高中数学必修第一册人教A版（2019）《3.3幂函数---幂函数应用》名师课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
人教A版同步教材名师课件
幂函数
---幂函数的应用
幂函数
一般地，函数叫做幂函数（power function），其中是自变量，是常数.
新知复习
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
(1,1)
R
R
R
R
R
在R上增
在（-∞，0)上减，
观察幂函数图象，结论写在右表:
在R上增
在［0，+∞）上增，
在（-∞，0]上减,
在［0，+∞）上增，
在(0，+∞)上减
新知复习
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系
在第一象限内，
当α＞０时，图象随增大而上升
当α＜０时，图象随增大而下降
新知复习
不管指数是多少,图象都经过哪个定点
在第一象限内，
当α＞０时，图象随增大而上升
当α＜０时，图象随增大而下降
图象都经过点（1，1）
α＞０时,图象还都过点(0,0)点
新知复习
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1);
(2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数；
(3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；
(4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
幂函数的性质
(5)所有的幂函数的图像都不过第四象限。
新知复习
典例讲解
例1、点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，问当x为何值时，有：①？②？③ ？
根据题意求出和的解析式，再利用图象判断即可.
思路分析
解析
设，则由题意得，
,即.
设，则由题意得，
,即.
典例讲解
例1、点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，问当x为何值时，有：①？②？③ ？
解析
在同一坐标系中作出和的大致图象，如图，
由图象可知：
①当或时，；
②当时，；
③当且时， .
求幂函数解析式时，首先要看形式，然后利用待定系数法求解,或者结合图象与已知条件确定参数的值或取值范围，需要灵活掌握求解方法，把握其关键点.
变式训练
解析
1.已知函数的图象如图所示，那么 ( )
B
利用性质“在第一象限内，直线右侧部分的图象，由下向上幂函数的幂指数越来越大”，知选B.
A. B. C . D.
解析
2.若幂函数的图象不过原点，则 ( )
A. B.或 C. D.
若是幂函数，则必有，得，由函数图象不过原点，可知，则或.
B
典例讲解
解析
例2、给出下列函数：①；②；③.其中满足条件的函数的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
作出的图象，由图可知，故①不符合题意；
典例讲解
解析
例2、给出下列函数：①；②；③.其中满足条件的函数的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
作出的图象，由图可知，，故②不符合题意；
典例讲解
解析
例2、给出下列函数：①；②；③.其中满足条件的函数的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B
作出的图象，由图可知满足条件，故③符合题意.
综上所述满足条件的函数的个数是2.
方法归纳
1.设函数在上有定义，若对于中任意不同的两数都成立，则称在上是上凸的函数，即上凸函数.
方法归纳
2.设函数在上有定义，若对于中任意不同的两数都成立，则称在上是下凸的函数，即下凸函数.
方法归纳
3.幂函数图象的上凸、下凸：在第一象限内，①当时，曲线上凸；②当时，曲线下凸；③当时，曲线下凸.如图.
变式训练
解析
3.函数的图象是 ( )
B
幂函数的图象过定点，可排除选项A、D.在直线的右侧函数的图象应在直线下方.故选B.
典例讲解
解析
例3、比较下列各组数据的大小：
(1)；(2)；(3).
(1)(2)两组数可以借助幂函数的单调性来比较，(3)需引入中间量进行比较
思路分析
(1)幂函数在上为减函数，又，.
(2) 幂函数在上为增函数，
又，，从而，即.
(3)，
.
方法归纳
(1)比较幂的大小的三种基本方法
(2)利用幂函数单调性比较大小时要注意：比较大小的实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小.
变式训练
解析
4.比较下列各组数的大小.
(1)与；
(2)；
(3).
(1)∵幂函数在(0，+∞)上是单调递增的，且，
.
(2)∵幂函数在上是单调递减的，且，
.
变式训练
解析
4.比较下列各组数的大小.
(1)与；
(2)；
(3).
(3)作出与在第一象限的图象，
，即.
典例讲解
解析
例4、若，则实数a的取值范围是_________.
因为幂指数都是，所以可构造对应幂函数，再利用幂函数的单调性列出与a有关的不等式组，即可求解.
思路分析
令，则的定义域是，且在上单调递减，则原不等式等价于解得.
方法归纳
(1)确定可以利用的幂函数；
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；
(3)解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用.
利用幂函数的性质解不等式的步骤
变式训练
解析
5.已知幂函数的图象过点，则满足的实数a的取值范围是_______________.
因为幂函数的图象过点，所以,则，所以，易知在上是减函数，所以不等式等价于或或，解得或.
变式训练
解析
∵ 函数在上单调递减，，解得.
∵.∵函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，故.由题意得.
在上均单调递减，
当和都在区间 上时，
则解得即;
6.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上函数值y随x的增大而减小，求满足的实数a的取值范围.
变式训练
解析
6.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上函数值y随x的增大而减小，求满足的实数a的取值范围.
当和都在区间上时，
则解得解集为.
当和在不同单调区间时，
则解得即.
综上，.