一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系复习讲义

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系复习讲义
一、课题名称 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系
二、学习目标 （1）如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；
(2)一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系;
(3) 根的判别式的变式应用, 对根与系数这一性质进行应用.
三、教学过程
（一）知识要点
1、根的判别式及应用
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式是
怎样利用根的判别式判断方程根的情况？（1）
（2）
（3）
注意：根的判别式使用的前提是：二次项系数不为零
2、根与系数的关系及应用
如果X1 ，X2是方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则
如果X1 ，X2是方程 x2+px+q=0的两根，则
注意： 使用根与系数关系的前提是判别式大于等于零.
（二）反馈展示
1、已知、是方程2+3x-4=0的两个实数根，则++的值是 。
2、写一个根为x=1，另一个根满足—13、已知反比例函数，当x＞0时,y随着x的增大而增大，则关于x的方程a－2x＋b＝0的根的情况是（ ）。
A、有两个正根； B、有两个负根； C、有一个正根，一个负根； D、没有实数根。
4、如果关于x的方程3ax2－2（a－1）x+a=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A、a<且a≠0 B、a≥ C、a≤且a≠0 D、a≤
5、一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是（ ）
A、x2－6x－7=0 B、x2－6x+7=0 C、x2+6x－7=0 D、x2+6x+7=0
（三）例题讲解
1.已知关于x的方程
1)若1是方程的一个根，求的值 2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围
练习：求证：方程有两个不相等的实数根；
2、已知一元二次方程，求当k为何值时，方程有两个
不相等的实数根？
练习：已知关于x的一元二次方程（m—1）x2 —（2m+1）x+m=0,当m取何值时：
（1）它没有实数根。
（2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。
（3）它有两个不相等的实数根。
注意：在解题时应注意m—1≠0这个隐含的条件。
3、已知方程的两个根是，求代数式（1）；（2）
注意：利用根与系数的关系求代数式的值；（关键是将所求代数式用含有两根和与两根积的式子表示出来）
练习： 已知x1,x2是关于x的方程x2-(2m+3)x+m2=0的两个实数根, 求证:=1时m=3
4、已知αβ是方程ax2+bx-2=0的两根, 求证:以和为两根的方程是x2-bx –2a=0
5、 关于x的方程的两根之和为－1，两根之差为1
1) 这个方程的两个根
2) 求::
6. 已知αβ是方程x2+(m-1)x+3=0的两根,且(α-β)2=16,m＜0.求证:m=-1
7、已知方程（a－x）2－4（b－x）（c－x）=0，试说明：
（1）此方程必有实数根；
（2）若a、b、c为△ABC三边，方程有两个相等的实数根。试确定△ABC的形状。
8、已知：关于x的方程x2－（m－2）x+m2=0，⑴若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根。 ⑵ 是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224？若存在，请求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由。
四、课后作业
1、 m取何值时，方程
（1）有两个不相等的实数根
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根
2、x1，x2是方程x2+5x —7= 0的两根，在不解方程的情况下，求下列代数式的值：
（1）x12+x22 （2） （3）（x1—3）（x2—3）
3、说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.
4、已知关于x的方程（k-1）+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根、.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在求出k的值；如果不存在，请说明理由。