2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册教案：7.1.2 复数的几何意义

第七章 复数
7.1 复数的概念
7.1.2 复数的几何意义
教学设计
教学目标
了解复数的几何意义。
了解共轭复数的概念。
教学重难点
教学重点
复数的向量表示。
教学难点
复数的几何意义。
教学过程
新课导入
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。复数有什么几何意义呢？根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定；反之也对。由此你能想到复数的几何表示方法吗？
探索新知
因为任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z=a+bi与有序实数对(a,b)是一一对应的。而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点可以建立一一对应关系。
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z (a,b)表示。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
复数z=a+bi与复平面内的点Z (a,b)建立了一一对应关系，这是复数的一种几何意义。
由图可知，显然向量由点Z唯一确定；反之，点Z也可以由向量唯一确定。因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即复数z=a+bi与平面向量一一对应，这是复数的另一种几何意义。
我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数。
图中向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|。即==，其中a,b∈R。
如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模就等于（a的绝对值）。
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi，那么=a-bi。
课堂练习
1．已知平行四边形OABC，O、A、C三点对应的复数分别为0、1＋2i、3－2i，则向量的模| |等于(　　)
A. B．2 C．4 D.
解析：选D　由于四边形OABC是平行四边形，故＝，因此| |＝| |＝|3－2i|＝，故选D.
2．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选A　∵|z1|＝，|z2|＝，
∴<，∴－13．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z为(　　)
A.-＋2i B.－－2i
C.＋2i D.－2i
解析：选A　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝－，
由|z|＝3，得(－)2＋y2＝9，即y2＝4，∴y＝±2.
∵复数z对应的点在第二象限，∴y＝2.
∴z＝－＋2i.
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为(　　)
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
解析：选A　∵|z|2－2|z|－3＝0，
∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
∴|z|＝3，表示一个圆，故选A.
5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________．
解析：|z|＝＝，
∵π<α<2π，∴－1∴0<2＋2cos α<4.∴|z|∈(0,2)．
答案：(0,2)
6．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的充要条件，得
解得∴z＝i.
法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1 |z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
答案：i
小结作业
小结：本节课学习了复数的几何意义、复数的模以及共轭复数的概念。
作业：完成本节课课后习题。
板书设计
7.1.2 复数的几何意义
复数z=a+bi与复平面内的点Z (a,b)建立了一一对应关系
复数z=a+bi与平面向量建立了一一对应关系
图中向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|。即==，其中a,b∈R。
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
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