一元二次方程的概念及解法复习讲义
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一元二次方程的概念及解法复习
一、课题名称 一元二次方程的概念及解法
二、学习目标 掌握一元二次方程的概念， 能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。理解四种解法的区别与联系。使运算简便。
教学过程
(一)、正确理解一元二次方程的定义。
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。一般式为：。
例1、判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0
例2、某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？.
例3、若方程（x + 2）（x－3）= 0与ax2 + bx + c = 0解相同，且a = 2，求a+b+c的值。
例4、（1）求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
（2）若x2-2xm-1+3=0是关于x的一元二次方程,求m的值
．
例5、（1）如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
(2)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
基础能力训练：
1、方程（x－4）2 = 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2、关于x的方程（a－2）x2 + ax + 5 = 0是一元二次方程的条件是 。
3、如果关于x的方程mx2 + （m－1）x + 5 =0有一个解为2 ，则m的值是 。
4、已知关于x的和方程是一元二次方程，则m2 = 。
5、已知2是关于x的方程x2－2a = 0一个解，则2a－1的值为 。
6、已知关于x的方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两根为1和－1，则a + b + c
，a－b + c = 。
7、关于x的方程（K2－1）X2 + 2（K－1）X + 2K + 2 =0，当k 时，为一元二次方程；当k = 时，为一元一次方程。
8. 已知关于x的方程（2k+1）x2－kx+3=0，当k______时，方程为一元二次方程，
当k______时，方程为一元一次方程，其根为______．
9. 关 于x方程（m+3）x+（m－3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为________
(二)一元二次方程的解法
1、解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。
2．一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
例1、解下列方程：
（1）4（x－2）2－36 =0； （2）4（3X－1）2－9（3X +1）2 =0 。
（3）x2－12x－9964 =0 ； （4）2x2 +3 =7x 。 （5）－3x2－5x +2 =0 ；
（6） 。 （7）3（x－5）2＝2（5－x）。
（8） （9）
例2 （1）；
（2）假如二次三项式 是一个完全平方式，那么 的值是________.
（3）配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为________.
A．（x-）2= B．（x-）2=0 C．（x-）2= D．（x-）2=
（4）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是________.
（6）如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．
例3、已知关于x的方程2x2－kx +1 =0的一个解与方程的解相同。
（1）求k的值； （2）求方程2k2－kx +1 =0的另一个解。
例4、求证下列多项式的值恒大于零：
（1）2x2－4x + 7 ； （2）x2 +2mx +2m2 +1 。
．
例5、求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.
例6、已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 的值．
例7、已知三角形的两边长分别是1和2，第三边长是方程x2－3x +2 =0的根，试求这个三角形的周长
课后作业
1、若关于x的方程（m－2）x2 + x + 1 =0是一元二次方程，则m的取值范围_______．
2、已知a≠0，a≠b，x = 1是方程ax2 + bx －10 =0的一个解，则的值是 。
3、 x+6x+____=(x+____) , a±____+=(a±____ )
4、关于x的一元二次方程(m+3) x+4x+ m- 9=0有一个解为0 , 则m=______.
5、已知x2 +3x +1的值为5，则代数式2x2 +6x－2的值为
6、已知关于x的方程（m2－1）x2 + （m + 1）x + 1 = 0
（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当m 为何值时，此方程为一元一次方程？
7、已知x = －2是方程x2－mx + 2 =0的一个根，试化简
8、求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数
9．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
10．如果x2-4x+y2+6y+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +13=0，求（xy）z的值．
一、课题名称 一元二次方程的概念及解法
二、学习目标 掌握一元二次方程的概念， 能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。理解四种解法的区别与联系。使运算简便。
教学过程
(一)、正确理解一元二次方程的定义。
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。一般式为：。
例1、判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 =0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0
例2、某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？.
例3、若方程（x + 2）（x－3）= 0与ax2 + bx + c = 0解相同，且a = 2，求a+b+c的值。
例4、（1）求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
（2）若x2-2xm-1+3=0是关于x的一元二次方程,求m的值
．
例5、（1）如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
(2)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．
基础能力训练：
1、方程（x－4）2 = 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2、关于x的方程（a－2）x2 + ax + 5 = 0是一元二次方程的条件是 。
3、如果关于x的方程mx2 + （m－1）x + 5 =0有一个解为2 ，则m的值是 。
4、已知关于x的和方程是一元二次方程，则m2 = 。
5、已知2是关于x的方程x2－2a = 0一个解，则2a－1的值为 。
6、已知关于x的方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两根为1和－1，则a + b + c
，a－b + c = 。
7、关于x的方程（K2－1）X2 + 2（K－1）X + 2K + 2 =0，当k 时，为一元二次方程；当k = 时，为一元一次方程。
8. 已知关于x的方程（2k+1）x2－kx+3=0，当k______时，方程为一元二次方程，
当k______时，方程为一元一次方程，其根为______．
9. 关 于x方程（m+3）x+（m－3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为________
(二)一元二次方程的解法
1、解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。
2．一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
例1、解下列方程：
（1）4（x－2）2－36 =0； （2）4（3X－1）2－9（3X +1）2 =0 。
（3）x2－12x－9964 =0 ； （4）2x2 +3 =7x 。 （5）－3x2－5x +2 =0 ；
（6） 。 （7）3（x－5）2＝2（5－x）。
（8） （9）
例2 （1）；
（2）假如二次三项式 是一个完全平方式，那么 的值是________.
（3）配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为________.
A．（x-）2= B．（x-）2=0 C．（x-）2= D．（x-）2=
（4）已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是________.
（6）如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．
例3、已知关于x的方程2x2－kx +1 =0的一个解与方程的解相同。
（1）求k的值； （2）求方程2k2－kx +1 =0的另一个解。
例4、求证下列多项式的值恒大于零：
（1）2x2－4x + 7 ； （2）x2 +2mx +2m2 +1 。
．
例5、求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0.
例6、已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 的值．
例7、已知三角形的两边长分别是1和2，第三边长是方程x2－3x +2 =0的根，试求这个三角形的周长
课后作业
1、若关于x的方程（m－2）x2 + x + 1 =0是一元二次方程，则m的取值范围_______．
2、已知a≠0，a≠b，x = 1是方程ax2 + bx －10 =0的一个解，则的值是 。
3、 x+6x+____=(x+____) , a±____+=(a±____ )
4、关于x的一元二次方程(m+3) x+4x+ m- 9=0有一个解为0 , 则m=______.
5、已知x2 +3x +1的值为5，则代数式2x2 +6x－2的值为
6、已知关于x的方程（m2－1）x2 + （m + 1）x + 1 = 0
（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当m 为何值时，此方程为一元一次方程？
7、已知x = －2是方程x2－mx + 2 =0的一个根，试化简
8、求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数
9．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
10．如果x2-4x+y2+6y+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" EMBED Equation.DSMT4 +13=0，求（xy）z的值．