高中数学必修第一册人教A版（2019）《3.3幂函数》教材分析

3.3幂函数
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：五个幂函数的图象与性质.
难点：画和的图象，通过5个幂函数的图象概括出它们的共性.
三、教科书编写意图及教学建议
教科书将幂函数的内容安排在函数的一般概念和性质之后，是高中阶段研究的第一类具体函数.教学中应注意通过对幂函数的讨论，引导学生加强对前面所学函数知识的理解和应用，体会研究具体函数的基本内容、过程和方法.
根据《标准（2017版）》的要求，教科书从实际问题中得到5个常用的幂函数，通过归纳它们的共性，给出幂函数概念.教学时，只需对这5个函数的图象和性质进行认识，不必拓展到对一般幂函数的讨论.教学重点在于利用一般函数的概念、图象与性质研究这5个幂函数，体会研究一类函数的“基本套路”.因此，本节内容的学习可以看成是一般函数概念与性质的下位学习.
1.幂函数的定义
（1）教科书首先给出5个实例，目的是引出5个常用的幂函数，同时也体现了函数是刻画实际问题的重要模型.从第四个实际问题中获得的函数为，由于教科书将分数指数幂的内容安排在第四章“指数函数”中，因此这里用边框的形式直接指出也可以表示为.因为这里不涉及分数指数幂的运算，所以教学中不必做过多解释.
（2）教科书在给出5个实例后安排了观察栏目.实际上，其中有3个函数是学生在初中已经接触过的，它们分别是正比例函数、反比例函数和二次函数，这里要求学生从另一个角度看它们.因此，应引导学生从指数幂的形式入手，观察5个函数解析式中的底数、指数的共性，得出它们“都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数”，由此概括解析式的共性，获得幂函数的定义.
（3）在获得幂函数的定义后，教科书设置了“思考”，引导学生回顾以往学习函数的经验，提出研究幂函数的基本内容和思路.教学中应引导学生回忆初中学习函数的过程，结合前面研究一般函数的内容，明确研究一类具体函数的基本过程：
①根据函数的解析式求出函数的定义域；
②画出函数的图象；
③利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等.
2.5个幂函数的图象
教科书直接在一个坐标系中给出了5个幂函数的图象.5个函数中，，，都是学生熟悉的，很容易画出图象；和的图象，在教学中应引导学生结合函数的解析式进行描点作图得到函数图象，要提醒学生取点时应注意代表性.最后，可以利用信息技术，在同一平面直角坐标系中画出5个函数的图象，便于学生观察它们的共性和个性，为得出性质奠定基础.
3.幂函数的性质
教科书在函数图象后给出了一个探究栏目，引导学生通过函数的图象和解析式探索函数的性质.
在明确了函数的研究内容，画出了函数图象后，应放手让学生展开自主探究。学生通过观察图象，应当比较容易地填写表3.3-1.进一步，教师可以引导学生从“共性”与“个性”两个角度继续观察，容易发现函数图象都过一个公共点，并且与其他函数不同，它具有无限靠近轴和轴的趋势.
在引导学生探究的过程中，应注意提醒学生从函数图象和解析式两个角度认识函数的性质，从解析式中可以获得定义域、奇偶性等性质，这些性质也可以反过来帮助作图，使研究解析式和作函数图象相辅相成.
4.例题、练习与习题的处理
（1）本节例题要求利用函数单调性的定义证明的单调性.由于之前幂函数的基本性质是由图象观察得来，这里对的单调性给予严格证明，一方面弥补了由图象归纳性质的不严谨，另一方面也是对刚刚学习的一般函数单调性定义的应用.在用单调性定义证明函数单调性的过程中，难点一般在代数变形上.这里采用分子有理化的方法，这也是代数变形中常用的方法，可以培养学生的数学运算素养.
（2）教学中还可让学生选取其他几个性质进行证明，以训练学生的代数推理技能.
（3）练习中的3个题目，第1题体现了幂函数定义的应用；第2题体现了幂函数单调性在比较大小中的应用，教学中应注意不要用实数的性质直接去比较大小，应选取合适的幂函数模型，利用幂函数的单调性比较大小；第3题体现了对幂函数的单调性和奇偶性严格的推理证明，也体现了对前面函数性质的应用，教学中应注意作差之后的因式分解是证明的难点，必要时可以对因式分解的过程进行引导.