2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册学案：7.1.1数系的扩充和复数的概念 学案（含答案）

7.1.1数系的扩充和复数的概念
学习目标
在问题情境中了解熟悉的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
理解附属的基本概念及复数相等的充要条件。
了解复数的代数表示法。
基础梳理
1.复数的概念：我们把形如 的数叫做复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所构成的集合 叫做复数集。
2.复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)。以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的 。在复数集合C={a+bi | a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)，我们规定：
a+bi与c+di相等当且仅当 。
3.对于复数a+bi（a,b∈R），当且仅当b=0时，它是 ；当且仅当 时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做 。
4.实数集R是复数集C的 ，即。这样，复数z=a+bi（a,b∈R）可以分类如下：
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示。
随堂训练
1.判断对错
a.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)
b.复数z＝bi是纯虚数．(　　)
c.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)
2.在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
3.给出下列四个命题：
①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③复数3－4i的实部与复数4－3i的虚部相等；④若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．
其中真命题的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
4．复数i的虚部为(　　)
A．2 B．－ C．2－ D．0
5．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　)
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a≤0
6．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．1 B．2 C．1或2 D．－1
7．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
8．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹方程是__________．
9．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
10. 当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
答案
基础梳理
a+bi(a,b∈R)；C={a+bi | a,b∈R}
实部与虚部；a=c且b=d
实数；a=b=0；纯虚数
真子集
随堂训练
×；×；√
C 解析：(1)i，(1－)i为纯虚数；2＋，0,0.618是实数；8＋5i是虚数．
A解析：对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不一定成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题．对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题．对于③，复数3－4i的实部为3，复数4－3i的虚部为－3，因此③为假命题．对于④，当a＝－1时，(a＋1)i为实数，所以④为假命题，因此四个命题都是假命题．
C
D 解析：复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.
B 解析：因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，
所以解得a＝2.
－4 解析：易知解得a＝－4.
(x－1)2＋(y＋1)2＝2 解析：由复数相等的充要条件知，消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
－2 解析：由解得m＝－2.
解　(1)当即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
2