四川省南充市蓬安县2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共计40分）
1．（2022九下·蓬安开学考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，B不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，C符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形是指，沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指，绕着某点旋转180°后，能够与原来图形完全重合的图形. 根据轴对称图形和中心对称图形定义即可判断.
2．（2022九下·蓬安开学考）把方程 化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，5，0 B． C．2，5，1 D．2，1，0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：2x（x-1）=3x，
整理为一般形式为：2x2-5x=0，
∴二次系数为2，一次项系数为-5，常数项为0.
故答案为：B.
【分析】将方程2x（x-1）=3x，整理为一元二次方程一般形式：2x2-5x=0，即可解决问题.
3．（2021九上·宝山期末）把抛物线向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把抛物线向左平移2个单位长度，所得直线解析式为：，即；
故答案为：C．
【分析】利用抛物线解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
4．（2022九下·蓬安开学考）下列说法正确的是（ ）
A．新冠肺炎疫情防控期间，复学学生的核酸检测适合采用抽样调查
B．程晨投篮投中的概率是0.6，说明他投10次篮球一定能中6次
C．“平分弦的直径必垂直于这条弦”是一个必然事件
D．“在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似”为随机事件
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；随机事件；事件发生的可能性
【解析】【解答】A、 新冠肺炎疫情防控期间，复学学生的核酸检测需要全面调查，A不符合题意；
B、概率是反映事件发送可能性的大小，不一定是确定数据，B不符合题意；
C、平分弦的直径必垂直于这条弦的前提条件是弦是非直径，C不符合题意；
D、随意画的两个直角三角形可能相似，是随机事件，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、新冠肺炎疫情防控期间，复学学生的核酸检测安全重要性高，需要全面调查；B、概率是反映事件发送可能性的大小，概率为0.6，不能说明投10次篮球一定能中6次；C、根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦即可判断；D、随意画的两个直角三角形可能相似或不相似，即可判断.
5．（2022九下·蓬安开学考）在同一平面内，有一半径为6的 和直线 ，直线 上有一点 ，且 ；则直线 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆O的半径为6.直线m上有一点P，OP=4，4＜6，
∴直线与圆O相交.
故答案为：A.
【分析】根据直线与圆的位置关系判断，即：d＞r，相离；d=r，相切；d＜r，相交.
6．（2022九下·蓬安开学考）在平面直角坐标系xOy中，点 关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；关于原点对称的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵P（2x-1，x+3），
∴P点关于原点中心对称的点P'坐标为：（-2x+1，-x-3），
∵点P'在第四象限内，
∴，解得：-3＜x＜.
故答案为：B.
【分析】先求出P点关于原点中心对称的点P'坐标为：（-2x+1，-x-3），在根据点P'在第四象限内，列出关于x的不等式组 ，解不等等式组即可.
7．（2022九下·蓬安开学考）2020年初，受新冠肺炎疫情的影响，口罩等医用物资供不应求，某网店二月份口罩销量为256袋，三、四月份销量持续走高，四月份销量达400袋，则三、四月份这两个月的月平均增长率是（ ）
A．10% B．20% C．25% D．30%
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设三、四月份这两个月的月平均增长率为x，
由题意得：256（1+x）2=400，
解得：x=0.25或-2.25（舍去），
∴三、四月份这两个月的月平均增长率为25%.
故答案为：C.
【分析】本题为一元二次方程实际应用的平均增长率问题，根据：a（1+x）n=b，代入数据即可列出方程：256（1+x）2=400，再解这个一元二次方程即可.
8．（2022九下·蓬安开学考）如图，菱形OABC的顶点 的坐标为 ，顶点 在 轴的正半轴上.反比例函数 的图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．32
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥OA，
∵点C的坐标为（3，4），
∴OD=3，CD=4，
∴B点的纵坐标为4，
∴在直角三角形CDO中，由勾股定理得：OC==5，
∵菱形OABC ，
∴OC=BC=5，BC∥OA，
∴B点的横坐标为8，
∴B点坐标为（8，4），
∴k=8×4=32.
故答案为：D.
【分析】如图，过点C作CD⊥OA，由C的坐标为（3，4）可知：OD=3，CD=4，可得B点纵坐标为4，再由勾股定理求得OC=5，结合菱形性质可得BC=5，进而求得B点横坐标为8，根据点B在反比例函数图象上，即可求得k值.
9．（2022九下·蓬安开学考）已知抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为 ，其部分图象如图所示，下列结论中：
① ；② ；③抛物线与 轴的另一个交点的坐标为 ；④方程 有两个不相等的实数根．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①∵图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，①不符合题意；
②∵图象与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，②符合题意；
③∵对称轴为直线x=1，图象与x轴交于（3，0），
∴另一个交点坐标为（-1，0），③符合题意；
④∵二次函数y=ax2+bx+c与直线y=1有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=1有两个不等的实数根，④符合题意.
故答案为：C.
【分析】由图可知：图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，得a＞0，b＜0，c＜0，即可判断①；图象与x轴有两个交点，根据根判别式大于零时，抛物线与x轴有两个交点即可判断②；根据二次函数的对称性，由对称轴为x=1，一个交点为（3，0）即可求出另一交点坐标；根据一元二次方程与二次函数的关系，结合图象可知，抛物线与直线y=1有两个交点，即方程ax2+bx+c=1有两个不等的实数根，即可判断.
10．（2022九下·蓬安开学考）矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，将矩形沿MN折叠，使点C恰好落在AD边的中点F处，以矩形对称中心O点为圆心的圆与FN相切于点G，则⊙O的半径为（ ）
A．3.6 B． C．3.5 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，连接OF、OG、ON，过点O作OH⊥DC于点H，
∵O点为矩形对称中心，AB=12，BC=8，F为AD中点，
∴OF=DH=HC=DC=6，OH=FD=AD=4，
∵圆O与FN相切于点G，
∴OG⊥FN，
由折叠性质可得：FN=NC，设FN=NC=a，则DN=12-a
在直角三角形FDN中，FN2=FD2+DN2，即a2=42+（12-a）2，
解得，a=，
∴DN=，
∴NH=DH-DN=6-=，
在直角三角形OHN中，由勾股定理得：ON2=NH2+OH2=+16，
设FG=b，则GN=-b，
在直角三角形OGF和直角三角形OGN中，由勾股定理得：OF2-FG2=OG2=ON2-GN2，
∴62-b2=+16-（-b）2，解得b=，
∴OG2=36-（）2，解得OG=3.6，即半径为3.6.
故答案为：A.
【分析】如图，连接OF、OG、ON，过点O作OH⊥DC于点H，根据O点为矩形对称中心，AB=12，BC=8，F为AD中点，可得OF=DH=HC=DC=6，OH=FD=AD=4；由圆O与FN相切于点G，得OG⊥FN，再由折叠性质可得：FN=NC，设FN=NC=a，则DN=12-a，直角三角形FDN中，由勾股定理得，FN2=FD2+DN2，即a2=42+（12-a）2，解得，a=，进而得DN=，NH=，再在直角三角形OHN中，由勾股定理求得ON2；再设FG=b，则GN=-b，在直角三角形OGF和直角三角形OGN中，由勾股定理得：OG2=OF2-FG2=ON2-GN2，即：62-b2=+16-（-b）2，解得b=，再求出OG即可解决问题.
二、填空题(本大题每小题4分，共计24分)
11．（2021九上·香洲期末）已知关于x方程的一个根是1，则m的值等于 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：因为关于x方程的一个根是1，
所以，，解得，，
故答案为：2．
【分析】根据关于x方程的一个根是1，即可得出答案。
12．（2022九下·蓬安开学考）如图， 是由 绕点 顺时针旋转 后得到的图形，若点 恰好落在 上，且 的度数为 ，则 的度数是 .
【答案】35°
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ODC绕点O顺时针旋转30°得到△OAB，
∴AO=DO，∠AOD=∠BOC=30°，
∴∠A=∠ADO=（180°-30°）÷2=75°，
又∵∠AOC=100°，
∴∠DOB=∠AOC-∠AOD-∠BOC=100°-30°-30°=40°，
∵∠ADO=∠B+∠DOB，
∴∠B=∠ADO-∠DOB=75°-40°=35°.
故答案为：35°.
【分析】根据△ODC绕点O顺时针旋转30°得到△OAB，可得AO=DO，∠AOD=∠BOC=30°，进而求得∠A=∠ADO=75°，∠DOB=40°，最后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和列式计算即可.
13．（2022九下·蓬安开学考）如图，四边形ABCD是 的内接四边形， 的半径为 ，则弧 的长为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∠D=110°，
∴∠B=180°-∠D=180°-110°=70°，
∴∠AOC=2∠B=140°，
∴弧AC的长=.
故答案为：.
【分析】如图，连接OA，OC，根据圆内接四边形对角互求出∠B，再根据圆周角定理得出∠AOC度数，最后通过弧长公式：l=，代入数据计算即可.
14．（2022九下·蓬安开学考）从 两个数中随机选取一个数记为 ，再从 三个数中随机选取一个数记为 ，则 、 的取值使得一元二次方程 有两个不相等的实数根的概率是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知：
一共有6种等可能结果，其中使得一元二次方程x2-mx+n=0有两个不相等实数根，=b2-4ac=m2-4n＞0，共有4种情况，分别为：m=-2，n=-1；m=-2，n=0；m=1，n=-1；m=1，n=0，
∴概率为，P=.
故答案为：.
【分析】先画出树状图得出所有的等可能结果，再从结果中找出使得=b2-4ac=m2-4n＞0的所有符合条件的m、n的个数，再根据概率=即可求出.
15．（2022九下·蓬安开学考）如图，已知抛物线 与直线 交于 两点，则关于 的不等式 的解集是 .
【答案】-3＜x＜0
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】 解：∵直线y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c交于点A（-3，-1) ，B（0，3) ，
∴当ax2+bx+c＞kx+m时，找出y=ax2+bx+c图象在y=kx+m图象的上方时，对应自变量的取值范围即可，
即：当-3＜x＜0时，ax2+bx+c＞kx+m成立，
故答案：-3＜x＜0.
【分析】由直线y= kx+m与抛物线y=ax2+bx+c交于点A（-3，-1) ，B（0，3) ，结合图象判断，只要求出y=ax2+bx+c图象在y=kx+m图象的上方时，对应自变量的取值范围即可.
16．（2022九下·蓬安开学考）如图， 是双曲线 上的一点， 为 轴正半轴上的一点，将 点绕 点逆时针旋转 ，恰好落在双曲线上的另一点 ，则点 的坐标为 .
【答案】（-3，2）或（-2，3）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥OM于点M，过点B作BN⊥OM于点N，
∴∠PMA=∠BNP=90°，
∵将A点绕P点逆时针旋转90°，恰好落在双曲线上的另一点B，
∴PA=PB，∠APB=90°，
∴∠APM+∠BPN=∠BPN+∠PBN=90°，
∴∠APM=∠PBN，
∴△APM≌△BNP（AAS），
∴AM=PN，PM=BN，
∵点A（-1，6）在双曲线y=（x＞0）上，
∴k=-1×6=-6，AM=PN=1，
设点P（m，0），则OP=m，
∴PM=BN=6-m，ON=OP-PN=m-1，
∴点B坐标为（m-6，m-1），
∴k=（m-6）·（m-1）=-6，解得m=3或m=4，
∴点B坐标为（-3，2）或（-2，3）.
故答案为：（-3，2）或（-2，3）. 【分析】过点A作AM⊥OM于点M，过点B作BN⊥OM于点N，即得∠PMA=∠BNP=90°，由PA=PB、∠APB=90°，得∠APM+∠BPN=∠BPN+∠PBN=90°，推出∠APM=∠PBN，可证明△APM≌△BNP，根据全等三角形性质得AM=PN，PM=BN；再由点A（-1，6）在双曲线y=（x＞0）上，可得k=-6，AM=PN=1，设点P（m，0），则OP=m，再表示出PM=BN=6-m，ON=OP-PN=m-1，即得点B的坐标（m-6，m-1），再根据k=（m-6）·（m-1）=-6，解得m值即可解决问题.
三、解答题（本大题9个小题，共计86分）
17．（2022九下·蓬安开学考）解下列一元二次方程．
（1）
（2）
【答案】（1）解：2x2+4=7x，
2x2-7x+4=0，
∵a=2，b=-7，c=4，
∴x=，
∴x1=，x2=.
（2）解：2（x-3）2=x2-9，
2（x2-6x+9）=x2-9，
2x2-12x+18=x2-9，
x2-12x+27=0，
（x-3）（x-9）=0，
∴x1=3，x2=9.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先整理为一元二次方程的一般式，再利用公式法x=，代入系数进行求解即可；
（2）先去括号，再整理为一元二次方程的一般式，再利用因十分分解法变形为（x-3）（x-9）=0，即可求解.
18．（2022九下·蓬安开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知 ABC的三个顶点的的坐标分别为 .
（1）画出将 关于点 对称的图形 ；
（2）写出点 的坐标.
【答案】（1）解：△ABC和△A1B1C1关于原点中心对称，A（-3，5），B（-2，1），C（-1，3），
∴A1，B1，C1的坐标分别为：（3，-5），（2，-1），（1，-3），
∴在平面直角坐标系中画出△A1B1C1，如图所示：
（2）解：
【知识点】关于原点对称的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据中心对称的点的坐标特征，横纵坐标都变为相反数，即可求出A1，B1，C1的坐标，在平面直角坐标系中画出图形即可；
（2）由（1）中已画出的平面直角坐标系中△A1B1C1可知：A1，B1，C1的坐标分别为：（3，-5），（2，-1），（1，-3）.
19．（2021九上·砚山期末）将正面分别写着字母A，B，C的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记下卡片上的字母；放回卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从卡片中随机抽取一张卡片，记下卡片上的字母．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出所有可能出现的结果；
（2）求取出的两张卡片上的字母相同的概率．
【答案】（1）解：根据题意列表得
A B C
A
B
C
由表格知共有9种等可能性结果：，，，，，，，，．
（2）解：其中两张卡片上的字母相同有3种结果，．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意列表求出 共有9种等可能性结果 ，再作答即可；
（2）求出 即可作答。
20．（2022九下·蓬安开学考）已知关于 的一元二次方程
（1）求证：不论 为何实数，方程总有实数根；
（2）若方程的两实数根分别为 ，且满足 ，求 的值.
【答案】（1）证明： ，
∴无论 取何值， 该方程总有实数根
（2）解：∵一元二次方程x2+(k-1)x-k=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-（k-1）=1-k，x1x2=-k，
∵=2，
∴，
∴整理，解得：k=-1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由不论k为何实数，一元二次方程x2+(k-1)x-k=0总有实数根，即：=b2-4ac≥0，得（k+1）2≥0，即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2=-（k-1）=1-k，x1x2=-k，再由=2，得，解k即可.
21．（2022九下·蓬安开学考）已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 和点 .
（1）求m的值及一次函数的关系式；
（2）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：∵ 反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，-2），
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的解析式为：y=，
∴-2=，解得m=-2，即点B（-2，-2），
∴，解得，
∴一次函数解析式为：y=2x+2.
（2）解：∵点C与点A关于x轴对称，A（1，4），
∴点C（1，-4），
如图，在平面直角坐标系中描出连接AC、BC，
∴AC=8，BC=3，
∴S △ABC=·AC·BC=×8×3=12.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由y1=的图象与y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点（m，-2），先求出k=4，进而得反比例函数解析式，再将点B（m，-2）代入y=，可得m值；再利用待定系数法，将点A、B坐标代入，可得，解得a、b即可求出一次函数的解析式；
（2）由点C与点A关于x轴对称和A（1，4），得点C（1，-4），并表示出AC=8，BC=3，再由三角形面积公式S△ABC=·AC·BC，代入数据即可求解.
22．（2022九下·蓬安开学考）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，EF与AD相交于点H，连接AF．
（1）求证：BD∥AF；
（2）若AB＝1，BC＝2，求AH的长．
【答案】（1）证明：如图所示，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，
∴∠4=∠EFA，∠DAB=∠FEA=90°，
∴∠4+∠1=∠EFA+∠EAF，
∴∠1=∠EAF，
又∵AE=AB，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠EAF，
∴BD∥AF.
（2）解： ∵BD∥AF，
∴∠3=∠EFA，
∵∠4=∠EFA，
∴∠4=∠3，
∴EH=DH，
∵AB＝1，BC＝2，
∴AE=1，AD=2，
设EH=DH=x，
∴AH=2-x，
在Rt △AEH中，由勾股定理得，AE2+EH2=AH2，即：12+x2=（2-x）2，
解得，x=，
∴AH=2-=.
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，知∠4=∠EFA，∠DAB=∠FEA=90°，可得∠4+∠1=∠EFA+∠EAF，推出∠1=∠EAF，再由AE=AB可推出∠1=∠2，进而得∠2=∠EAF，即可证明；
（2）由BD∥AF，得∠3=∠EFA，结合∠4=∠EFA，推出∠4=∠3，进而得EH=DH；设EH=DH=x，则AH=2-x，在Rt △AEH中，由勾股定理得，AE2+EH2=AH2，即：12+x2=（2-x）2，解得x，再由AH=AD-DH，即可求解.
23．（2022九下·蓬安开学考）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途经，为保障人民群众的身体健康，2021年11月我市启动新冠疫苗加强针接种工作．已知11月甲接种点平均每天按种加强针的人数比乙接种点平均每天接种加强针的人数多20%，两接种点平均每天共有440人按种加强针．
（1）求11月平均每天分别有多少人前往甲、乙两接种点接种加强针？
（2）12月份，在m天内平均每天接种加强针的人数，甲接种点比11月平均每天接种加强针的人数少10m人，乙接种点比11月平均每天接种加强针的人数多30%．在这m天期间，甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，求m的值．
【答案】（1）解：设11月平均每天有x人前往甲接种点，则有（1+20%）x人前往乙接种点接种，
由题意得：x+（1+20%）x=440，
解得，x=200人，
∴每天前往乙地接种人数为：（1+20%）×200=240人，
答：11月平均每天有200人前往甲接种点，240人前往乙接种点接种.
（2）解：由题意得：（240-10m）m+200（1+30%）m=2250，
整理得，m2-50m+225=0，
解得，m=5或m=45（舍去），
答：m的值为5.
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设11月平均每天有x人前往甲接种点，则有（1+20%）x人前往乙接种点接种，由11月两个接种点平均每天共有440人接种，可列关于x 的一元一次方程：x+（1+20%）x=440，解得x即可；
（2）由12月份甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，可列关于m的一元一次方程：（240-10m）m+200（1+30%）m=2250，解得m=5或m=45，由12月总共31天可排除m=45，即可确定m的值.
24．（2022九下·蓬安开学考）如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE，BC=BE．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若当点E为AC的中点时，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∵OA=OE，BE=BC，
∴∠EAO=∠AEO，∠CEB=∠ECB，
∴∠ACB+∠CAB=∠AEO+∠ECB=90°，
∴∠OEB=90°，即BE为圆O的切线.
（2）解： ∵在Rt△ABC中，E点为AC的中点，
∴BC=BE=AE=EC=AC，
∴∠CAB=30°，
∴∠EBO=30°，
∵OE=1，∠OEB=90°，
∴在Rt△OEB中，tan∠EBO=tan30°==，
∴BE=，
∴BC=，
∴在Rt△ABC中，tan∠CAB=tan30°==，
∴AB=3，
∴矩形ABCD的面积为AB·BC=.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接OE，根据矩形性质得出∠ABC=90°，由等腰三角形性质得出∠EAO=∠AEO，∠CEB=∠ECB，进而证出∠OEB=90°，即可求证；
（2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可得BC=BE=AE=EC=AC，推出∠CAB=30°，∠EBO=30°，利用锐角三角函数，在Rt△OEB中，求出BE，即可得出BC，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数关系求出AB，即可求出矩形ABCD的面积.
25．（2022九下·蓬安开学考）如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点B（1，0）点，与y轴交于点C（0，3），对称轴l与x轴交于点F，点E是直线AC上方抛物线上一动点，连接AE、EC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形AECO面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点B（1，0）点，与y轴交于点C（0，3），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2-2x＋3.
（2）解： 如图，连接OE，
设点E（m，-m2-2m+3），
令﹣x2-2x＋3=0，解得x=-3或1，
∴A（-3，0），
∴OA=OC=3，即△AOC为等腰直角三角形，
∴S△AOC=AO·OC=4.5，
∵S四边形AECO=S△AEC+S△AOC，
∴当S△AEC的面积最大时，S四边形AECO的面积最大，
∵S△AEC=S△AEO+S△EOC-S△AOC=×3×（-m2-2m+3）+×3×（-m）-4.5，
∴整理得，S△AEC=（m+）2+，
∵＜0，
∴当m=时，S△AEC的面积最大，即S四边形AECO的面积最大，
∴E（，）.
（3）解：存在，点 坐标为 或(（ ）或（ ， ）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）存在. 如图2，点P是x轴上的动点，Q在抛物线上，设点Q（xQ，yQ），点P（xP，0），
若以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，Q可以在x轴上方或x轴下方，
①以EF为对角线，画出平行四边形，交抛物线于Q1点，
∵E（，），O（0，0），
由平行四边形性质得：yQ+0=+0，即yQ=，
∴﹣x2-2x＋3=，整理解得，x=或（舍去），
∴Q1（，）.
②以EF为边，画出平行四边形，交抛物线于Q2、Q3两点，
∵E（，），O（0，0），
由平行四边形性质得：yQ+=0+0，即yQ =，
∴﹣x2-2x＋3=，整理解得，x=，
∴Q2（，），Q3（，）.
综上所述，满足条件的点Q坐标为（，）或（，）或（，）.
【分析】（1）将 B（1，0） ，C（0，3），分别代入抛物线y＝﹣x2＋bx＋c中，利用待定系数法求出b、c值，即可求解；
（2）如图1.，连接OE. 设点E（m，-m2-2m+3），令﹣x2-2x＋3=0，解得x，可得A点坐标为（-3，0），可推出OA=OC=3，即△AOC为等腰直角三角形，即可求出S△AOC的面积；再根据S四边形AECO=S△AEC+S△AOC，当S△AEC的面积最大，S四边形AECO的面积最大；再由S△AEC=S△AEO+S△EOC-S△AOC，得到S△AEC的函数关系式，最后利用配方法求出S△AEC的面积最大时，m的值即可；
（3）如图2，设点Q（xQ，yQ），点P（xP，0）. 若以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，Q可以在x轴上方或x轴下方：①以EF为对角线，画出平行四边形，交抛物线于Q1点，由平行四边形对角线互相平分，得yQ+0=+0，即yQ =，代入关系式得﹣x2-2x＋3=，解出x可求出Q1；②以EF为边，画出平行四边形，交抛物线于Q2、Q3两点，由平行四边形对角线互相平分，得yQ+=0+0，即yQ =，代入关系式得x2-2x＋3=-，解出x可求出Q2、Q3两点坐标.
1 / 1四川省南充市蓬安县2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共计40分）
1．（2022九下·蓬安开学考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
2．（2022九下·蓬安开学考）把方程 化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，5，0 B． C．2，5，1 D．2，1，0
3．（2021九上·宝山期末）把抛物线向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九下·蓬安开学考）下列说法正确的是（ ）
A．新冠肺炎疫情防控期间，复学学生的核酸检测适合采用抽样调查
B．程晨投篮投中的概率是0.6，说明他投10次篮球一定能中6次
C．“平分弦的直径必垂直于这条弦”是一个必然事件
D．“在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似”为随机事件
5．（2022九下·蓬安开学考）在同一平面内，有一半径为6的 和直线 ，直线 上有一点 ，且 ；则直线 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定
6．（2022九下·蓬安开学考）在平面直角坐标系xOy中，点 关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九下·蓬安开学考）2020年初，受新冠肺炎疫情的影响，口罩等医用物资供不应求，某网店二月份口罩销量为256袋，三、四月份销量持续走高，四月份销量达400袋，则三、四月份这两个月的月平均增长率是（ ）
A．10% B．20% C．25% D．30%
8．（2022九下·蓬安开学考）如图，菱形OABC的顶点 的坐标为 ，顶点 在 轴的正半轴上.反比例函数 的图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．32
9．（2022九下·蓬安开学考）已知抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为 ，其部分图象如图所示，下列结论中：
① ；② ；③抛物线与 轴的另一个交点的坐标为 ；④方程 有两个不相等的实数根．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022九下·蓬安开学考）矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，将矩形沿MN折叠，使点C恰好落在AD边的中点F处，以矩形对称中心O点为圆心的圆与FN相切于点G，则⊙O的半径为（ ）
A．3.6 B． C．3.5 D．
二、填空题(本大题每小题4分，共计24分)
11．（2021九上·香洲期末）已知关于x方程的一个根是1，则m的值等于 ．
12．（2022九下·蓬安开学考）如图， 是由 绕点 顺时针旋转 后得到的图形，若点 恰好落在 上，且 的度数为 ，则 的度数是 .
13．（2022九下·蓬安开学考）如图，四边形ABCD是 的内接四边形， 的半径为 ，则弧 的长为 .
14．（2022九下·蓬安开学考）从 两个数中随机选取一个数记为 ，再从 三个数中随机选取一个数记为 ，则 、 的取值使得一元二次方程 有两个不相等的实数根的概率是 .
15．（2022九下·蓬安开学考）如图，已知抛物线 与直线 交于 两点，则关于 的不等式 的解集是 .
16．（2022九下·蓬安开学考）如图， 是双曲线 上的一点， 为 轴正半轴上的一点，将 点绕 点逆时针旋转 ，恰好落在双曲线上的另一点 ，则点 的坐标为 .
三、解答题（本大题9个小题，共计86分）
17．（2022九下·蓬安开学考）解下列一元二次方程．
（1）
（2）
18．（2022九下·蓬安开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知 ABC的三个顶点的的坐标分别为 .
（1）画出将 关于点 对称的图形 ；
（2）写出点 的坐标.
19．（2021九上·砚山期末）将正面分别写着字母A，B，C的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记下卡片上的字母；放回卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从卡片中随机抽取一张卡片，记下卡片上的字母．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出所有可能出现的结果；
（2）求取出的两张卡片上的字母相同的概率．
20．（2022九下·蓬安开学考）已知关于 的一元二次方程
（1）求证：不论 为何实数，方程总有实数根；
（2）若方程的两实数根分别为 ，且满足 ，求 的值.
21．（2022九下·蓬安开学考）已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 和点 .
（1）求m的值及一次函数的关系式；
（2）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．
22．（2022九下·蓬安开学考）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，EF与AD相交于点H，连接AF．
（1）求证：BD∥AF；
（2）若AB＝1，BC＝2，求AH的长．
23．（2022九下·蓬安开学考）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途经，为保障人民群众的身体健康，2021年11月我市启动新冠疫苗加强针接种工作．已知11月甲接种点平均每天按种加强针的人数比乙接种点平均每天接种加强针的人数多20%，两接种点平均每天共有440人按种加强针．
（1）求11月平均每天分别有多少人前往甲、乙两接种点接种加强针？
（2）12月份，在m天内平均每天接种加强针的人数，甲接种点比11月平均每天接种加强针的人数少10m人，乙接种点比11月平均每天接种加强针的人数多30%．在这m天期间，甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，求m的值．
24．（2022九下·蓬安开学考）如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE，BC=BE．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若当点E为AC的中点时，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积．
25．（2022九下·蓬安开学考）如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点B（1，0）点，与y轴交于点C（0，3），对称轴l与x轴交于点F，点E是直线AC上方抛物线上一动点，连接AE、EC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形AECO面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，B不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，C符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形是指，沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指，绕着某点旋转180°后，能够与原来图形完全重合的图形. 根据轴对称图形和中心对称图形定义即可判断.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：2x（x-1）=3x，
整理为一般形式为：2x2-5x=0，
∴二次系数为2，一次项系数为-5，常数项为0.
故答案为：B.
【分析】将方程2x（x-1）=3x，整理为一元二次方程一般形式：2x2-5x=0，即可解决问题.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把抛物线向左平移2个单位长度，所得直线解析式为：，即；
故答案为：C．
【分析】利用抛物线解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
4．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；随机事件；事件发生的可能性
【解析】【解答】A、 新冠肺炎疫情防控期间，复学学生的核酸检测需要全面调查，A不符合题意；
B、概率是反映事件发送可能性的大小，不一定是确定数据，B不符合题意；
C、平分弦的直径必垂直于这条弦的前提条件是弦是非直径，C不符合题意；
D、随意画的两个直角三角形可能相似，是随机事件，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、新冠肺炎疫情防控期间，复学学生的核酸检测安全重要性高，需要全面调查；B、概率是反映事件发送可能性的大小，概率为0.6，不能说明投10次篮球一定能中6次；C、根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦即可判断；D、随意画的两个直角三角形可能相似或不相似，即可判断.
5．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆O的半径为6.直线m上有一点P，OP=4，4＜6，
∴直线与圆O相交.
故答案为：A.
【分析】根据直线与圆的位置关系判断，即：d＞r，相离；d=r，相切；d＜r，相交.
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；关于原点对称的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵P（2x-1，x+3），
∴P点关于原点中心对称的点P'坐标为：（-2x+1，-x-3），
∵点P'在第四象限内，
∴，解得：-3＜x＜.
故答案为：B.
【分析】先求出P点关于原点中心对称的点P'坐标为：（-2x+1，-x-3），在根据点P'在第四象限内，列出关于x的不等式组 ，解不等等式组即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设三、四月份这两个月的月平均增长率为x，
由题意得：256（1+x）2=400，
解得：x=0.25或-2.25（舍去），
∴三、四月份这两个月的月平均增长率为25%.
故答案为：C.
【分析】本题为一元二次方程实际应用的平均增长率问题，根据：a（1+x）n=b，代入数据即可列出方程：256（1+x）2=400，再解这个一元二次方程即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥OA，
∵点C的坐标为（3，4），
∴OD=3，CD=4，
∴B点的纵坐标为4，
∴在直角三角形CDO中，由勾股定理得：OC==5，
∵菱形OABC ，
∴OC=BC=5，BC∥OA，
∴B点的横坐标为8，
∴B点坐标为（8，4），
∴k=8×4=32.
故答案为：D.
【分析】如图，过点C作CD⊥OA，由C的坐标为（3，4）可知：OD=3，CD=4，可得B点纵坐标为4，再由勾股定理求得OC=5，结合菱形性质可得BC=5，进而求得B点横坐标为8，根据点B在反比例函数图象上，即可求得k值.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①∵图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0，①不符合题意；
②∵图象与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，②符合题意；
③∵对称轴为直线x=1，图象与x轴交于（3，0），
∴另一个交点坐标为（-1，0），③符合题意；
④∵二次函数y=ax2+bx+c与直线y=1有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=1有两个不等的实数根，④符合题意.
故答案为：C.
【分析】由图可知：图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，得a＞0，b＜0，c＜0，即可判断①；图象与x轴有两个交点，根据根判别式大于零时，抛物线与x轴有两个交点即可判断②；根据二次函数的对称性，由对称轴为x=1，一个交点为（3，0）即可求出另一交点坐标；根据一元二次方程与二次函数的关系，结合图象可知，抛物线与直线y=1有两个交点，即方程ax2+bx+c=1有两个不等的实数根，即可判断.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，连接OF、OG、ON，过点O作OH⊥DC于点H，
∵O点为矩形对称中心，AB=12，BC=8，F为AD中点，
∴OF=DH=HC=DC=6，OH=FD=AD=4，
∵圆O与FN相切于点G，
∴OG⊥FN，
由折叠性质可得：FN=NC，设FN=NC=a，则DN=12-a
在直角三角形FDN中，FN2=FD2+DN2，即a2=42+（12-a）2，
解得，a=，
∴DN=，
∴NH=DH-DN=6-=，
在直角三角形OHN中，由勾股定理得：ON2=NH2+OH2=+16，
设FG=b，则GN=-b，
在直角三角形OGF和直角三角形OGN中，由勾股定理得：OF2-FG2=OG2=ON2-GN2，
∴62-b2=+16-（-b）2，解得b=，
∴OG2=36-（）2，解得OG=3.6，即半径为3.6.
故答案为：A.
【分析】如图，连接OF、OG、ON，过点O作OH⊥DC于点H，根据O点为矩形对称中心，AB=12，BC=8，F为AD中点，可得OF=DH=HC=DC=6，OH=FD=AD=4；由圆O与FN相切于点G，得OG⊥FN，再由折叠性质可得：FN=NC，设FN=NC=a，则DN=12-a，直角三角形FDN中，由勾股定理得，FN2=FD2+DN2，即a2=42+（12-a）2，解得，a=，进而得DN=，NH=，再在直角三角形OHN中，由勾股定理求得ON2；再设FG=b，则GN=-b，在直角三角形OGF和直角三角形OGN中，由勾股定理得：OG2=OF2-FG2=ON2-GN2，即：62-b2=+16-（-b）2，解得b=，再求出OG即可解决问题.
11．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：因为关于x方程的一个根是1，
所以，，解得，，
故答案为：2．
【分析】根据关于x方程的一个根是1，即可得出答案。
12．【答案】35°
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ODC绕点O顺时针旋转30°得到△OAB，
∴AO=DO，∠AOD=∠BOC=30°，
∴∠A=∠ADO=（180°-30°）÷2=75°，
又∵∠AOC=100°，
∴∠DOB=∠AOC-∠AOD-∠BOC=100°-30°-30°=40°，
∵∠ADO=∠B+∠DOB，
∴∠B=∠ADO-∠DOB=75°-40°=35°.
故答案为：35°.
【分析】根据△ODC绕点O顺时针旋转30°得到△OAB，可得AO=DO，∠AOD=∠BOC=30°，进而求得∠A=∠ADO=75°，∠DOB=40°，最后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和列式计算即可.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∠D=110°，
∴∠B=180°-∠D=180°-110°=70°，
∴∠AOC=2∠B=140°，
∴弧AC的长=.
故答案为：.
【分析】如图，连接OA，OC，根据圆内接四边形对角互求出∠B，再根据圆周角定理得出∠AOC度数，最后通过弧长公式：l=，代入数据计算即可.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知：
一共有6种等可能结果，其中使得一元二次方程x2-mx+n=0有两个不相等实数根，=b2-4ac=m2-4n＞0，共有4种情况，分别为：m=-2，n=-1；m=-2，n=0；m=1，n=-1；m=1，n=0，
∴概率为，P=.
故答案为：.
【分析】先画出树状图得出所有的等可能结果，再从结果中找出使得=b2-4ac=m2-4n＞0的所有符合条件的m、n的个数，再根据概率=即可求出.
15．【答案】-3＜x＜0
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】 解：∵直线y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c交于点A（-3，-1) ，B（0，3) ，
∴当ax2+bx+c＞kx+m时，找出y=ax2+bx+c图象在y=kx+m图象的上方时，对应自变量的取值范围即可，
即：当-3＜x＜0时，ax2+bx+c＞kx+m成立，
故答案：-3＜x＜0.
【分析】由直线y= kx+m与抛物线y=ax2+bx+c交于点A（-3，-1) ，B（0，3) ，结合图象判断，只要求出y=ax2+bx+c图象在y=kx+m图象的上方时，对应自变量的取值范围即可.
16．【答案】（-3，2）或（-2，3）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥OM于点M，过点B作BN⊥OM于点N，
∴∠PMA=∠BNP=90°，
∵将A点绕P点逆时针旋转90°，恰好落在双曲线上的另一点B，
∴PA=PB，∠APB=90°，
∴∠APM+∠BPN=∠BPN+∠PBN=90°，
∴∠APM=∠PBN，
∴△APM≌△BNP（AAS），
∴AM=PN，PM=BN，
∵点A（-1，6）在双曲线y=（x＞0）上，
∴k=-1×6=-6，AM=PN=1，
设点P（m，0），则OP=m，
∴PM=BN=6-m，ON=OP-PN=m-1，
∴点B坐标为（m-6，m-1），
∴k=（m-6）·（m-1）=-6，解得m=3或m=4，
∴点B坐标为（-3，2）或（-2，3）.
故答案为：（-3，2）或（-2，3）. 【分析】过点A作AM⊥OM于点M，过点B作BN⊥OM于点N，即得∠PMA=∠BNP=90°，由PA=PB、∠APB=90°，得∠APM+∠BPN=∠BPN+∠PBN=90°，推出∠APM=∠PBN，可证明△APM≌△BNP，根据全等三角形性质得AM=PN，PM=BN；再由点A（-1，6）在双曲线y=（x＞0）上，可得k=-6，AM=PN=1，设点P（m，0），则OP=m，再表示出PM=BN=6-m，ON=OP-PN=m-1，即得点B的坐标（m-6，m-1），再根据k=（m-6）·（m-1）=-6，解得m值即可解决问题.
17．【答案】（1）解：2x2+4=7x，
2x2-7x+4=0，
∵a=2，b=-7，c=4，
∴x=，
∴x1=，x2=.
（2）解：2（x-3）2=x2-9，
2（x2-6x+9）=x2-9，
2x2-12x+18=x2-9，
x2-12x+27=0，
（x-3）（x-9）=0，
∴x1=3，x2=9.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先整理为一元二次方程的一般式，再利用公式法x=，代入系数进行求解即可；
（2）先去括号，再整理为一元二次方程的一般式，再利用因十分分解法变形为（x-3）（x-9）=0，即可求解.
18．【答案】（1）解：△ABC和△A1B1C1关于原点中心对称，A（-3，5），B（-2，1），C（-1，3），
∴A1，B1，C1的坐标分别为：（3，-5），（2，-1），（1，-3），
∴在平面直角坐标系中画出△A1B1C1，如图所示：
（2）解：
【知识点】关于原点对称的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据中心对称的点的坐标特征，横纵坐标都变为相反数，即可求出A1，B1，C1的坐标，在平面直角坐标系中画出图形即可；
（2）由（1）中已画出的平面直角坐标系中△A1B1C1可知：A1，B1，C1的坐标分别为：（3，-5），（2，-1），（1，-3）.
19．【答案】（1）解：根据题意列表得
A B C
A
B
C
由表格知共有9种等可能性结果：，，，，，，，，．
（2）解：其中两张卡片上的字母相同有3种结果，．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意列表求出 共有9种等可能性结果 ，再作答即可；
（2）求出 即可作答。
20．【答案】（1）证明： ，
∴无论 取何值， 该方程总有实数根
（2）解：∵一元二次方程x2+(k-1)x-k=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-（k-1）=1-k，x1x2=-k，
∵=2，
∴，
∴整理，解得：k=-1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由不论k为何实数，一元二次方程x2+(k-1)x-k=0总有实数根，即：=b2-4ac≥0，得（k+1）2≥0，即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2=-（k-1）=1-k，x1x2=-k，再由=2，得，解k即可.
21．【答案】（1）解：∵ 反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，-2），
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的解析式为：y=，
∴-2=，解得m=-2，即点B（-2，-2），
∴，解得，
∴一次函数解析式为：y=2x+2.
（2）解：∵点C与点A关于x轴对称，A（1，4），
∴点C（1，-4），
如图，在平面直角坐标系中描出连接AC、BC，
∴AC=8，BC=3，
∴S △ABC=·AC·BC=×8×3=12.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由y1=的图象与y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点（m，-2），先求出k=4，进而得反比例函数解析式，再将点B（m，-2）代入y=，可得m值；再利用待定系数法，将点A、B坐标代入，可得，解得a、b即可求出一次函数的解析式；
（2）由点C与点A关于x轴对称和A（1，4），得点C（1，-4），并表示出AC=8，BC=3，再由三角形面积公式S△ABC=·AC·BC，代入数据即可求解.
22．【答案】（1）证明：如图所示，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，
∴∠4=∠EFA，∠DAB=∠FEA=90°，
∴∠4+∠1=∠EFA+∠EAF，
∴∠1=∠EAF，
又∵AE=AB，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠EAF，
∴BD∥AF.
（2）解： ∵BD∥AF，
∴∠3=∠EFA，
∵∠4=∠EFA，
∴∠4=∠3，
∴EH=DH，
∵AB＝1，BC＝2，
∴AE=1，AD=2，
设EH=DH=x，
∴AH=2-x，
在Rt △AEH中，由勾股定理得，AE2+EH2=AH2，即：12+x2=（2-x）2，
解得，x=，
∴AH=2-=.
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，知∠4=∠EFA，∠DAB=∠FEA=90°，可得∠4+∠1=∠EFA+∠EAF，推出∠1=∠EAF，再由AE=AB可推出∠1=∠2，进而得∠2=∠EAF，即可证明；
（2）由BD∥AF，得∠3=∠EFA，结合∠4=∠EFA，推出∠4=∠3，进而得EH=DH；设EH=DH=x，则AH=2-x，在Rt △AEH中，由勾股定理得，AE2+EH2=AH2，即：12+x2=（2-x）2，解得x，再由AH=AD-DH，即可求解.
23．【答案】（1）解：设11月平均每天有x人前往甲接种点，则有（1+20%）x人前往乙接种点接种，
由题意得：x+（1+20%）x=440，
解得，x=200人，
∴每天前往乙地接种人数为：（1+20%）×200=240人，
答：11月平均每天有200人前往甲接种点，240人前往乙接种点接种.
（2）解：由题意得：（240-10m）m+200（1+30%）m=2250，
整理得，m2-50m+225=0，
解得，m=5或m=45（舍去），
答：m的值为5.
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设11月平均每天有x人前往甲接种点，则有（1+20%）x人前往乙接种点接种，由11月两个接种点平均每天共有440人接种，可列关于x 的一元一次方程：x+（1+20%）x=440，解得x即可；
（2）由12月份甲、乙两接种点共有2250人接种加强针，可列关于m的一元一次方程：（240-10m）m+200（1+30%）m=2250，解得m=5或m=45，由12月总共31天可排除m=45，即可确定m的值.
24．【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∵OA=OE，BE=BC，
∴∠EAO=∠AEO，∠CEB=∠ECB，
∴∠ACB+∠CAB=∠AEO+∠ECB=90°，
∴∠OEB=90°，即BE为圆O的切线.
（2）解： ∵在Rt△ABC中，E点为AC的中点，
∴BC=BE=AE=EC=AC，
∴∠CAB=30°，
∴∠EBO=30°，
∵OE=1，∠OEB=90°，
∴在Rt△OEB中，tan∠EBO=tan30°==，
∴BE=，
∴BC=，
∴在Rt△ABC中，tan∠CAB=tan30°==，
∴AB=3，
∴矩形ABCD的面积为AB·BC=.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接OE，根据矩形性质得出∠ABC=90°，由等腰三角形性质得出∠EAO=∠AEO，∠CEB=∠ECB，进而证出∠OEB=90°，即可求证；
（2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可得BC=BE=AE=EC=AC，推出∠CAB=30°，∠EBO=30°，利用锐角三角函数，在Rt△OEB中，求出BE，即可得出BC，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数关系求出AB，即可求出矩形ABCD的面积.
25．【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点B（1，0）点，与y轴交于点C（0，3），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2-2x＋3.
（2）解： 如图，连接OE，
设点E（m，-m2-2m+3），
令﹣x2-2x＋3=0，解得x=-3或1，
∴A（-3，0），
∴OA=OC=3，即△AOC为等腰直角三角形，
∴S△AOC=AO·OC=4.5，
∵S四边形AECO=S△AEC+S△AOC，
∴当S△AEC的面积最大时，S四边形AECO的面积最大，
∵S△AEC=S△AEO+S△EOC-S△AOC=×3×（-m2-2m+3）+×3×（-m）-4.5，
∴整理得，S△AEC=（m+）2+，
∵＜0，
∴当m=时，S△AEC的面积最大，即S四边形AECO的面积最大，
∴E（，）.
（3）解：存在，点 坐标为 或(（ ）或（ ， ）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）存在. 如图2，点P是x轴上的动点，Q在抛物线上，设点Q（xQ，yQ），点P（xP，0），
若以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，Q可以在x轴上方或x轴下方，
①以EF为对角线，画出平行四边形，交抛物线于Q1点，
∵E（，），O（0，0），
由平行四边形性质得：yQ+0=+0，即yQ=，
∴﹣x2-2x＋3=，整理解得，x=或（舍去），
∴Q1（，）.
②以EF为边，画出平行四边形，交抛物线于Q2、Q3两点，
∵E（，），O（0，0），
由平行四边形性质得：yQ+=0+0，即yQ =，
∴﹣x2-2x＋3=，整理解得，x=，
∴Q2（，），Q3（，）.
综上所述，满足条件的点Q坐标为（，）或（，）或（，）.
【分析】（1）将 B（1，0） ，C（0，3），分别代入抛物线y＝﹣x2＋bx＋c中，利用待定系数法求出b、c值，即可求解；
（2）如图1.，连接OE. 设点E（m，-m2-2m+3），令﹣x2-2x＋3=0，解得x，可得A点坐标为（-3，0），可推出OA=OC=3，即△AOC为等腰直角三角形，即可求出S△AOC的面积；再根据S四边形AECO=S△AEC+S△AOC，当S△AEC的面积最大，S四边形AECO的面积最大；再由S△AEC=S△AEO+S△EOC-S△AOC，得到S△AEC的函数关系式，最后利用配方法求出S△AEC的面积最大时，m的值即可；
（3）如图2，设点Q（xQ，yQ），点P（xP，0）. 若以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，Q可以在x轴上方或x轴下方：①以EF为对角线，画出平行四边形，交抛物线于Q1点，由平行四边形对角线互相平分，得yQ+0=+0，即yQ =，代入关系式得﹣x2-2x＋3=，解出x可求出Q1；②以EF为边，画出平行四边形，交抛物线于Q2、Q3两点，由平行四边形对角线互相平分，得yQ+=0+0，即yQ =，代入关系式得x2-2x＋3=-，解出x可求出Q2、Q3两点坐标.
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