2022-2023学年高一数学人教版A（2019）必修第二册教案：8.5.1直线与直线平行

第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
教学设计
教学目标
掌握基本事实4的内容及应用；
理解空间等角定理的内容及应用.
教学重难点
教学重点
基本事实4与等角定理的应用.
教学难点
等角定理中角的相等与互补的辨别.
教学过程
新课导入
复习：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行.
在空间中，是否也有类似的结论？
探索新知
问题1 如图，在长方体中，，. 与平行吗？
可以发现，.
问题2 观察教室，黑板边所在直线和门框所在直线都平行于墙与墙的交线，那么与平行吗？
可知，.所以空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质.我们把它作为基本事实.
基本事实4（平行线的传递性） 平行于同一条直线的两条直线平行.
基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行.它给出了判断空间两条直线平行的依据.
例1 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连接BD.
∵EH是△ABD的中位线，
∴，且.
同理，且.
∴.
∴四边形EFGH为平行四边形.
问题3 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.在空间中，这一结论是否仍然成立呢？
当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图8.5-4所示的两种位置.
对于图8.5-4（1），可以构造两个全等三角形，使和是它们的对应角，从而证明.
如图8.5-5，分别在和的两边上截取AD，AE和，，使得，.连接
∵，
∴四边形是平行四边形.
∴.
同理可证 .
∴.
∴四边形是平行四边形.
∴.
∴.
∴.
问题4 类比上述方法，对于图8.5-4（2）给出证明.
证明：如图，延长CA得射线AD，分别在和的两边上截取AD，AE和，使得，.连接
∵，
∴四边形是平行四边形.
∴.
同理可证.
∴.
∴四边形是平行四边形.
∴.
∴.
∴.
又，
∴，
即与互补.
定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
（三）课堂练习
1. 若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为（ ）
A.130° B.50°
C.130°或50° D.不能确定
答案：C
解析：根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.
2. 若，，有下列结论：
①；
②；
③或.
则一定成立的是____________（填序号）.
答案：③
解析：∵，，
∴或.
如图，所示，在正方体ABCD A′B′C′D′中，E、F、E′、F′分别是AB、BC、A′B′、B′C′的中点. 求证：EE′∥FF′.
证明：∵E、E′分别是AB、A′B′的中点，
∴BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
∴四边形EBB′E′是平行四边形．
∴EE′∥BB′.
同理可证FF′∥BB′.
∴EE′∥FF′.
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点.求证：∠NMP=∠BA1D.
证明：如图，连接CB1，CD1，
∵CDA1B1，
∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C.
∵M，N分别是CC1，B1C1的中点，
∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.
∵BCA1D1，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1.
∵M，P分别是CC1，C1D1的中点，
∴MP∥CD1，∴MP∥A1B，
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，
∴∠NMP=∠BA1D.
小结作业
小结：
用基本事实4判断空间两条直线平行；
等角定理.
作业：
板书设计
8.5.1 直线与直线平行
基本事实4；
等角定理.
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