高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系
1．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
2．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）设圆 ，圆 ，则它们公切线的条数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）若圆 和圆 的公共弦所在的直线方程是 ，则（ ）.
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）已知两圆相交于 ，两圆的圆心均在直线 上，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．0
5．（2018高二上·安庆期中）已知圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4相外切，a，b为正实数，则ab的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）设两圆 、 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 =（ ）
A．4 B． C．8 D．
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程是
A． B．
C． D．
8．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）集合 ， ，且 ，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2018高二上·嘉兴期中）已知点 ，若圆 上存在点 （不同于点 ），使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）在坐标平面内，与点 距离为1，且与点 距离为2的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
11．（2020·武汉模拟）圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为（ ）
A． B． C． D．
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）已知圆 与圆 相内切，则实数 的值为 .
13．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）已知圆 ，圆 ，则两圆公切线的方程为 .
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）在平面直角坐标系 中，点 ，若圆 上存在一点 满足 ，则实数 的取值范围是 ．
15．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）两圆相交于 ， 两点，若两圆的圆心均在直线 上，则 的值为 .
16．（2019高二上·衢州期末）已知圆 与圆 交于 ， 两点，且这两点平分圆 的圆周，则圆 半径最小时圆 的方程为 .
17．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）已知圆 ，圆 ，求两圆的公切线方程.
18．（2019高二上·鄂州期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ，设圆 的半径为1， 圆心在 上.
（1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线方程；
（2）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围.
19．（2018高二上·太原期中）已知圆 ，圆
（1）证明圆 与圆 相交；
（2）若圆 经过圆 与圆 的交点以及坐标原点，求圆 的方程．
20．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）已知两圆x 2+y 2-2x-6y-1=0．x 2+y 2-10x-12y+m=0．
（1）m取何值时两圆外切？
（2）m取何值时两圆内切？
（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】已知圆 为
圆 为
则圆
两圆的圆心距
等于半径之差，故两圆内切．
故答案为：C
【分析】 化圆的方程为标准方程求出这两个圆的圆心和半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距C1C2大于半径之和，得出结论。
2．【答案】B
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】圆 ，圆心为 ，半径为3；
圆 ，圆心为 ，半径为 ，
两圆的圆心距为 ，
∵ ，
∴两个圆相交，∴两个圆的公切线有2条.
故答案为：B.
【分析】 先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．
3．【答案】C
【知识点】相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】
可得 ，即 ，
由两圆的公共弦所在的直线方程为 ，
得 ，解得 .
故答案为：C
【分析】两圆相减后的方程就是两圆公共弦所在直线的方程，然后再比较系数求E,F的值。
4．【答案】A
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】由圆的性质知： 与直线 垂直且被平分，所以 ，解得 ，又 中点 在直线上，代入可求得 ，所以
故答案为：A.
【分析】 由相交圆的性质可得弦的中点在连心线上，求出弦的中点坐标，代入直线方程求出m+2c的值。
5．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由已知，
圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1的圆心为C1（﹣a，2），半径r1=1．
圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4的圆心为C2（b，2），半径r2=2．
∵圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4相外切，
∴|C1C2|=r1+r2．即a+b=3．由基本不等式，得 ．
故答案为：B．
【分析】由题意利用两个圆相切的性质|C1C2|=r1+r2，求出关于a、b的代数式再由基本不等式的性质代入数值求出结果即可。
6．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】依题意设两圆方程分别为 ，分别将 代入得 ，所以 ，圆心距 .
故答案为：C
【分析】 依题意设两圆方程分别为 ，分别将 代入得，解得的值，再根据两点间的距离公式可求得两圆心的距离 的值。
7．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，过圆心 与直线 垂直的直线方程为 ，所求圆的圆心在此直线上，又圆心 到直线 的距离为 ，则所求圆的半径为 ，设所求圆的圆心为 ，且圆心在直线 的左上方，则 ，且 ，解得 （ 不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为 .
故答案为：C．
【分析】 由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径。
8．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由 得 ，∴圆 与圆 内切或内含，∴ ，即 .
故答案为：C.
【分析】 由已知中集合 ， ，若 ，判断出两个集合中的圆关系为内切或内含，由圆心距与半径之间的关系，构造关于r的不等式，解不等式即可得到实数r的取值范围。
9．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】 在以 为直径的圆 上，
因为圆 上存在点 （不同于点 ），使得 ，
圆 与圆 有公共点，
，解得 ，
故答案为：B.
【分析】结合向量数量积为0，判断两圆位置关系，得到关于半径的关系，即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b，
即kx－y＋b＝0，
所以 ， ，
解之得k＝0或 ，
所以所求直线方程为y＝3或4x＋3y－5＝0，
所以符合题意的直线有两条，
故答案为：B.
【分析】 根据已知中所示直线与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）的距离为2，分直线的斜率是否存在两种情况，讨论满足条件的直线方程，可得答案。
11．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】因为圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0，
两式相减得 ，即公共弦所在的直线方程.
圆C1：x2+y2＝4，圆心到公共弦的距离为 ，
所以公共弦长为： .
故选：C
【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解.
12．【答案】±1或±11
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆心距为 ，因两圆内切，故 ，解得 或 ，填±1或±11.
【分析】 求出圆的标准方程，结合两圆内切的定义建立方程关系进行求解即可。
13．【答案】x+1=0
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解析圆 ，圆心为 ，半径为1；
圆 ，圆心为 ，半径为5.
易知两圆内切，切点为 ，又两圆圆心都在 轴上，
所以两圆公切线的方程为 ，即x+1=0.
故答案为：x+1=0
【分析】 根据题意判断两圆内切，公切线只有一条，求出即可．
14．【答案】[0,3]
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】由题意得圆 的圆心为 ，半径为1．
设点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ，
故点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆．
由题意得圆 和点M的轨迹有公共点，
∴ ，
解得 ．
∴实数 的取值范围是[0,3]．
【分析】 设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，得x2+y2+2x-3=0，点M在圆心为D（-1，0），半径为2的圆上．点M在圆C上，圆C与圆D有公共点，从而1≤|CD|≤3，由此能求出实数a的取值范围。
15．【答案】3
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由题意可知直线 是线段 的垂直平分线，又直线 的斜率为1，则 ，即 .
又由题意可知， ，解得 .
故 .
故填：3
【分析】 由相交圆的性质可得弦的中点在连心线上，求出弦的中点坐标，代入直线方程求出 的值．
16．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆
圆心 半径为
圆
圆心 半径为2
圆 与圆 的相交弦 所在直线方程为：
.
.
.
两点平分圆 的圆周，圆心 在相交弦 所在直线上
.
.
当 时，b的最大值为-2，
圆 的半径
圆 的方程为
【分析】先由已知两圆的方程分别得到圆心与半径，再求出圆 与圆 的相交弦 所在直线方程，得到当 时，b的最大值，即可求出圆 半径最小时的方程.
17．【答案】解：圆 的圆心为 ，半径 ；圆 的圆心为 ，半径 ，
则 ，所以两圆外离，所以两圆有四条公切线.
当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为 ，即 .
则
解得 或 或
当斜率不存在时，两圆均与 轴相切，即直线 是两圆的公相切.
所以所求切线方程为
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【分析】 当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为 ，利用圆心到直线的距离等于半径列方程组可解得结果，当斜率不存在时，两圆均与 轴相切，即直线 是两圆的公相切。
18．【答案】（1）解：由 得圆心 ，
∵圆 的半径为1，
∴圆 的方程为： ，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆 的切线方程为 ，即 ．
∴ ，
∴ ，∴ 或 ．
∴所求圆 的切线方程为 或 ．
（2）解：∵圆 的圆心在直线 ： 上，所以，设圆心 为 ，
则圆 的方程为 ．
又∵ ，
∴设 为 ，则 ，整理得 ，设为圆 ．
所以点 应该既在圆 上又在圆 上，即圆 和圆 有交点，
∴ ，
由 ，得 ，
由 ，得 ．
综上所述， 的取值范围为 ．
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；圆的切线方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆 的半径为 ，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆 的圆心在直线 ： 上可设圆 的方程为 ，由 ，可得 的轨迹方程为 ，若圆 上存在点 ，使 ，只需两圆有公共点即可.
19．【答案】（1）证明：
< 与 相交
（2）解： ，②-①得 ， ，
，解得 ， ，
圆 过
为直角三角形， ，圆心为AB中点 ，
圆 为
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）求出圆心角和半径之和与半径之差，即可证明两圆的位置关系；
（2）两圆方程联立，求出相交弦所在直线方程，得到交点坐标，求出圆心和半径，即可得到圆 的方程．
20．【答案】（1）解：由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，
两圆的圆心距d= =5，两圆的半径之和为 + ，
由两圆的半径之和为 + =5，可得 m=
（2）解：由两圆的圆心距d= =5等于两圆的半径之差为| - |，
即| - |=5，可得 - =5（舍去），或 - =-5，解得m=
（3）解：当m=45时，两圆的方程分别为 （x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，
把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为 4x+3y-23=0．
第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为 d= =2，可得弦长为
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】 （1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的；
（2）由两圆的圆心距 d= =5等于两圆的半径之差为 | - |，求得m的值；
（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系
1．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】已知圆 为
圆 为
则圆
两圆的圆心距
等于半径之差，故两圆内切．
故答案为：C
【分析】 化圆的方程为标准方程求出这两个圆的圆心和半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距C1C2大于半径之和，得出结论。
2．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）设圆 ，圆 ，则它们公切线的条数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】圆 ，圆心为 ，半径为3；
圆 ，圆心为 ，半径为 ，
两圆的圆心距为 ，
∵ ，
∴两个圆相交，∴两个圆的公切线有2条.
故答案为：B.
【分析】 先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．
3．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）若圆 和圆 的公共弦所在的直线方程是 ，则（ ）.
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】
可得 ，即 ，
由两圆的公共弦所在的直线方程为 ，
得 ，解得 .
故答案为：C
【分析】两圆相减后的方程就是两圆公共弦所在直线的方程，然后再比较系数求E,F的值。
4．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）已知两圆相交于 ，两圆的圆心均在直线 上，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．0
【答案】A
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】由圆的性质知： 与直线 垂直且被平分，所以 ，解得 ，又 中点 在直线上，代入可求得 ，所以
故答案为：A.
【分析】 由相交圆的性质可得弦的中点在连心线上，求出弦的中点坐标，代入直线方程求出m+2c的值。
5．（2018高二上·安庆期中）已知圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4相外切，a，b为正实数，则ab的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由已知，
圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1的圆心为C1（﹣a，2），半径r1=1．
圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4的圆心为C2（b，2），半径r2=2．
∵圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4相外切，
∴|C1C2|=r1+r2．即a+b=3．由基本不等式，得 ．
故答案为：B．
【分析】由题意利用两个圆相切的性质|C1C2|=r1+r2，求出关于a、b的代数式再由基本不等式的性质代入数值求出结果即可。
6．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）设两圆 、 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 =（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】依题意设两圆方程分别为 ，分别将 代入得 ，所以 ，圆心距 .
故答案为：C
【分析】 依题意设两圆方程分别为 ，分别将 代入得，解得的值，再根据两点间的距离公式可求得两圆心的距离 的值。
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程是
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，过圆心 与直线 垂直的直线方程为 ，所求圆的圆心在此直线上，又圆心 到直线 的距离为 ，则所求圆的半径为 ，设所求圆的圆心为 ，且圆心在直线 的左上方，则 ，且 ，解得 （ 不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为 .
故答案为：C．
【分析】 由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径。
8．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）集合 ， ，且 ，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由 得 ，∴圆 与圆 内切或内含，∴ ，即 .
故答案为：C.
【分析】 由已知中集合 ， ，若 ，判断出两个集合中的圆关系为内切或内含，由圆心距与半径之间的关系，构造关于r的不等式，解不等式即可得到实数r的取值范围。
9．（2018高二上·嘉兴期中）已知点 ，若圆 上存在点 （不同于点 ），使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】 在以 为直径的圆 上，
因为圆 上存在点 （不同于点 ），使得 ，
圆 与圆 有公共点，
，解得 ，
故答案为：B.
【分析】结合向量数量积为0，判断两圆位置关系，得到关于半径的关系，即可得出答案。
10．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）在坐标平面内，与点 距离为1，且与点 距离为2的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b，
即kx－y＋b＝0，
所以 ， ，
解之得k＝0或 ，
所以所求直线方程为y＝3或4x＋3y－5＝0，
所以符合题意的直线有两条，
故答案为：B.
【分析】 根据已知中所示直线与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）的距离为2，分直线的斜率是否存在两种情况，讨论满足条件的直线方程，可得答案。
11．（2020·武汉模拟）圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】因为圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0，
两式相减得 ，即公共弦所在的直线方程.
圆C1：x2+y2＝4，圆心到公共弦的距离为 ，
所以公共弦长为： .
故选：C
【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解.
12．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）已知圆 与圆 相内切，则实数 的值为 .
【答案】±1或±11
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆心距为 ，因两圆内切，故 ，解得 或 ，填±1或±11.
【分析】 求出圆的标准方程，结合两圆内切的定义建立方程关系进行求解即可。
13．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）已知圆 ，圆 ，则两圆公切线的方程为 .
【答案】x+1=0
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解析圆 ，圆心为 ，半径为1；
圆 ，圆心为 ，半径为5.
易知两圆内切，切点为 ，又两圆圆心都在 轴上，
所以两圆公切线的方程为 ，即x+1=0.
故答案为：x+1=0
【分析】 根据题意判断两圆内切，公切线只有一条，求出即可．
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）在平面直角坐标系 中，点 ，若圆 上存在一点 满足 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】[0,3]
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】由题意得圆 的圆心为 ，半径为1．
设点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ，
故点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆．
由题意得圆 和点M的轨迹有公共点，
∴ ，
解得 ．
∴实数 的取值范围是[0,3]．
【分析】 设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，得x2+y2+2x-3=0，点M在圆心为D（-1，0），半径为2的圆上．点M在圆C上，圆C与圆D有公共点，从而1≤|CD|≤3，由此能求出实数a的取值范围。
15．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）两圆相交于 ， 两点，若两圆的圆心均在直线 上，则 的值为 .
【答案】3
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】由题意可知直线 是线段 的垂直平分线，又直线 的斜率为1，则 ，即 .
又由题意可知， ，解得 .
故 .
故填：3
【分析】 由相交圆的性质可得弦的中点在连心线上，求出弦的中点坐标，代入直线方程求出 的值．
16．（2019高二上·衢州期末）已知圆 与圆 交于 ， 两点，且这两点平分圆 的圆周，则圆 半径最小时圆 的方程为 .
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆
圆心 半径为
圆
圆心 半径为2
圆 与圆 的相交弦 所在直线方程为：
.
.
.
两点平分圆 的圆周，圆心 在相交弦 所在直线上
.
.
当 时，b的最大值为-2，
圆 的半径
圆 的方程为
【分析】先由已知两圆的方程分别得到圆心与半径，再求出圆 与圆 的相交弦 所在直线方程，得到当 时，b的最大值，即可求出圆 半径最小时的方程.
17．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）已知圆 ，圆 ，求两圆的公切线方程.
【答案】解：圆 的圆心为 ，半径 ；圆 的圆心为 ，半径 ，
则 ，所以两圆外离，所以两圆有四条公切线.
当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为 ，即 .
则
解得 或 或
当斜率不存在时，两圆均与 轴相切，即直线 是两圆的公相切.
所以所求切线方程为
【知识点】两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【分析】 当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为 ，利用圆心到直线的距离等于半径列方程组可解得结果，当斜率不存在时，两圆均与 轴相切，即直线 是两圆的公相切。
18．（2019高二上·鄂州期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ，设圆 的半径为1， 圆心在 上.
（1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线方程；
（2）若圆 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围.
【答案】（1）解：由 得圆心 ，
∵圆 的半径为1，
∴圆 的方程为： ，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆 的切线方程为 ，即 ．
∴ ，
∴ ，∴ 或 ．
∴所求圆 的切线方程为 或 ．
（2）解：∵圆 的圆心在直线 ： 上，所以，设圆心 为 ，
则圆 的方程为 ．
又∵ ，
∴设 为 ，则 ，整理得 ，设为圆 ．
所以点 应该既在圆 上又在圆 上，即圆 和圆 有交点，
∴ ，
由 ，得 ，
由 ，得 ．
综上所述， 的取值范围为 ．
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；圆的切线方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆 的半径为 ，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆 的圆心在直线 ： 上可设圆 的方程为 ，由 ，可得 的轨迹方程为 ，若圆 上存在点 ，使 ，只需两圆有公共点即可.
19．（2018高二上·太原期中）已知圆 ，圆
（1）证明圆 与圆 相交；
（2）若圆 经过圆 与圆 的交点以及坐标原点，求圆 的方程．
【答案】（1）证明：
< 与 相交
（2）解： ，②-①得 ， ，
，解得 ， ，
圆 过
为直角三角形， ，圆心为AB中点 ，
圆 为
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）求出圆心角和半径之和与半径之差，即可证明两圆的位置关系；
（2）两圆方程联立，求出相交弦所在直线方程，得到交点坐标，求出圆心和半径，即可得到圆 的方程．
20．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系）已知两圆x 2+y 2-2x-6y-1=0．x 2+y 2-10x-12y+m=0．
（1）m取何值时两圆外切？
（2）m取何值时两圆内切？
（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【答案】（1）解：由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，
两圆的圆心距d= =5，两圆的半径之和为 + ，
由两圆的半径之和为 + =5，可得 m=
（2）解：由两圆的圆心距d= =5等于两圆的半径之差为| - |，
即| - |=5，可得 - =5（舍去），或 - =-5，解得m=
（3）解：当m=45时，两圆的方程分别为 （x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，
把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为 4x+3y-23=0．
第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为 d= =2，可得弦长为
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】 （1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的；
（2）由两圆的圆心距 d= =5等于两圆的半径之差为 | - |，求得m的值；
（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长。
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