高中数学必修第一册人教A版（2019）《3.3幂函数》教学设计二

《幂函数》教学设计
教学设计
【活动1】出示教材中的5个具体实例，思考问题，概括出幂函数的定义.
1.它们的对应关系分别是什么？
提示：分别为：乘1；求平方；求立方；求算术平方根；求-1次幂.
2.以上问题中的函数有什么共同特征？
提示：上面问题涉及的函数，均是以自变量为底数的幂的形式，幂的指数都是常数，自变量前的系数都是1，幂前的系数也为1.综上，形如：，其中是自变量，是常数.
设计意图：引导学生从具体的实例中进行总结，提高学生的参与程度，符合学生的认知规律.提高学生观察、概括归纳能力，较自然地引出幂函数的一般特征，提升数学抽象素养.
【师生互动】教师提问题，让学生讨论、总结.小组展示成果，教师点评，并板书幂函数的定义.
【活动2】定义判断，概念深化.
设计意图：加深学生对幂函数定义的理解.
【师生互动】师：判断下列函数是否是幂函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
生：（1）是；（2）是；（3）不是；（4）是；（5）不是；（6）不是.
【活动3】幂函数性质的探究.
1.5个幂函数的图象：
2.教材第90页表3.3-1：
定义域
值域
单调性 增 减 减 增 增 增 减
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
公共点
3.幂函数的性质：
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点.
（2）时，幂函数的图象都通过原点，并且在上是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
特别地，当时，，的图象都在图象的下方，形状向下凸.越大，下凸的程度越大（视学生情况进行说明）.
当时，，的图象都在的图象上方，形状向上凸，越小，上凸的程度越大（视学生情况进行说明）.
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.
【师生互动】教师让学生在同一坐标系中画5个幂函数的图象；利用计算机辅助画图并展示，让学生对比找出自己所作图象的不足；让学生概括幂函数的性质.
学生画图象；对照教师所作图象找不足；探究幂函数的性质并完成教材第90页表3.3-1.
【活动4】新知应用.
例1 证明幂函数是增函数.
证明：函数的定义域是.
，，且，
有.
因为，，
所以，即幂函数在上是增函数.
小结：以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性.
例2 利用幂函数的性质，比较下列各组中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），.
分析：分别考查幂函数，，，利用它们的单调性即可比较大小.
解：（1）因为幂函数在上是增函数，且，所以，即；
（2）因为幂函数在上是增函数，且，
所以，即；
（3）因为幂函数在上是减函数，且，所以，即.
课堂练习
1.下列函数中，是幂函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.幂函数的图象与轴和轴均无交点，并且图象关于原点对称，求和.
课堂练习答案：
1.C
2.，，3，5，7.
【师生互动】教师引导学生寻找例题的解题思路，并让学生板演，其他学生在草稿纸上完成.教师巡视学生答题情况，并适时给予指导和点评.课堂练习部分采用学生抢答的方式进行，教师记录答案，学生进行补充，教师最后点评.
【活动5】小结及布置作业.
【师生互动】教师让学生充分讨论并发表自己的意见，师生共同交流、总结：
（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它的定义是怎样描述的？
（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？
（3）作业：教材第91页练习第1，2，3题.
板书设计
3.3 幂函数 1.幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数 2.幂函数的图象 3.幂函数的性质 4.例题 例1 例2 课堂练习 5.小结 6.作业
教学研讨
学生在理解幂函数的呈现形式时容易出错.本案例在总结、归纳幂函数的定义时较清晰、具体地指出了幂函数的特点，同时还安排了一些习题来加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解，较好地突破了易错点和重点.
案例中习题涉及对幂函数的性质（单调性）和概念的考查，但没有涉及解析式和图象，比如已知幂函数过某点求其解析式、分段函数与幂函数的综合题等.这些问题教师可视情况酌情补充.