2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册学案：7.2.1复数的加、减运算及其几何意义（含答案）

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义
学习目标
能进行复数的代数形式的加、减法运算。
了解复数加、减运算的几何意义，能利用数形结合的思想解题。
基础梳理
1.复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么它们的和(a+bi)+( c+di)= 。
2.复数的加法运算律：对任意z1，z2 ，z3∈C，有交换律： ，结合律：
3.复数的减法法则：(a+bi)-( c+di)= 。
4.复数加法的几何意义：如图，
设，分别与复数a+bi，c+di对应，则=（a,b），=（c,d）。由平面向量的坐标运算法则，得+= 。
随堂训练
1．计算(3＋2i)－(1－i)的结果是(　　)
A．2＋i　　 B．4＋3i
C．2＋3i　　 D．3＋2i
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)
A．－2　　 B．4
C．3　　 D．－4
3．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1　　 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1　　 D．x2＋(y＋1)2＝1
4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)
A．1＋i　　 B．2＋i
C．3　　 D．－2－i
5．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是(　　)
A．直角三角形　　 B．等腰三角形
C．锐角三角形　　 D．钝角三角形
6．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝(　　)
A．　　 B．5
C．　　 D．5
二、填空题
7．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i (a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝ .
8．在复平面内，O是原点，、、对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么对应的复数为 .
三、解答题
9．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝＋i，求cos(α＋β)的值．
答案
基础梳理
(a+c)+(b+d)i
z1+z2= z2+ z1；（z1+z2）+ z3=z1+（z2+ z3）
(a-c)+(b-d)i
（a+c，b+d）
随堂训练
1. C [解析]　(3＋2i)－(1－i)＝3＋2i－1＋i＝2＋3i.
2. B [解析]　z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，
所以z的虚部是4.
3. C [解析]　由已知条件，可得z＝x＋yi.∵ |z－i|＝1，
∴ |x＋yi－i|＝1，∴ x2＋(y－1)2＝1.故选C．
4. D [解析]　∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)
＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，
∴，∴，
∴a＋bi＝－2－i.
5. A [解析]　|AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A．
6. D [解析]　∵z1－z2＝5＋5i，
∴f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.
7. -1 [解析]　z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，
∴，解得a＝－1.
8. 4-4i [解析]　＝－
＝－(＋)
＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)
＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i
＝4－4i.
9. 解：　∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，
∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝＋i，
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，
即cos(α＋β)＝.
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