2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册教案：8.2 立体图形的直观图

第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
教学设计
教学目标
会用斜二测法画出简单空间几何体（球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合体）的直观图。
会用平行投影的性质画出简单空间几何体的直观图。
了解空间几何体的不同表现形式。
教学重难点
教学重点
用斜二测画法画空间几何体的直观图。
教学难点
斜二测画法的理解和应用。
教学过程
新课导入
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构,这就需要学习直观图的有关知识。
探索新知
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。画立体图形的直观图,实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。因此,直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同。在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。
要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。
在初中，我们已经学习过投影。一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关。如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形。
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法，利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点O＇，且使=45°（或135°），它们确定的面表示水平面。
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段。
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。
画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题。生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图。
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变。
课堂练习
1．对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是(　　)
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．90°的角的直观图会变为45°的角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
答案：B　[对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；C，D显然正确．]
2．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
答案：A　[根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：
3．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　)
A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm
B．4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm
C．4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
D．2 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm
答案：C　[由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.]
4．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′， 则点M′的坐标为________．
答案：M′(4，2)　[在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.]
5．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
答案：2.5　[由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]
小结作业
小结：本节课学习了用斜二测法画出简单空间几何体的直观图。
作业：完成本节课课后习题。
板书设计
8.2立体图形的直观图
斜二测画法的步骤是
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点O＇，且使=45°（或135°），它们确定的面表示水平面。
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段。
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变。
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