高中数学必修第一册人教A版（2019）《3.3幂函数》教学设计一（表格式）

《幂函数》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 （用多媒体出示以下5个问题，同时出示相关图象.每个问题的结论由学生说出，然后再在多媒体屏幕上出示） 问题1：如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜kg，那么她需要支付元，这里是的函数； 问题2：如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数； 问题3：如果立方体的棱长为，那么立方体的体积，这里是的函数； 问题4：如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数； 问题5：如果某人s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度km/s，即，这里是的函数. 学生阅读、思考、交流、口答，教师板演. 师：观察上述例子中的函数模型，这几个函数解析式有什么共同特征？ 生：这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数. 师：我们把这种函数叫做幂函数. （引入新课，书写课题） 引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.培养学生的观察、归纳、概括能力，提升数学抽象素养.
概念形成 幂函数的定义： 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 师：请同学们举出几个具体的幂函数. 生：如，，等都是幂函数. 师：是幂函数吗？ 学生对比定义，得出否定答案. 加深学生对幂函数的定义和呈现形式的理解。
概念深化 1.研究幂函数的图象. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 2.通过观察图象，完成教材第90页探究中的表格. 定义域值域奇偶性奇偶单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增
定义域值域奇偶性奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递增在上单调递减，在上单调递减
3.幂函数的性质. （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点. （2）时，幂函数的图象都通过原点，并且在上是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）. 特别地，当时，，的图象都在图象的下方，形状向下凸.越大，下凸的程度越大.（你能找出原因吗？） 当时，，的图象都在的图象上方，形状向上凸，越小，上凸的程度越大.（你能说出原因吗？） （3）时，幂函数的图象在区间 上是减函数. 在第一象限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴. 引导学生自己动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图象，并观察图象.教师利用几何画板等软件画出这5个函数的图象并展示. 让学生通过观察图象，结合以往学习函数的经验，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，完成表格. 师：所有图象都过第几象限？所有图象都不过第几象限？ 为什么？ 生：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当时所有幂函数都有意义，且函数值都为正. 师：所有图象都过哪些点？ 生：都过点. 师：什么样的幂函数的图象过原点，什么样的幂函数的图象不过原点？ 生：幂的指数为正数时，函数图象过原点.幂的指数为负数时，函数图象不过原点. 师：图象在第一象限的位置关系是什么样的？ 生：当时，指数小的图象在上方.当时，指数大的图象在上方. 通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中，使学生自然形成研究问题的一般思路. 在探究幂函数的性质和图象的变化规律的过程中，提升学生的直观想象和数学抽象素养.
应用举例 例 证明幂函数是增函数. 证明：函数的定义域是. ，，且， 则 . 因为，. 所以， 即幂函数在上是增函数. 小结：以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性.注意：在证得后，要比较与的大小，要注意分母的符号. 请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数，然后请一个学生作答.教师板书或投影答案. 教师强调教材中此例题的地位和作用： （1）复习利用定义证明单调性的过程； （2）幂函数的单调性很容易观察，强调严格判断的时候要用单调性进行证明； （3）注意：幂函数的单调性很容易观察得出，所以在证明过程中直接用到了单调性，如直接判断. 增强学生对新知的应用能力，从而达到能力转型和对知识的理解.让学生在分析、证明的过程中提升逻辑推理素养.
归纳小结 1.幂函数的定义. 2.幂函数的图象. 3.幂函数的性质. 学生回顾反思，教师点评完善. 形成知识体系.
布置作业 教材第91页练习第1，2，3题. 学生独立完成. 巩固知识，提升能力.
板书设计
3.3 幂函数 一、复习引入 二、新课探究 1.幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数 2.幂函数的图象 3.填表 幂函数的性质 4.例题 例 证明幂函数是增函数 三、小结 四、作业
教学研讨
本案例从具体的实例入手，通过观察、概括、总结共同特征，抽象出幂函数的概念，进而通过画图象、观察图象初步得到函数的性质.最后通过一道例题进行理论证明函数的单调性，既是复习，也是加深对幂函数的进一步认识.本案例的设计较好地提升了学生的直观想象、数学抽象和数学运算素养.
幂函数作为基本初等函数出现在高中数学中，地位和重要性不言而喻，是不是在案例中要强调幂函数的特征（比如系数为1，只有一项）？另外，案例设置了证明某个幂函数的单调性，对于利用幂函数的单调性去比较两数的大小的题型没有涉及，是不是也需要补充这方面的例题和练习呢？这些都值得思考.