高中数学必修第一册人教A版（2019）《3.3幂函数》教学设计

《幂函数》教学设计
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.幂函数的概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 逻辑推理 【考查内容】 本节内容很少单独命题,幂函数要求相对较低,常与指数函数、对数函数综合,比较幂值的大小 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.幂函数的图象 直观想象 逻辑推理
3.幂函数的性质 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
幂函数是高中数学中的四大基本初等函数之一,通过本节学习,学生将建立幂函数这一函数模型,并能用系统的眼光看待以前的函数,确立利用函数的定义域、值城、单调性、奇偶性研究一个函数的意识.在考试中单独考查函数的情形并不多见,更多的是和其他函数知识相结合进行综合性的考查.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.幂函数的概念 2.幂函数的图象 3.幂函数的性质 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
学生在初中已经学习了这三个简单的幂函数的图象和性质有了一定的认识,具备了一定的知识基础.并且,通过前面对函数及其基本性质的进一步学习,学生已初步形成对数学问题的合作探究能力.
虽然学生已经学会用描点法画函数的图象,但对于幂函数的图象画法仍然缺乏感性认识.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.幂函数的概念
2.幂函数的图象
3.幂函数的性质
【教学目标设计】
1.了解幂函数的定义,能区别幂函数与指数函数.
2.通过作出一些简单幂函数的图象,能根据图象描述出这些简单幂函数的一些基本性质.
3.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小比较.
【教学策略设计】
教学中,可以让学生通过观察五个函数的图象,自己尝试归纳五个幂函数的基本性质,不必在一般的幂函数上作引申和过多的介绍.要充分利用多媒体教学,直观形象地让学生了解幂函数图象的变化规律,提升学生直观想象素养,同时使学生认识到现代技术在教学认知过程中的作用.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有_________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
五个幂函数的图象与性质.
难点:
1.画和的图象,通过五个幂函数的图象概括出它们的共性.
2.根据幂函数的单调性比较两个幂值的大小.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师：前面学习了函数的概念,利用函数概念和对图象的观察,研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数——幂函数.
【设计意图】
回顾前面学习过的函数的概念和基本性质,激发学生兴趣,引出课题.
教学精讲
探究1 幂函数的概念
师:先看几个实例.
【情境设置】
探究幂函数的概念
观察:(1)~(5)中的函数解析式,它们有什么共同特征
(1)如果张红以1元/的价格购买了某种蔬菜.那么她需要支付元,这里是的函数.
(2)如果正方形的边长为,那么正方形的面积,这里是的函数.
(3)如果立方体的棱长为,那么立方体的体积,这里是的函数.
(4)如果一个正方形场地的面积为,那么这个正方形的边长,这里是的函数.
(5)如果某人内骑车行进了,那么他骑车的平均速度,即.这里是的函数.
【学生思考后回答问题,教师提示:也可以表示为】
生:这些函数的解析式都具有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量;幂的指数是常数,分别是;它们都是形如的函数.
【先学后教】
学生阅读、思考、交流、探究幂函数的概念,教师引导,培养学生的观察、归纳能力,体现了先学后教的教学策略.
师:下面请看幂函数的定义.
【要点知识】
幂函数的定义
一般地,函数叫做幂函数(power function),其中是自变量,是常数.
师:幂的指数除了可以取整数之外,还可以取其他实数,当它们取其他实数时幂也具有各自的含义,这些会在后面学习.
师:幂函数有哪些特征 【提示:分析幂函数的系数、底数、指数】
生:的系数是的底数是自变量;的指数是常数.
师:只有函数满足这三个条件,才是幂函数.
师:请同学们举出一个具体的幂函数.
【学生思考,举例,教师给予肯定或补充】
探究2 幂函数的图象
【情境设置】
探究幂函数的图象
在同一坐标系画出下面这5个函数的图象.
(1).(2).(3).(4).(5).
【教师引导学生自己动手在同一坐标系画出这5个函数的图象,教师利用软件画出这5个函数的图象并展示】
【观察记忆能力】
通过画5个基本函数的图象探究幂函数的图象,激发学生的学习兴趣,同时培养学生的观察记忆能力.
探究3 幂函数的性质
师:知道了幂函数的图象,幂函数的性质是什么 请大家填写下面的表格.
【情境设置】
探究幂函数的性质和图象的变化规律
观察函数图象并结合函数解析式,将你发现的结论写在下表内.
定义域
值域
奇偶性
单调性
这些函数图象有公共点吗
【学生观察图象,分组讨论,完成表格】
师:所有图象都过第几象限 所有图象都不过第几象限 为什么
生:所有图象都过第一象限,都不过第四象限,因为当时,所有幂函数都有意义,且函数值都为正.
师:所有图象都过哪些点
生:都过点.
师:什么样的幂函数的图象过原点 什么样的幂函数的图象不过原点
生:幂的指数为正数时,函数图象都过原点,幂的指数都为负数时,函数图象不过原点.
师:图象在第一象限的位置关系是什么样的
生:当时,指数小的图象在图象的上方,当时,指数大的图象在图象的上方.
【概括理解能力】
学生观察函数图象,填写表格,并概括幂函数的性质,教师规范语言,培养学生的概括理解能力.
师:这就是这5个幂函数的性质,下面我们来看这样一道题.
【典型例题】
证明幂函数的单调性
例 证明幂函数是增函数.
【学生独立完成,并展示证明过程,教师给予肯定或补充】
师:像上题,用与0比较大小证明幂函数的单调性,就是作差法,还可以用作商法证明幂函数的单调性,比较分子、分母的大小时,要注意分母的符号.
【推测解释能力】
利用定义法证明幂函数的单调性.通过此类问题的演练,培养学生的推测解释能力.
师:接下来应用所学知识,解决下面问题.
【巩固练习】
幂函数
1.已知幂函数的图象过点,求这个函数的解析式.
2.利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:
(1).
3.根据单调性和奇偶性的定义证明函数的单调性和奇偶性.
师:本节课我们学习了幂函数的什么知识点
【课堂小结】
幂函数
【设计意图】
通过学生归纳总结用导图的形式表示幂函数的知识点,提升学生的归纳总结能力和对知识的结构化了解.
教学评价
学完本节课,学生应对幂函数的概念、图形和性质有了深刻理解,并且能够熟练解决相应函数问题.
应用所学知识,完成下题:
已知幂函数的图象关于轴对称,且在上是减函数,则满足的的取值范围是_______.
解析:根据函数的奇偶性求出的值后,依据幂函数的性质和图象建立关于的不等式是解决本题的关键.可借助函教的图象直观地分析,得出结果.具体解题过程如下:
∵函数在上是减函数,∴,解得.
又∵函数图象关于轴对称,∴函数为偶数.
又∵为奇数,为偶数,∴.
又∵在上均为减函数,由,得或或.解得或.
答案:
【设计意图】
引导学生根据幂函数的图象解决问题,学以致用,进一步巩固所学知识,提升学生观察记忆、概括理解、推测解释的能力和数学抽象、直观图象、逻辑推理素养.
教学反思
学生在理解幂函数的呈现形式时容易出错.本教学设计在总结、归纳幂函数的定义时较清晰、具体地指出了幂函数的特点,同时还安排了一些习题来加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解,较好地突破了易错点和重点.习题涉及对函数的性质(单调性)和概念的考查,但没有涉及解析式和图象,比如已知幂函数过某点求其解析式、分段函数与幂函教的综合题等.教师在讲课过程中酌情添加会用代入法、换元法求函数的解析式,容易出错的地方一个是分段函数的定义域和值域问题,另一个是换元法求解析式中前后x的含义不同,取值范围也不同,需要重点关注.
【以学定教】
综合幂函数的定义、图象和性质,深层理解幂函数的图象与性质之间的关系,从而解决问题.
【以学论教】
本节课是对幂函数的学习,在一系列函数解析的观察中接受新知识,并从概念、图象和性质入手探究幂函数,在体会幂函数的研究过程中,会用幂函数解决相应问题.教学中保持知识的科学性和系统性.有助于学生认同新概念的合理性,便于加深学生对幂函数概念、图象和性质理解,提高学生的应用意识.
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