2022-2023学年高一数学人教版A（2019）必修第二册教案：8.6.2直线与平面垂直

第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
教学设计
教学目标
理解直线与平面垂直的定义。
理解直线与平面垂直的判定定理。
理解直线与平面垂直的性质定理，并能够证明。
能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。
能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。
教学重难点
教学重点
直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的判定定理、性质定理。
教学难点
直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明。
教学过程
新课导入
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识。比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象。
探索新知
一般地，如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥。直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。
可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。
下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件。根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直。那么，有没有可行的方法？
一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理。
定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂足PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上射影，平面的一条斜线和它平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0。直线与平面所成的角的取值范围是。
下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线a与平面垂直的条件下能推出哪些结论。
根据已有经验，我们可以探究直线a与平面内的直线的关系.但由定义，a与内的所有直线都垂直。所以，可以探究a，与其他直线或平面的关系。
我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行， 在空间中是否有类似的性质呢？
可以发现，这些直线相互平行。这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理：
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。
直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行。直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系。在的条件下，如果平面外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论？如果平面与平面平行，你又能得到什么结论？你还能自己提出更多的问题，发现更多的结论吗？
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。由例5我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。
课堂练习
1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
答案：C　[由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]
2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
答案：B　[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．
答案：45°　[如图所示，因为正方体ABCD A1B1C1D1中，
B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]
4．直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能(　　)
A．平行 B．相交　　　C．异面　　　D．垂直
答案：A　[若l∥m，l α，m α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．]
5．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(　　)
A．垂直 B．相交但不垂直
C．平行 D．不确定
答案：A　[因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.]
6．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)
A．60° B．45° C．30° D．120°
答案：A　[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°. 故选A.]
7．在正方体ABCD A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.
[证明]　如图，连接AC，
∴AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A 平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C 平面A1AC，
∴BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1 平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.
小结作业
小结：本节课学习了直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明。
作业：完成本节课课后习题。
板书设计
8.6.2 直线与平面垂直
定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂足PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上射影，平面的一条斜线和它平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0。直线与平面所成的角的取值范围是。
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。
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