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5.2.2 同角三角函数的基本关系(二)
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 三角函数式的化简
三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累．
化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式，常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角的三角函数与特殊值互化等．
知识点二 三角恒等式的证明
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：
①直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复杂、繁杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；
②综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想；
③中间量法：证明等式左右两式都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“a＝c，b＝c，则a＝b”，它可由等量关系的传递性及对称性推出；
④分析法：从结论出发，逐步向已知找条件，其证明过程的书写格式为“要证明……，只需……”，只要所需的条件都已经具备，则结论就成立；
⑤比较法：即设法证明：“左边－右边＝0”或“＝1”．
注意点：
(1)证明三角恒等式的实质：清楚等式两端的差异，有目的地化简．
(2)基本原则：由繁到简．
(3)常用方法：从左向右证，从右向左证，左右同时证．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.若sin α＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：B
解析：∵sin α＋sin2α＝1，∴sin α＝1－sin2α＝cos2α，∴cos2α＋cos4α＝cos2α＋sin2α＝1.
2.已知A是三角形的一个内角，sin A＋cos A＝，则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案：B
解析：∵sin A＋cos A＝，∴1＋2sin Acos A＝，∴sin Acos A＝－<0，而A是三角形的内 角，∴A∈(0，π)，sin A>0，∴cos A<0，A为钝角，故选B.
3.若sin4θ＋cos4θ＝1，则sin θ＋cos θ的值为( )
A.0 B.1 C.－1 D.±1
答案：D
解析：由sin4θ＋cos4θ＝1得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1.∴sin θcos θ＝0，∴(sin θ＋cos θ)2＝1，sin θ＋cos θ＝±1.
4.已知＝－，那么的值是( )
A. B.－ C.2 D.－2
答案：A
解析：因·＝＝－1，故＝.
5.已知6tan αsin α＝5，α∈(－，0)，求tan α的值是( )
A.－ B. C. D.－
答案：A
解析：∵6tan αsin α＝5，∴＝5，∴6sin2α－5cos α＝0，∴6(1－cos2α)－5cos α＝0，∴6cos2α＋5cos α－6＝0，∴cos α＝，cos α＝－(舍 )．∵α∈(－，0)，∴sin α＝－＝－＝－.∴tan α＝＝－.
6.已知＝2，那么(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为( )
A.6 B.4 C.2 D.0
答案：B
解析：∵＝2，∴sin2θ＋4＝2cos θ＋2.∴cos2θ＋2cos θ－3＝0，∴cos θ＝1(cos θ＝－3舍 )，∴sin θ＝0，∴(cos θ＋3)·(sin θ＋1)＝4.
7.已知tan α＋sin α＝a(a≠0)，tan α－sin α＝b，则cos α等于( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵tan α＋sin α＝a，tan α－sin α＝b.∴tan α＝(a＋b)，sin α＝(a－b)，∴cos α＝＝＝.
8.若tan α＝m，α是第二象限角，则cos α等于( )
A.－ B. C.－ D.
答案：A
解析：∵α是第二象限角，且tan α＝m，∴m<0，sin α>0，cos α<0，mcos α＝sin α，代入平方关系得到m2cos2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，∴cos α＝－.
9.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)，则cos α等于( )
A. B.－ C. D.－
答案：A
解析：由三角函数定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2(1－cos2α)，解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)．
10.若α∈，则＋的最小值是( )
A.16 B.17 C.18 D.19
答案：A
解析：∵sin2α＋cos2α＝1，∴(sin2α＋cos2α)＝10＋＋≥10＋2＝16，∵α∈，当且仅当sin α＝cos α时，等号成立，∴＋的最小值是16.
二、填空题
11.化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是 ．
答案：1
解析：sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)＝sin2β＋cos2β＝1.
12.若sin θ＝，cos θ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为 ．
答案：
解析：∵sin2θ＋cos2θ＝()2＋()2＝1，∴k2＋6k－7＝0，∴k1＝1或k2＝－7.当k＝1时，cos θ不符合，舍去．当k＝－7时，sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝.
13.化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝ .
答案：1
解析：原式＝sin2α＋sin2β(1－sin2α)＋cos2αcos2β＝sin2α＋sin2βcos2α＋cos2αcos2β
＝sin2α＋cos2α(sin2β＋cos2β)＝sin2α＋cos2α＝1.
14．关于x的方程2x2＋(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，则＋＝ .
答案：－
解析：因为方程2x2＋(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，所以sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，所以＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝－.
15.若sin θ＝，cos θ＝，θ∈，则实数m＝ .
答案：8
解析：∵θ∈，∴sin θ>0，cos θ<0，由题意可得即解得m＝8.
三、解答题
16.化简：(1)－；(2)；
(3)sin2αtan α＋＋2sin αcos α；(4)＋(1＋tan2α)cos2α.
解：(1)原式＝＝＝＝－2tan2α.
(2)原式＝＝＝1.
(3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α＝＝
＝.
(4)原式＝＋cos2α＝＋·cos2α
＝1＋1＝2.
17.用多种方法证明三角恒等式＝．
分析一 因为右边分母为cos α，故可将左边式子分子、分母同乘cos α.
证法一：左边＝＝＝＝＝右边，
∴原等式成立．
分析二 因为左边分母为1－sin α，故可将右式分子、分母同乘1－sin α.
证法二：右边 ＝ ＝＝＝＝左边．
∴原等式成立．
分析三 只需证明左、右两边都与某个中间结果相等，为此可先使它们分母变为相同．
证法三：左边 ＝，
右边 ＝＝＝，
∵左边＝右边，∴原等式成立．
分析四 只需证明：左式－右式＝0.
证法四：∵－＝＝
＝＝0，
∴＝.
18.已知(1)asin θ－bcos θ＝；(2)＋＝.求证：＋＝1.
证明： (1)式平方后得：a2sin2θ＋b2cos2θ－2absin θcos θ＝a2＋b2.
移项得 ：a2(1－sin2θ)＋b2(1－cos2θ)＋2absin θcos θ＝0.
∴a2cos2θ＋b2sin2θ＋2absin θcos θ＝0.
即(acos θ＋bsin θ)2＝0.
∴acos θ＝－bsin θ，
从而 cos2θ＝，sin2θ＝.
代入(2)式得：＋＝.
∴＋＝1.
19.已知sin αcos α＝，且α是第三象限角，求－的值．
解：原式 ＝－＝－
＝－
＝－
＝＝sin α＋cos α.
∵sin αcos α＝，且α是第三象限角，
∴sin α＋cos α＝－＝－＝－＝－.
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5.2.2 同角三角函数的基本关系(二)
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 三角函数式的化简
三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累．
化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式，常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角的三角函数与特殊值互化等．
知识点二 三角恒等式的证明
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：
①直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复杂、繁杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；
②综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想；
③中间量法：证明等式左右两式都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“a＝c，b＝c，则a＝b”，它可由等量关系的传递性及对称性推出；
④分析法：从结论出发，逐步向已知找条件，其证明过程的书写格式为“要证明……，只需……”，只要所需的条件都已经具备，则结论就成立；
⑤比较法：即设法证明：“左边－右边＝0”或“＝1”．
注意点：
(1)证明三角恒等式的实质：清楚等式两端的差异，有目的地化简．
(2)基本原则：由繁到简．
(3)常用方法：从左向右证，从右向左证，左右同时证．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.若sin α＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知A是三角形的一个内角，sin A＋cos A＝，则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.若sin4θ＋cos4θ＝1，则sin θ＋cos θ的值为( )
A.0 B.1 C.－1 D.±1
4.已知＝－，那么的值是( )
A. B.－ C.2 D.－2
5.已知6tan αsin α＝5，α∈(－，0)，求tan α的值是( )
A.－ B. C. D.－
6.已知＝2，那么(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为( )
A.6 B.4 C.2 D.0
7.已知tan α＋sin α＝a(a≠0)，tan α－sin α＝b，则cos α等于( )
A. B. C. D.
8.若tan α＝m，α是第二象限角，则cos α等于( )
A.－ B. C.－ D.
9.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)，则cos α等于( )
A. B.－ C. D.－
10.若α∈，则＋的最小值是( )
A.16 B.17 C.18 D.19
二、填空题
11.化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是 ．
12.若sin θ＝，cos θ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为 ．
13.化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝ .
14．关于x的方程2x2＋(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，则＋＝ .
15.若sin θ＝，cos θ＝，θ∈，则实数m＝ .
三、解答题
16.化简：(1)－；(2)；
(3)sin2αtan α＋＋2sin αcos α；(4)＋(1＋tan2α)cos2α.
17.用多种方法证明三角恒等式＝．
18.已知(1)asin θ－bcos θ＝；(2)＋＝.求证：＋＝1.
19.已知sin αcos α＝，且α是第三象限角，求－的值．
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