高中数学必修第一册人教A版（2019）3.3幂函数学案

【新教材】3.3 幂函数（人教A版）
1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象；
2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；
3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．
1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；
2.逻辑推理：常见幂函数的性质；
3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；
4.数据分析：比较幂函数大小；
5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。
重点：常见幂函数的概念、图象和性质；
难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．
预习导入
阅读课本89-90页，填写。
1．幂函数
一般地,函数________叫做幂函数,其中________是自变量, ________是常数.
幂函数的性质
幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R _____ (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 R _____ R _____ (-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性 _____ _____ 奇函数 _____ _____
单调性 在R上是_____ 在[0,+∞)上是_____,在(-∞,0]上是_____ 在R上是_____ 在[0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是_____,在(-∞,0)上是_____
公共点 _____
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数． (　　)
(2)幂函数的图象必过点(0,0)(1,1)． (　　)
(3)幂函数的图象都不过第二、四象限． (　　)
2．下列函数中不是幂函数的是(　　)
A．y＝　　　　　　 B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝x－1
3．已知f(x)＝(m－1)x是幂函数，则m＝(　　)
A．2 B．1
C．3 D．0
4．已知幂函数f(x)＝xα图象过点，则f(4)＝________.
题型一 幂函数的概念
例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.
跟踪训练一
1.如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,求实数m的取值.
题型二 幂函数的图象与性质
例2　已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.cC.b跟踪训练二
1.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(　　)
A.nB.mC.n>m>0
D.m>n>0
题型三 利用幂函数的单调性比较大小
例3 比较下列各组中两个数的大小:
(1);
(2);
(3).
跟踪训练三
1. 已知a=,b=,c=2,则(　　)
A.bC.b1．在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是幂函数的是(　　)
A．①②④⑤　　　　　　 B．③④⑥
C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝(　　)
A.　　　　 B．1　 　　　C.　　　　 D．.2
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D.y＝x
4.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A．nC．n>m>0 D．m>n>0
5．如下图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为(　　)
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．.2，，－2，－
6．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则
∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
7．比较下列各组数的大小．
(1)3和3.2；
(2)和；
(3)4.1和3.8.
解：(1)函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3＞3.2.
(2)＝，＝，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞，所以＞.
(3)4.1＞1＝1,0＜3.8－＜1－＝1，
所以4.1＞3.8－.
答案
小试牛刀
1．（1）√ （2）× （3） ×
2-3．C A
4．
自主探究
例1 【答案】m=3
【解析】根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;
当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.
跟踪训练一
1.【答案】m=1或m=2.
【解析】　由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.
综上所述,m=1或m=2.
例2　【答案】A
【解析】由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0跟踪训练二
1.【答案】 A
【解析】画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n例3 【答案】见解析
【解析】(1)∵幂函数y=在[0,+∞)上是增函数,
又,∴.
(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是减函数,
又-<-,∴.
(3)∵函数y1=在定义域内为减函数,且,∴.
又函数y2=在[0,+∞)上是增函数,且,
∴.∴.
跟踪训练三
1.【答案】A
【解析】　∵a==1,b==1,c=2, ∴a>b,a当堂检测
1-5．CAAAB
6．【答案】见解析
【解析】(1)若函数f(x)为正比例函数，则
∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
7. 【答案】见解析
【解析】(1)函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3＞3.2.
(2)＝，＝，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞，所以＞.
(3)4.1＞1＝1,0＜3.8－＜1－＝1，
所以4.1＞3.8－.