2022-2023学年高一数学人教版A（2019）必修第二册教案：8.5.3平面与平面平行

第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.3平面与平面平行
教学设计
教学目标
理解平面与平面平行的判定定理；
理解平面与平面平行的性质定理；
能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.
教学重难点
教学重点
平面与平面平行的判定定理与性质定理及其应用.
教学难点
两个定理的应用.
教学过程
新课导入
我们学过，两个平行平面没有公共点，所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点.也就是说，如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.这个定义给出了两个平面平行的充要条件，所以，如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行.
问题1 如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢？
探索新知
问题2 根据基本事实的推论2，3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个平面.那么，如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行，是否就能使这两个平面平行？
问题3 如图（1），a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图（2），c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行.如图8.5-12，在平面内画一条与平行的直线EF，显然A'A与EF都平行于平面，但这两条平行直线所在的平面与平面相交.
如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，这两个平面是平行的.如图8.5-13的长方体模型中，平面ABCD内两条相交直线AC，BD分别与平面内两条相交直线，平行.由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线AC，BD都与平面平行.此时，平面ABCD平行于平面.
平面与平面平行的判定定理（图8.5-14）：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
符号表示：
由定理可知，可以由直线与平面平行判定平面与平面平行.
例4 已知正方体（如图），求证：平面平面.
证明：∵为正方体，
∴，.
∴.
∴四边形为平行四边形.
∴.
又平面，平面，
∴平面.
同理，平面.
又，
∴平面平面.
问题4 探究两个平行平面内的直线的位置关系.
如图，所在的平面与平面AC平行，所以与平面AC没有公共点.也就是说，与平面AC内的所有直线没有公共点.因此，直线与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.
问题5 分别位于两个平行平面内的两条直线什么时候平行呢？
如果，，，且，那么过a，b有且只有一个平面.把直线a，b看成是平面与平面的交线.于是可以猜想：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行.
下面，来证明这个结论.
如图，平面，平面分别与平面相交于直线a，b.
∵，，
∴，.
又，
∴a，b没有公共点.
又a，b同在平面内，
∴
由此得到两个平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
例5 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
如图，，，且，，，，求证AB=CD.
证明：过平行线AB，CD作平面，与平面和分别相交于AC和BD .
∵，
∴.
又，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD.
由直线与直线平行可以判定直线与平面平行；由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行；由直线与平面平行可以判定平面与平面平行；由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与直线平行.
（三）课堂练习
下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等．
其中正确的命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
答案：C
解析：根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.
下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(　　)
答案：B
解析：在B中，
如图，连接MN，PN，
∵A，B，C为正方体所在棱的中点，
∴AB∥MN，AC∥PN，
∵MN∥DE，PN∥EF，
∴AB∥DE，AC∥EF，
∵AB∩AC=A，DE∩EF=E，AB，AC 平面ABC，DE，EF 平面DEF，
∴平面ABC∥平面DEF.故选B.
过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是____________.
答案：平行
解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1，
平面ABCD∩平面A1C1B=l，
∴l∥A1C1.
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.求证：
（1）E，F，B，D四点共面；
（2）平面MAN∥平面EFDB.
证明：（1）连接B1D1，
∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，
∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1，∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面.
（2）易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，
∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB.
连接MF.
∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF=A1D1.
∴MF∥AD，MF=AD.
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM 平面EFDB，DF 平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB.
又∵AM∩MN=M，
∴平面MAN∥平面EFDB.
小结作业
小结：
平面与平面平行的判定定理；
平面与平面平行的性质定理.
作业：
板书设计
8.5.3平面与平面平行
平面与平面平行的判定定理；
符号表示；
平面与平面平行的性质定理.
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