2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册学案：8.2立体图形的直观图（含答案）

8.2立体图形的直观图
学习目标
会用斜二测法画出简单空间几何体(球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合体)的直观图。
会用平行投影的性质画出简单空间几何体的直观图。
了解空间几何体的不同表现形式。
基础梳理
1.斜二测画法的步骤是
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点O＇，且使=45°（或135°），它们确定的面表示水平面。
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段。
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。
2.画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变。
随堂训练
1．长方形的直观图可能为下图中的哪一个(　　)
A．①② B．①②③ C．②⑤ D．③④⑤
2．梯形的直观图是(　　)
A．梯形 B．矩形 C．三角形 D．任意四边形
3．对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是(　　)
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．90°的角的直观图会变为45°的角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
4．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
5．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　)
A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm
B．4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C．4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
D．2 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
6．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　)
A．2＋ B．
C． D．1＋
7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
8．如图所示，水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
9．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________．
10.已知某几何体的三视图如图，请画出它的直观图(单位：cm)．
答案
随堂训练
1.答案：C　[由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确．]
2.答案：A　[斜二测画法中平行性保持不变，故梯形的直观图仍是梯形．]
3.答案：B　[对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；C，D显然正确．]
4.答案：A　[根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：
由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A.]
5.答案：C　[由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.]
6.答案：A　[画出其相应平面图易求，故选A.
]
7.答案：2.5　[由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]
8.答案：2　[△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD.所以与BD的长相等的线段有2条．]
9.答案：45°或135°　[因∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.]
10.[解]　画法：(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)以O为中点，在x轴上取线段OB＝8 cm，在y轴上取线段OA′＝2 cm，以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′.
(3)在z轴上取线段OC＝4 cm，过C分别作x轴、y轴的平行线，并在平行线上分别截取CD＝4 cm，CC′＝2 cm.以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.
(4)成图．连接A′C′，BD，B′D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该几何体的直观图(如图②)．
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