高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质
1．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）直线y＝kx－k＋1与椭圆 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，
又 ，所以点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
故答案为：A．
【分析】首先整理直线的方程求出直线过的定点，再由已知条件把点的坐标代入计算出由此得出答案。
2．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）过椭圆 的左焦点作倾斜角为 的弦 ，则弦 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】因为椭圆 的左焦点是 ,又因为直线的倾斜角为 ，
所以直线 的方程为 ．
由 消去 并整理，得 ．
设 ，则 ， ．
由弦长公式，得 ，
故答案为：B
【分析】根据题意首先求出椭圆的焦点坐标由点斜式求出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理求出两根之和与两根之积，再把数值代入到弦长公式计算出结果即可。
3．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）直线 被椭圆 所截得线段的中点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】直线 与椭圆 联立，得 消去 整理，得 ．
设直线与椭圆的交点 ，中点 ．
，
∴中点坐标为 ．
故答案为：C
【分析】根据题意联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理求出两根之和与两根之积，由直线方程和中点坐标公式整理即可求出中点坐标。
4．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）椭圆 的长轴长、短轴长分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】把 化成标准形式为 ，得 ，则长轴长为4，短轴长 ．
故答案为：C.
【分析】首先根据题意把椭圆的方程化为标准式，再由椭圆的性质即可求出a与b的值由此得出答案。
5．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）已知 分别为椭圆 的左，右焦点， 为上顶点，则 的面积为（ ）
A．6 B．15 C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆方程 得 ， ．
，
故答案为：D
【分析】首先由椭圆方程的性质即可求出顶点、焦点的坐标以及焦距，结合三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
6．（2020高二上·林芝期末）中心在原点，焦点在 轴上， 若长轴长为 ，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】长轴 ，长轴三等分后 ，
故 ，
故答案为： .
【分析】先由已知得到a=9，c=3，再求出，即可求出椭圆的标准方程.
7．（2018高二上·儋州月考）椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可得椭圆的焦点在轴上且a=13，b=10，∴ = ．
∴焦点为 ．
故答案为：D．
【分析】由题意可得椭圆的焦点在轴上，并确定与的值，然后根据，即可得到的值，进而得出焦点坐标。
8．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）已知椭圆 左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且 轴，直线 交 轴于点 ，若 ，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图所示，由 轴，故 ，即 ，
设 ，
因为 ，即 ，所以 ，解得 ，
所以椭圆的离心率为 ，
故答案为：D．
【分析】根据题意由已知条件求出顶点B的坐标，在射出点P的坐标由已知条件结合向量的坐标关系整理即可得出，由整体思想即可求出离心率的值。
9．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）已知 ，则椭圆 与椭圆 （ 且 ）有（ ）
A．相同的焦点 B．相同的顶点
C．相同的离心率 D．相同的长、短轴
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】将椭圆方程 （ 且 ）化为标准方程，得 （ 且 ），
所以离心率 ，
故答案为：C．
【分析】首先把椭圆 的方程化为标准式再由离心率公式和椭圆里a、b、c的关系，整理即可得出答案。
10．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）已知椭圆 =1与椭圆 =1有相同的长轴，椭圆 =1的短轴长与椭圆 =1的短轴长相等，则下列结论不正确的有（ ）
A．a2=25，b2=16 B．a2=9，b2=25
C．a2=25，b2=9或a2=9，b2=25 D．a2=25，b2=9
【答案】A,B,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆 的长轴长为10，椭圆 的短轴长为6，
由题意可知椭圆 的焦点在x轴上，即有 ， .故只有D对
故答案为：ABC
【分析】根据题意由椭圆的简单性质对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2019高二上·南京期中）在平面直角坐标系 中，若椭圆 的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆 的离心率是 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由已知， ，所以 ，故离心率为 .
故答案为： .
【分析】由题易得 ，再利用 计算即可.
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）过椭圆 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】椭圆 的右焦点（1，0），直线AB的方程为y﹣0＝2（x﹣1），
即 y＝2x﹣2，代入椭圆 化简可得3x2﹣5x＝0，
∴x1+x2 ，x1 x2＝0，∴AB ，
O到直线AB的距离d ，故△OAB的面积为 ．
【分析】根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可求出两根之和与两根之积，并把数值代入到弦长公式计算出AB的值，再由点到直线的距离公式求出三角形的高，由此即可求出三角形的面积值。
13．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）椭圆 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形.若该三角形内切圆的半径为 ，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆 短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积 ，周长为 .
由题意可得 ，得 ，
所以 ，因此该椭圆的离心率为 .
故答案为： .
【分析】根据题意由椭圆的性质以及已知条件即可得出三角形的面积以及周长为 ，整理化简即可得出，由整体思想结合离心率的公式即可求出离心率的值。
14．（2020高二上·静海月考）已知椭圆 的右焦点为F，左顶点是A，P在 上，若 是底角为30°的等腰三角形，则
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】画出图像如下图所示，
由图可知 ， ，在 中， ，即 ，化简得 .
故答案为：
【分析】根据题意画出图像，解直角三角形得到 的关系式，化简求得离心率.
15．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上存在一点 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】在△PF1F2中，由正弦定理得： ，则由已知得： ，即：a|PF1|=|cPF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）
解得：x0= ，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则 >-a
整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜- -1或e＞ -1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈( -1，1)，
故答案为( -1，1)．
【分析】根据题意由正弦定理整理即可得出a|PF1|=|cPF2|，再由焦半径公式代入即可得到a（a+ex0）=c（a-ex0）求解出x0，再由椭圆的取值范围即可得到关于离心率的方程求解出结果即可。
16．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）若点O和点F分别为椭圆 ＋ ＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 · 的最大值为 .
【答案】6
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆 ＋ ＝1，可得F(－1，0)，点O(0，0)，
设P(x，y)(－2≤x≤2)，则 · ＝x2＋x＋y2
＝x2＋x＋3 ＝ x2＋x＋3＝ (x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当x＝2时， · 取得最大值6.
故答案为：6
【分析】 根据题意设出点P（x，y）的坐标，由数量积运算及点P在椭圆上可把· 表示为x的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值 即可
17．（2019高二上·浙江期中）已知F是椭圆 的右焦点，点P在椭圆上，且P到原点O的距离等于半焦距， 的面积为6，则 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】设 ，
点P在椭圆上， ①
又 点P到原点O的距离等于半焦距，
，
即 ②
的面积为6，
，
可得 ③
把③代入②得，
把③代入①得，
故得 ．
故答案为: ．
【分析】运用椭圆的定义和性质，三角形面积，根据题意找到 坐标之间的关系，利用解方程组的方法就可得到b的值．
18．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）设椭圆 的短轴长为4，离心率为 ．
（1）当直线 与椭圆有公共点时，求实数 的取值范围；
（2）设点 是直线 被椭圆所截得的线段 的中点，求直线 的方程．
【答案】（1）解：因为离心率 ，所以 ，
又因为椭圆的短半轴长 ，
所以 ，即椭圆方程为 ，
联立 得 ，
因为直线 与椭圆有公共点，
所以 ，
即 ，解得
（2）解：设 ，由 在椭圆内，
过点 的直线与椭圆有两个交点,
再由椭圆的对称性可确定直线 的斜率一定存在.
则 ，
整理得：
所以斜率 ，所以直线 的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆简单性质，结合离心率公式以及椭圆里a、b、c的关系即可求出a与b的值由此得到椭圆的方程，再联立直线与椭圆的方程消去y的关于x的方程，结合题意 直线 与椭圆有公共点， 由二次函数的性质对判别式进行限制，由此得到关于m的不等式求解出m的取值范围即可。
(2)首先由点与椭圆的位置关系即可得出 过点 的直线与椭圆有两个交点 ，结合椭圆的对称性把点的坐标代入由点差法即可得出直线的斜率，再由点斜式即可求出直线的方程。
19．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）如图，设 是圆 上的动点，点 是 在 轴上的投影， 为 上一点，且 .
（1）当 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程；
（2）求过点 且斜率为 的直线被 所截线段的长度.
【答案】（1）解：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由已知得 .
∵ 在圆上， ，
即 ，整理得 ，即 的方程为
（2）解：过点 且斜率为 的直线方程为 ，
设直线与 的交点为 ， ，将直线方程 代入 的方程，
得 ，即 .
∴x1+x2=3，x1 x2=-8∴线段 的长度为
.
∴直线被 所截线段的长度为
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】(1)根据题意设出点M和点P的坐标，结合题意得出再由点P在圆上代入整理即可得到x和y的方程即为点M的轨迹方程。
(2)根据题意由点斜式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即求出两根之和与两根之积，再把数值代入到弦长公式计算出结果即可。
20．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）如图，椭圆 （ ）的离心率 ， ， 分别是椭圆的左焦点和右顶点， 是椭圆上任意一点，若 的最大值是12，求椭圆的方程．
【答案】解：由题易知 ，设 ，
， ，
设 ，则 ，
， ，
∴
，
∴当 时， 有最大值，且最大值为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴椭圆的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】 根据题意先将若表示为P点的横坐标m的函数，然后求出取最大值时的c的值，再结合离心率的公式以及，解方程组，即可求出椭圆的方程．
21．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）已知椭圆 上有一点 ，它关于原点的对称点为 ，点 为椭圆的右焦点，且满足 ，设 ，且 ，求该椭圆的离心率 的取值范围．
【答案】解：如图所示，设椭圆的左焦点为 ，连接 ，则四边形 为矩形，
．
，
，
．
，
，
，
，
∴椭圆的离心率
【知识点】椭圆的简单性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】根据题意由正弦函数、余弦函数公式结合直角三角形以及椭圆的定义整理即可得出，由离心率公式整理得到结合正弦函数的性质即可得出最值即离心率的取值范围。
22．（2018高二上·思南月考）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， ， ， ， 的面积为1.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证： 为定值.
【答案】（1）解： 由题意得 解得 .
所以椭圆 的方程为
（2）解： 由（Ⅰ）知， ，
设 ，则 .
当 时，直线 的方程为 .
令 ，得 ，从而 .
直线PB的方程为 .
令 ，得 ，从而 .
所以
=4.
当 时， ，
所以 .
综上， 为定值
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1） 由题意得关于a、b、c的方程组， 解得 的值，即可得出 椭圆 的方程；
（2） 设 ，分别得出 直线 的方程与 直线PB的方程 ，经计算可得 为定值.
23．（2019高二上·荆州期中）已知椭圆 ： 的离心率 ，过椭圆的左焦点 且倾斜角为 的直线与圆 相交所得弦长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）是否存在过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，若存在，求直线 的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得 ，
过椭圆的左焦点 且倾斜角为 的直线方程为： ，
由直线与圆 相交所得弦的长度为 ，
可得 ，
又 ，
解方程可得 ， ， ，
即有椭圆的方程为 ；
（2）解：设
①若直线 垂直于 轴， 与椭圆交于 ，
取 ， ，满足
②直线 不垂直于 轴时，设方程为 ，代入椭圆方程 得
，
①， ②
对于 ，包含两种情况
i） ，即 ，
∴ ，即
代入①②得 ，消去 得
，解得 ，满足
的方程为 或
ii) ，即
∴
代入①②得 ，消去 得
，有 ，无解
综上 的方程为 或 或
【知识点】直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合 ， ， 的关系，解方程可得 ， ，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线 的斜率存在和不存在，当斜率存在时 则存在 和 的两种情况，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求出斜率 ，即可求出直线方程。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质
1．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）直线y＝kx－k＋1与椭圆 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
2．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）过椭圆 的左焦点作倾斜角为 的弦 ，则弦 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）直线 被椭圆 所截得线段的中点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
4．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）椭圆 的长轴长、短轴长分别为（ ）
A． B． C． D．
5．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）已知 分别为椭圆 的左，右焦点， 为上顶点，则 的面积为（ ）
A．6 B．15 C． D．
6．（2020高二上·林芝期末）中心在原点，焦点在 轴上， 若长轴长为 ，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．（2018高二上·儋州月考）椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）已知椭圆 左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且 轴，直线 交 轴于点 ，若 ，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
9．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）已知 ，则椭圆 与椭圆 （ 且 ）有（ ）
A．相同的焦点 B．相同的顶点
C．相同的离心率 D．相同的长、短轴
10．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）已知椭圆 =1与椭圆 =1有相同的长轴，椭圆 =1的短轴长与椭圆 =1的短轴长相等，则下列结论不正确的有（ ）
A．a2=25，b2=16 B．a2=9，b2=25
C．a2=25，b2=9或a2=9，b2=25 D．a2=25，b2=9
11．（2019高二上·南京期中）在平面直角坐标系 中，若椭圆 的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆 的离心率是 .
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）过椭圆 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 ．
13．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）椭圆 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形.若该三角形内切圆的半径为 ，则该椭圆的离心率为 .
14．（2020高二上·静海月考）已知椭圆 的右焦点为F，左顶点是A，P在 上，若 是底角为30°的等腰三角形，则
15．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上存在一点 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
16．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）若点O和点F分别为椭圆 ＋ ＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 · 的最大值为 .
17．（2019高二上·浙江期中）已知F是椭圆 的右焦点，点P在椭圆上，且P到原点O的距离等于半焦距， 的面积为6，则 ．
18．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）设椭圆 的短轴长为4，离心率为 ．
（1）当直线 与椭圆有公共点时，求实数 的取值范围；
（2）设点 是直线 被椭圆所截得的线段 的中点，求直线 的方程．
19．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）如图，设 是圆 上的动点，点 是 在 轴上的投影， 为 上一点，且 .
（1）当 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程；
（2）求过点 且斜率为 的直线被 所截线段的长度.
20．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）如图，椭圆 （ ）的离心率 ， ， 分别是椭圆的左焦点和右顶点， 是椭圆上任意一点，若 的最大值是12，求椭圆的方程．
21．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质）已知椭圆 上有一点 ，它关于原点的对称点为 ，点 为椭圆的右焦点，且满足 ，设 ，且 ，求该椭圆的离心率 的取值范围．
22．（2018高二上·思南月考）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， ， ， ， 的面积为1.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证： 为定值.
23．（2019高二上·荆州期中）已知椭圆 ： 的离心率 ，过椭圆的左焦点 且倾斜角为 的直线与圆 相交所得弦长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）是否存在过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，若存在，求直线 的方程；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，
又 ，所以点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
故答案为：A．
【分析】首先整理直线的方程求出直线过的定点，再由已知条件把点的坐标代入计算出由此得出答案。
2．【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】因为椭圆 的左焦点是 ,又因为直线的倾斜角为 ，
所以直线 的方程为 ．
由 消去 并整理，得 ．
设 ，则 ， ．
由弦长公式，得 ，
故答案为：B
【分析】根据题意首先求出椭圆的焦点坐标由点斜式求出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理求出两根之和与两根之积，再把数值代入到弦长公式计算出结果即可。
3．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】直线 与椭圆 联立，得 消去 整理，得 ．
设直线与椭圆的交点 ，中点 ．
，
∴中点坐标为 ．
故答案为：C
【分析】根据题意联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理求出两根之和与两根之积，由直线方程和中点坐标公式整理即可求出中点坐标。
4．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】把 化成标准形式为 ，得 ，则长轴长为4，短轴长 ．
故答案为：C.
【分析】首先根据题意把椭圆的方程化为标准式，再由椭圆的性质即可求出a与b的值由此得出答案。
5．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆方程 得 ， ．
，
故答案为：D
【分析】首先由椭圆方程的性质即可求出顶点、焦点的坐标以及焦距，结合三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
6．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】长轴 ，长轴三等分后 ，
故 ，
故答案为： .
【分析】先由已知得到a=9，c=3，再求出，即可求出椭圆的标准方程.
7．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可得椭圆的焦点在轴上且a=13，b=10，∴ = ．
∴焦点为 ．
故答案为：D．
【分析】由题意可得椭圆的焦点在轴上，并确定与的值，然后根据，即可得到的值，进而得出焦点坐标。
8．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图所示，由 轴，故 ，即 ，
设 ，
因为 ，即 ，所以 ，解得 ，
所以椭圆的离心率为 ，
故答案为：D．
【分析】根据题意由已知条件求出顶点B的坐标，在射出点P的坐标由已知条件结合向量的坐标关系整理即可得出，由整体思想即可求出离心率的值。
9．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】将椭圆方程 （ 且 ）化为标准方程，得 （ 且 ），
所以离心率 ，
故答案为：C．
【分析】首先把椭圆 的方程化为标准式再由离心率公式和椭圆里a、b、c的关系，整理即可得出答案。
10．【答案】A,B,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆 的长轴长为10，椭圆 的短轴长为6，
由题意可知椭圆 的焦点在x轴上，即有 ， .故只有D对
故答案为：ABC
【分析】根据题意由椭圆的简单性质对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由已知， ，所以 ，故离心率为 .
故答案为： .
【分析】由题易得 ，再利用 计算即可.
12．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】椭圆 的右焦点（1，0），直线AB的方程为y﹣0＝2（x﹣1），
即 y＝2x﹣2，代入椭圆 化简可得3x2﹣5x＝0，
∴x1+x2 ，x1 x2＝0，∴AB ，
O到直线AB的距离d ，故△OAB的面积为 ．
【分析】根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可求出两根之和与两根之积，并把数值代入到弦长公式计算出AB的值，再由点到直线的距离公式求出三角形的高，由此即可求出三角形的面积值。
13．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆 短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积 ，周长为 .
由题意可得 ，得 ，
所以 ，因此该椭圆的离心率为 .
故答案为： .
【分析】根据题意由椭圆的性质以及已知条件即可得出三角形的面积以及周长为 ，整理化简即可得出，由整体思想结合离心率的公式即可求出离心率的值。
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】画出图像如下图所示，
由图可知 ， ，在 中， ，即 ，化简得 .
故答案为：
【分析】根据题意画出图像，解直角三角形得到 的关系式，化简求得离心率.
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】在△PF1F2中，由正弦定理得： ，则由已知得： ，即：a|PF1|=|cPF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）
解得：x0= ，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则 >-a
整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜- -1或e＞ -1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈( -1，1)，
故答案为( -1，1)．
【分析】根据题意由正弦定理整理即可得出a|PF1|=|cPF2|，再由焦半径公式代入即可得到a（a+ex0）=c（a-ex0）求解出x0，再由椭圆的取值范围即可得到关于离心率的方程求解出结果即可。
16．【答案】6
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆 ＋ ＝1，可得F(－1，0)，点O(0，0)，
设P(x，y)(－2≤x≤2)，则 · ＝x2＋x＋y2
＝x2＋x＋3 ＝ x2＋x＋3＝ (x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当x＝2时， · 取得最大值6.
故答案为：6
【分析】 根据题意设出点P（x，y）的坐标，由数量积运算及点P在椭圆上可把· 表示为x的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值 即可
17．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】设 ，
点P在椭圆上， ①
又 点P到原点O的距离等于半焦距，
，
即 ②
的面积为6，
，
可得 ③
把③代入②得，
把③代入①得，
故得 ．
故答案为: ．
【分析】运用椭圆的定义和性质，三角形面积，根据题意找到 坐标之间的关系，利用解方程组的方法就可得到b的值．
18．【答案】（1）解：因为离心率 ，所以 ，
又因为椭圆的短半轴长 ，
所以 ，即椭圆方程为 ，
联立 得 ，
因为直线 与椭圆有公共点，
所以 ，
即 ，解得
（2）解：设 ，由 在椭圆内，
过点 的直线与椭圆有两个交点,
再由椭圆的对称性可确定直线 的斜率一定存在.
则 ，
整理得：
所以斜率 ，所以直线 的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆简单性质，结合离心率公式以及椭圆里a、b、c的关系即可求出a与b的值由此得到椭圆的方程，再联立直线与椭圆的方程消去y的关于x的方程，结合题意 直线 与椭圆有公共点， 由二次函数的性质对判别式进行限制，由此得到关于m的不等式求解出m的取值范围即可。
(2)首先由点与椭圆的位置关系即可得出 过点 的直线与椭圆有两个交点 ，结合椭圆的对称性把点的坐标代入由点差法即可得出直线的斜率，再由点斜式即可求出直线的方程。
19．【答案】（1）解：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由已知得 .
∵ 在圆上， ，
即 ，整理得 ，即 的方程为
（2）解：过点 且斜率为 的直线方程为 ，
设直线与 的交点为 ， ，将直线方程 代入 的方程，
得 ，即 .
∴x1+x2=3，x1 x2=-8∴线段 的长度为
.
∴直线被 所截线段的长度为
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】(1)根据题意设出点M和点P的坐标，结合题意得出再由点P在圆上代入整理即可得到x和y的方程即为点M的轨迹方程。
(2)根据题意由点斜式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即求出两根之和与两根之积，再把数值代入到弦长公式计算出结果即可。
20．【答案】解：由题易知 ，设 ，
， ，
设 ，则 ，
， ，
∴
，
∴当 时， 有最大值，且最大值为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴椭圆的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】 根据题意先将若表示为P点的横坐标m的函数，然后求出取最大值时的c的值，再结合离心率的公式以及，解方程组，即可求出椭圆的方程．
21．【答案】解：如图所示，设椭圆的左焦点为 ，连接 ，则四边形 为矩形，
．
，
，
．
，
，
，
，
∴椭圆的离心率
【知识点】椭圆的简单性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】根据题意由正弦函数、余弦函数公式结合直角三角形以及椭圆的定义整理即可得出，由离心率公式整理得到结合正弦函数的性质即可得出最值即离心率的取值范围。
22．【答案】（1）解： 由题意得 解得 .
所以椭圆 的方程为
（2）解： 由（Ⅰ）知， ，
设 ，则 .
当 时，直线 的方程为 .
令 ，得 ，从而 .
直线PB的方程为 .
令 ，得 ，从而 .
所以
=4.
当 时， ，
所以 .
综上， 为定值
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1） 由题意得关于a、b、c的方程组， 解得 的值，即可得出 椭圆 的方程；
（2） 设 ，分别得出 直线 的方程与 直线PB的方程 ，经计算可得 为定值.
23．【答案】（1）解：由题意可得 ，
过椭圆的左焦点 且倾斜角为 的直线方程为： ，
由直线与圆 相交所得弦的长度为 ，
可得 ，
又 ，
解方程可得 ， ， ，
即有椭圆的方程为 ；
（2）解：设
①若直线 垂直于 轴， 与椭圆交于 ，
取 ， ，满足
②直线 不垂直于 轴时，设方程为 ，代入椭圆方程 得
，
①， ②
对于 ，包含两种情况
i） ，即 ，
∴ ，即
代入①②得 ，消去 得
，解得 ，满足
的方程为 或
ii) ，即
∴
代入①②得 ，消去 得
，有 ，无解
综上 的方程为 或 或
【知识点】直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合 ， ， 的关系，解方程可得 ， ，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线 的斜率存在和不存在，当斜率存在时 则存在 和 的两种情况，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求出斜率 ，即可求出直线方程。
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