高中数学必修第一册人教A版（2019）3.4《函数的应用（一）》教学设计

《函数的应用（一）》教学设计
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.常见的几种函数模型 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学运算 数学建模 【考查内容】 一次函数、二次函数、幂函数、反比例函数以及分段函数的模型的选择与应用,求实际问题中的最值为考查重点 【考查题型】 多以解答题出现
2.幂函数模型、分段函数模型 数学运算 数学建模
一、本节内容分析
本节内容是在学生熟知的函数的概念、表示法和对函数性质有了一定了解的基础上研究函数在实际中的应用,内容涵盖行程、几何、利润、费用等各个方面,既有分段表示,也有求最值,类型多样,能让学生对数学的实际应用性产生深刻的认识.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.常见的几种函数模型 2.幂函数模型、分段函数模型 数学建模 数学运算 核心素养
二、学情整体分析
学生在前面已经学习了一次函数、二次函数、幂函数等函数的图象和性质,对函数有一定程度的认识和理解,并能建立简单实际问题的分段函数的解析式,具备了一定的分析与解决问题的能力.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.常见的几种函数模型
2.幂函数模型、分段函数模型
【教学目标设计】
1.通过对函数模型应用实例的学习,会根据收集到的相关数据所作出的散点图进行拟合,建立适当的数学模型,并总结出解决该类问题的方法和步骤.
2.通过现实世界不同变化规律的数学化研究,掌握研究实际问题的基本方法——数学建模.
【教学策略设计】
通过分析题意,引导学生自主阅读教材,让学生进行探究,同时借助计算机,充分利用多媒体教学,直观形象地展示函数图象.教师可以再举出几个教材之外的实际问题,让学生试着建立函数关系来进行解答,提升学生的数学建模核心素养,激发学生的学习欲望.
【教学方法建议】
探究教学法、讨论法,还有_________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
利用给定的函数模型解决实际问题,特别是分段函数的应用.
难点:
函数模型的体验以及建立实际问题的分段函数解析式.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实生活有紧密的联系,下面通过一些实例感受它们的广泛应用,体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法.
师:上新课之前,请同学们回答这样两个问题:
(1)分段函数的定义是什么
(2)作出函数的图象,分别求出的值.
【学生回答,教师给予肯定或补充】.
【设计意图】
复习分段函数的相关内容,为本节课的学习奠定基础.
教学精讲
探究1 常见的几种函数模型
师:请看下面这样一个例题.
【典型例题】
—次函数模型
例1 某厂日生产文具盒的总成本(元)与日产量(套)之间的关系为.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒多少套
生:因为利润,所以,由解得,故至少日生产文具盒5000套.
师:应用一次函数模型时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则.下面再看一个二次函数模型的例题.
【设情境,巧激趣】
通过实际生活情境,引入一次函数模型,使学生体会数学与实际生活的联系,增加学生用数学知识解决实际问题的学习兴趣.
【分析计算能力】
教师提示,学生建立一次函数模型解答实际问题,培养学生的分析计算能力.
【典型例题】
二次函数模型
例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量(箱)与销售单价(元/箱)之间的函数关系式.
(2)求该批发商平均每天的销售利润(元)与销售单价(元/箱)之间的函数关系式.
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润 最大利润是多少
【师生共同分析:本题中平均每天的销售量(箱)与销售单价(元/箱)是一个一次函数关系,虽然,可把问题看成一次函数模型的应用问题;平均每天的销售利润(元)与销售单价(元/箱)是一个二次函数关系,可看成是一个二次函数模型的应用题】
生:(1)根据题意,得,化简,得.
生:(2)因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润.所以.
生:(3)因为,所以当时,随的增大而增大.又,所以当时,有最大值,最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元.
师:二次函数模型的解析式为.在函数建模中,它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题,二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
【概括理解能力】
学生理解题意,建立二次函数模型解答实际问题,教师强调其重要地位,学生回答,培养学生的概括理解能力、分析计算能力.
探究2 幂函数模型、分段函数模型
师:接下来看一下幂函数模型的例题.
【典型例题】
幂函数模型
例3 若用模型描述汽车紧急刹车后滑行的距离(单位:)与刹车时的速率(单位:)的关系,而某种型号的汽车在速率为时,紧急刹车后滑行的距离为在限速为的高速公路上,一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为,那么这辆车是否超速行驶
【学生思考,教师提示:先由给出的数据求出的值,再由求,学生独立完成此题,教师点评】
生:由,得;由,得,因为,所以,所以这辆车没有超速行驶.
【简单问题解决能力】
教师提示,学生理解题意,建立幂函数模型解答实际问题,培养学生的简单问题解决能力和数学建模核心素养.
师:分段函数的模型问题该如何解决
【典型例题】
分段函数模型
例4 设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与教材P70例8相同,全年综合所得收入额为(单位:元),应缴纳综合所得个税税额为 (单位:元).
(1)求关于的函数解析式.
(2)如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元,那么他全年应缴纳多少综合所得个税
师:根据公式“应纳税所得额=全年综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除”可得应纳税所得额关于综合所得收入额的解析式,再结合的解析式得到,即可得出关于的函数解析式.
生:(1)关于的函数解析式为
(2)根据(1)的解析式,当时,.
【综合问题解决能力】
通过教师提示,学生理解题意,建立分段函数模型解答实际综合问题,通过实际演练,锻炼学生的综合问题解决能力,提升数学建模核心素养.
【情境学习】
在实际问题情境中,借助函数图象,分析计算分段函数,充分体现数形结合思想,同时培养学生的观察记忆、分析计算能力.
师:解决实际应用题时,先审题;然后利用数学知识,建立相应的数学模型;求解数学模型,得出数学结论;最后将数学问题还原为实际问题.
【典型例题】
分段函数的应用
例5 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率(单位:)与时间(单位:)的关系如图所示,
(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义.
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数(单位:)与时间的函数解析式,并画出相应的图象.
师:当时间在内变化时,对于任意的时刻都有唯一确定的行驶路程与之相对应,根据上图,在时间段内行驶的平均速率分别为,因此在每个时间段内,行驶路程与时间的关系也不一样,需要分段表述.
【学生分析,合作探究,完成此题,教师点评】
生:(1)图中阴影部分的面积为,阴影部分的面积表示汽车在这内行驶的路程为.
图象如图所示:
师:本题所涉及的数学模型是固定的,需要我们利用问题中的数据及蕴含的关系建立数学模型,解答过程表明,函数图象对分析和理解题意很有帮助.因此,我们要注意提高读图能力.
【少教精教】
学生根据教师的引导,通过合作探究的方式完成例5题（分段函数的应用）,教师根据完成结果把控课堂教学效果,少教精教,使学生达到学习目标要求.
师:下面我们根据所学知识,进行巩固练习.
【巩固练习】
函数的应用(一
某公司生产某种产品的固定成本为150万元,而每件产品的可变成本为2500元,每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去,则:
(1)设总成本为(单位:万元),单位成本为(单位:万元),销售总收入为(单位:万元),总利润为(单位:万元),分别求出它们关于总产量(单位:件)的函数解析式.
(2)根据所求函数的图象,对这个公司的经济效益作出简单分析.
【学生完成此题,教师评价、总结】
生:(1)由题意得.
(2)画出的图象如图.由图象可知,当1500时,该公司亏损;当时,公司不赔不赚;当1500时,公司盈利.
师:总成本固定成本可变成本;单位成本;销售收入售价总产量;总利润销售收入-总成本.
【简单问题解决能力】
建立函数模型、解决实际问题,加深学生对函数模型的认识,培养学生的分析计算能力、简单问题解决能力.
师:本节课,你都学到了哪些知识
【课堂小结】
函数的应用(一)
1.解有关函数的应用题,首先应考虑选择哪一种函数作为模型,然后建立其解析式.求解析式时,一般利用待定系数法,要充分挖掘题目的隐含条件,充分利用函数图象的直观性解决问题.
2.数学建模的过程图示如下:
【设计意图】
引导学生学会自己总结,层层深入,梳理本节课内容,让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程,及时归纳复习,掌握本节所学知识,学会建立函数模型解决实际问题,培养学生的概括理解、分析计算、简单问题解决、综合问题解决能力,提升数学建模、数学运算核心素养.
教学评价
学完本节课,学生应对常见的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型有所了解,会从实际问题中抽象出函数模型,从而解决问题.
【设计意图】
引导学生建立函数模型,解决实际问题,学以致用,进一步巩固所学知识,提升学生解决问题的能力.
应用所学知识,完成下面各题:
1.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在的一节课中,注意力指数与听课时间(单位:min)之间的关系满足如图的图象.
当时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点为,过点;当时,图象是线段,其中.根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.
(1)试求的解析式.
(2)教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳 请说明理由.
解析:(1)分别利用待定系数法求出二次函数和一次函数的解析式,可得的解析式.(2)令,分两种情况解不等式即可.具体解题过程如下:
(1)当时,设.
因为该部分图象过点,将点的坐标代入上式,得,
所以.
当时,设.
因为线段过点,将它们的坐标分别代入上式,得方程组解得所以.
故所求函数解析式为
(2)由题意,得或
解得或,即.
故教师应在时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳.
2.某热力公司每年燃料费约24万元,为了“环评”达标,需要安装一块面积为0)(单位:平方米)可用15年的太阳能板,其工本费为(单位:万元),并与燃料供热互补工作,从此,公司每年的燃料费为(为常数)万元,记为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和.
(1)求的值,并建立关于的函数关系式.
(2)求的最小值,并求出此时所安装太阳能板的面积.
解析:解决本题首先分题目要求,建立合适的函数模型,然后利用待定系数法求解函数解析式,最后根据函数解析式的特征,选择适当的方法求解最值.具体解题过程如下:
(1)根据题设条件,当时,,得,即.
(2).
(当且仅当,即时,等号成立)
答:当所安装的太阳能板的面积为55平方米时,该公司的费用之和的最小值为万元.
【综合问题解决能力】
通过建立函数模型,解决实际综合问题,学以致用,加深学生对基本函数模型的理解,掌握利用函数的单调性、不等式的基本性质等方法解决最值问题,培养了学生的综合问题解决能力,提升了数学建模、数学运算核心素养.
教学反思
运用函数解决实际问题,关键在“审题”,这是建立函数模型的重要一步,通过审题,理清问题中的数量关系和因果关系,同时在审题的时候注意准确理解有关概念,如利润,成本,平均成本等.在教学过程中要重视学生的主体参与,引导学生自主学习、独立思考、合作交流、积极探究等多种学习方式,不仅让学生加深了对函数的理解,而且初步感受到函数思想和数学建模的过程.
【以学定教】
综合一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型、分段函数模型在实际问题中的应用,深层理解分析题意,建立适合的函数模型解决实际问题的重要性.
【以学论教】
我们通过情境教学法引出本节的学习,探究函数的常见模型,解决与实际生活有关的函数问题.根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略,体现较好,在教学过程提醒学生注意准确理解相关概念.
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