∴1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－，
∴＝－8.
17.已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α. (3)；(4)2sin2α－3sin αcos α.
解：(1)原式＝＝.
(2)原式＝＝＝＝.
(3)原式＝＝＝＝－7＋4.
(4)原式＝＝＝＝＝.
题后反思：①关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值；②注意(2) (4)两式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代 换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式．
18.已知＝，求下列各式的值．(1)；
(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.
解：由已知＝，∴＝，解得tan θ＝2.
(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ＝＝＝－.
19.已知sin α＋cos α＝－，其中0<α<π，求sin α－cos α的值．
解：因为sin α＋cos α＝－，所以(sin α＋cos α)2＝，所以1＋2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝－.
因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.
又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
所以sin α－cos α＝.
题后反思：对于这类利用已知α的一个三角函数值或者几种三角函数值之间的关系及α所在的象限，求其他三角函数值的问题，我们可以利用平方关系和商数关系求解．其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析出解决问题的突破口．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
高中数学(新RJ·A)必修第一册5.2.2 同角三角函数的基本关系(一) 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
5.2.2 同角三角函数的基本关系(一)
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 同角三角函数的基本关系
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z)．
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
2.同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
(2)tan α＝的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝.
注意点：
(1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立．
(2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
(3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A.tan α＝－ B.cos α＝－ C.sin α＝－ D.tan α＝
2.若sin θ＋cos θ＝1(θ≠，k∈Z)，则θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
3.已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于( )
A. B.－ C. D.－
4.已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α等于( )
A.－ B.－ C.－ D.－
5.已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
A. B．± C. D.－
6.已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A.－ B.－ C. D.
7.已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )
A.－ B. C.－ D.
8.已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值是( )
A. B.－ C. D.－
9.已知f(x)＝－，x∈，则f 等于( )
A.2 B.－4 C.0 D.
10. (多选)＋的值可能为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题
11.若α为第三象限角，则＋的值为 ．
12.已知sin αcos α＝且<α<，则cos α－sin α＝ .
13.已知tan α＝－，则的值是 ．
14.若sin A＝，且A是三角形的一个内角，求的值是 ．
15.设a>0且a≠1，若loga(sin x－cos x)＝0，则sin8x＋cos8x＝ .
三、解答题
16.已知sin α－cos α＝－，求tan α＋的值．
17.已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α. (3)；(4)2sin2α－3sin αcos α.
18.已知＝，求下列各式的值．(1)；
(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.
19.已知sin α＋cos α＝－，其中0<α<π，求sin α－cos α的值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
高中数学(新RJ·A)必修第一册5.2.2 同角三角函数的基本关系(一) 1/1
