鲁教版（五四制）数学八年级上册 2.3 分式的加减法_教案

分式的加减法
【课时安排】
3课时
【第一课时】
【教学目标】
1．类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。
2．理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。
3．通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。
【教学重难点】
理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。
【教学过程】
（一）情景引入
活动内容：
做一做：
猜一猜：
活动目的：
通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性。从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容。
活动的注意事项：
通过人人都可以入手的做一做，让学生回答，可以使学生很快进入状态又不觉得困难。而后两个运算后要约分，学生极有可能报出没有约分的答案。因此，类比时注意引导学生，正确猜想：约分是分数的必要步骤哦，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫。
运算法则：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示为：
（二）同分母加减
活动内容：
学习了同分母分式加减法的法则，是否会用还得先讲再练：
1．例1：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
活动目的：
教学生如何运用法则进行运算，通过这4道例题，让学生学会加减法运算并注意运算时可能出现的问题。
活动的注意事项：
在进行运算时若分子是多项式的，分子要先带括号，再去括号后合并同类项；运算结果也类比分数加减法的结果，要化成最简形式，即约去分子与分母的所有公因式——化简。
（三）练习巩固
活动内容：
1．练一练：
（1）; （2）; （3）;
活动目的：
通过3道题的演练巩固，让学生对同分母分式的加减法有更好的认识与掌握。
活动的注意事项：
通过学生的解答情况，对法则做进一步的讲解，力图让学生理解并掌握同分母分式的加减法法则。
（四）拓展提高
活动内容：
1．例2：
计算：
（1）； （2）
练一练：
（1）； （2） （3）
活动目的：
这是一组分母互为相反式的分式加减的题目，实则是简单的异分母分式的加减法，有了例题的讲解，又有练一练的巩固，应该能够掌握，第三小题有意增加难度，在于学生能力的提高。解答时只要将后一分母前的运算符号变为相反，即可按同分母分式的加减法法则进行运算。旨在初现异分母分式加减的运算，实则化成同分母的分式，这要求学生能够熟练掌握，为下节课一般的异分母加减做好准备。
活动的注意事项：
通过例题来理解分母互为相反式的分式加减运算，改变运算符号实质等同于乘以-1，也就是后面要讲的通分，学生刚接触肯定是略有难度，应精心讲解，耐心指导学生完成练一练。
（五）课堂小结
活动内容：
1．同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。分母不变，把分子相加减。
2．学会用转化的思想将分母互为相反式的分式加减运算转化成同分母分式的加减法。
3．分子是多项式时，一定记得添括号后再进行加减运算。
4．类比方法很多时候是对的哦，学会用这种方法去分析和解决问题。
活动目的：
结合本节课的学习，同学生一起总结主要内容和关键点，从而使学生对所学内容能更好地理解并掌握，激发学生学好数学的积极性。
活动的注意事项：
留有时间小结，同时学生自发老师补充，对3要特别提出，它对运算的正确性至关重要。
【第二课时】
【教学目标】
1．会找最简公分母，能进行分式的通分；
2．理解并掌握异分母分式加减法的法则；
3．经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力；
4．培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识。
【教学重难点】
1．会找最简公分母，能进行分式的通分；
2．理解并掌握异分母分式加减法的法则。
【教学过程】
（一）问题引入
活动内容：
问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？
问题2：异分母分数又是如何进行加减？
问题3：那么？你是怎么做的？
活动目的：
通过回忆同分母分式的加减法法则、异分母分数的加减法运算，来引出本节课的内容，同时又对问题3点明了类比的思想方法，使进入新知识的学习顺理成章。
活动的注意事项：
学生回答时应帮助辅正，对问题2的回答要注意引导其为问题3服务，从而转入到异分母分式的加减法学习，学生在回答问题3时，应耐心听学生的想法，便于后面的教学有的放矢，不盲目地个人表演。
（二）学习新知
1．活动内容：
（1）议一议：
小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母的分式的加减问题就变成了同分母的分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同：
小明：
小亮：
你对这两种做法有何评论？与同伴交流。
（2）异分母分式加减法的法则：
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
用式子表示为：
活动目的：
在很自然转到异分母分式的加减问题时，化异分母分式为同分母分式就成为关键所在，通过议一议让学生理解最简公分母对通分的好处。在讨论之后明确异分母分式加减法的法则，直截了当让学生再次体会到类比分数的效果，进一步领悟这种思想方法。用式子表达法则定理是数学语言的特色，应当让学生学会。
活动的注意事项：
这里的小明，小亮两人的做法很有代表性，也是学生在化异分母为同分母的过程经常出现的，这就很自然提到通分的概念，引导学生类比最小公倍数确定最简公分母。当然，从最后结果来说，都是对的，这就要求我们耐心引导。
（三）运用新知
1．活动内容：
例3：
（1）； （2）； （3）
活动目的：
通过例3讲解异分母分式加减法法则的应用，让学生在学习之后开始掌握运用知识，通过不同梯度的三道例题，呈现异分母分式加减的三种形式，让学生体会法则的运用要因题而变，而万变不离其宗——异分母分式加减法法则。
活动的注意事项：
在化成同分母分式的过程中，学生可能会出现一些麻烦，这要求我们根据具体情况加以引导，关键还是一个类比思想起主导，最简公分母类比最小公倍数。
（四）小试牛刀
活动内容：
将下列各组分式通分：
； ； .
2．计算：
； ；
活动的注意事项：
学生在完成分母是多项式的分式通分时可能会遇到困难，这时候应该及时指导，积极鼓励，应该让学生明确通分的依据就是分数的基本性质，分母边了分钟也要跟着变，防止学生产生畏难情绪就此放弃。在通分后分子是多项式的应提醒学生添括号，再进行加减运算，最后结果也要约分。
（五）分式加减的应用
例4：小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中小丽走的是平路，骑车速度2vkm/h。小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h。那么
（1）小刚从家到学校需要多长时间？
（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
活动目的：
通过这个实例，提高学生运用分式表达数量之间的关系，并运用分式的加减运算解决实际问题的能力，和增强学生用数学解决问题的意识。讲解这个题目时，可以采取学生板演，大家讨论、交流的形式，给老师发现学生在用知识时真正的“症结”所在，有助于教学的针对性。
活动的注意事项：
此题难度不大，关键是看学生是否会用分式表示量并解决量之间关系的问题。同时应该关注学生的书写规范，及时指导。
（六）拓展提高
活动内容：
用两种方法计算：
活动的注意事项：
分式运算应该问题不是很大，运算顺序学生也应该知道，但是乘法的分配律在这里能不能用学生可能存在疑惑，所以应根据具体情况老师给予及时指导或明确告知，让学生比较两种方法，遇到具体问题时会进行选择，为后面分式的化简求值做好铺垫。
（七）课堂小结
活动内容：
1．异分母分式相加减的法则。
2．通分的关键就是找最简公分母，对于分母是多项式且能够进行分解因式的要先分解后再类比最小公倍数找最简公分母。
3．通分前是单项式的分子通分后就可能是多项式了，运算时记得添括号。
4．运算结果要约分，有一些运算律仍然适用。
活动目的：
小结本节课的主要内容，让学生对所学习知识有一个整体把握，同时帮助梳理知识，再次点明关键点。
活动的注意事项：
可以选择让学生自己小结的方式，效果可能更好。
【第三课时】
【教学目标】
1．会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算；
2．提高学生对代数式化简变形的能力；
3．能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值；
4．会运用分式建立数学模型，从而解决实际问题，增强学生用数学的意思。
【教学重点】
1．会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算；
2．能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值；
【教学难点】
1．提高学生对代数式化简变形的能力；
2．能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值；
3．会运用分式建立数学模型，从而解决实际问题，增强学生用数学的意思。
【教学过程】
第一环节 复习引入
问一问：同分母分式是怎样进行加减运算的？异分母分式呢？
练一练：； ； .
第二环节 学习新知
（1） （2）
第三环节 练习巩固
计算：（1） （2） （3）
第四环节 再探分式加减的应用
已知，求的值。
与同伴交流你有几种解法？
做一做
根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m，从而缩短了工期假设原计划每天修建盲道xm，那么：
（1）原计划修建这条盲道需要多少天？实际修建这条盲道用了多少天？
（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
第五环节 巩固提高
活动内容
1．先化简，再求值：
已知，求的值。
已知，求的值。
2．某蓄水池装有A、B两个进水管，每小时可分别进水at，bt。若单独开放A进水管，ph可将该水池注满。如果A、B两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？
第六环节 课堂小结
1．异分母分式相加减的法则及通分的注意事项。
2．分式的化简求值及变形。
3．实际问题中能正确把握分式所表示的意义将更有助于解题。
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