2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册教案：8.4.1 平面

第八章 立体几何初步
8.4.1 平面
教学设计
教学目标
了解平面及平面的表示法。
会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题。
熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换。
教学重难点
教学重点
平面的基本性质。
教学难点
符号语言、文字语言和图形语言之间的转换。
教学过程
新课导入
在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的。生活中也有一些物体给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等。几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的。类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延伸的。
探索新知
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面。当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向。
我们常用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称。
下面，我们来研究平面的基本性质。
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
基本事实1给出了确定一个平面的依据，也就是说，不共线的三点确定一个平面。直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成是点的集合。点A在直线l上，记作；点B在直线l外，记作；点A在平面内，记作；点P在平面外，记作。
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
利用基本事实2，可以判断直线是否在这个平面内。平面内有无数条直线，平面可以看成是直线的集合。如果直线l上所有的点都在平面内，就说直线l在平面内，记作；否则，就说直线l不在平面内，记作。基本事实2也可以用符号表示为且。
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线。平面与相交于直线l，记作。基本事实3可以用符号表示为，且，且。
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
课堂练习
1.下列说法正确的是(　　)
A.镜面是一个平面
B.一个平面长10 m、宽5 m
C.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D.所有的平面都是无限延展的
答案:D[镜面可以抽象成平面,但不是平面,所以选项A不正确;平面没有大小,所以选项B和选项C都不正确,故选D.]
2.已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a α,b α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系成立的是(　　)
A.l α B.l∈α C.l∩α=A D.l∩α=B
答案:A
[由公理1或画图可知l α. ]
3.圆上任意三点可确定的平面有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0个 B.1个
C.2个 D.1个或无数个
答案:B[由于圆上任意三点不共线,则可确定一个平面.]
4.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断正确的是(　　)
A.A,B,C,D四点中必有三点共线
B.A,B,C,D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
答案:B[若A,B,C,D四点中有三点共线,则A,B,C,D四点共面.若AB与CD相交或平行,则AB与CD共面,即得A,B,C,D四点共面.]
5.如图,α∩β=l,A∈β,B∈β,AB∩l=D,C∈α,则平面ABC与平面α的交线是(　　)
A.直线AC B.直线BC
C.直线AB D.直线CD
答案:D[∵l α,D∈l,∴D∈α.∵C∈α,∴CD α.又CD 平面ABC,故直线CD为平面ABC与平面α的交线.]
6.两个相交平面把空间分成了　　　　部分.
答案:4
7.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)AC∩BD=　　　　　;
(2)平面AB1∩平面A1C1=　　　　;
(3)A1B1∩B1B∩B1C1=　　　　　.
答案:(1)O　(2)A1B1　(3)B1
小结作业
小结：本节课学面的概念、平面的基本性质及其推论，掌握了文字语言、图形语言和符号语言的互相转化。
作业：完成本节课课后习题。
板书设计
8.4.1平面
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
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