高中数学必修第一册人教A版（2019）第三章《函数的概念与性质》综合测评（含解析）

《函数的概念与性质》综合测评
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选顼中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数的图象与直线的公共点有（ ）
A.1个 B.2个 C.0个或1个 D可能多于1个
2.已知则的值为（ ）
A. B.2 C. D.
3.若函数唯一的一个零点同时在区间内，那么下列说法中正确的是（ ）
A.在区间（2,3）内有零点 B.在区间（3,4）内有零点
C.在区间（3,16）内有零点 D.在区间（0,2）内无零点
4.函数是（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
5.设函数为二次函数，且满足下列条件：
①；
②当时，.
则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知符号函数则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
8.函数在上单调递增，且的图象关于直线对称，若，且，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.已知奇函数、偶函数的图象分别如图1，2所示，方程的实根个数分别为，则（ ）
A.14 B.10 C.7 D.3
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全都选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
10.下列函数中，定义域是其值域子集的有（ ）
A. B. C.
D. E.
11.下列函数中，在定义域上既是奇函数，又为减函数的是（ ）
A. B. C.
D. E.
12.形如的函数因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的是（ ）
A.函数的定义域为
B.
C.函数的图象关于直线对称
D.当时,
E.函数有四个零点
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）
13.已知，且a是函数的一个零点，则a的值为______.
14.函数在区间上的最大值为10，则函数在区间上的最小值为______.
15.已知函数，则的最小值为______.
16.已知二次函数的两个零点为1和，则______；若，则实数a的取值范围是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知为常数，且，方程有两个相等的实数根.
（1）求的解析式；（2）解不等式.
18.（本小题满分12分）已知函数.
（1）求的定义域；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明.
19.（本小题满分12分）已知函数.
（1）证明：函数是偶函数；
（2）将函数解析式写成分段函数的形式，并画出函数图象；
（3）写出函数的值域.
20.（本小题满分12分）国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下每人需交费用900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计15000元.
（1）写出每人需交费用y关于人数x的函数关系式；
（2）当旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
21.（本小题满分12分）已知函数（为实数），
（1）若，且函数的值域为，求的解析式；
（2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设，且为偶函数，判断是否大于零，请说明理由.
22.（本小题满分12分）已知定义域为R的函数满足.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）设有且只有一个实数，使得，求函数的解析式.
参考答案
单项选择题
1.
答案：C
解析：根据函数的定义可知，的图象与直线有0个或1个公共点，故选C.
2.
答案：B
解析：由题可知.
3.
答案：D
解析：由于函数的零点同时在区间内，因此函数零点在区间内.又函数零点在区间（2,4）内，所以函数零点不可能在区间（0,2）内，故选D.
4.
答案：B
解析：由可得定义域为，且定义域关于原点对称.又为偶函数.故选B.
5.
答案：A
解析：由，可知函数图象的对称轴方程为，且图象开口向下，由当时，，可得，故.
6.
答案：A
解析：令，则为奇函数，且在R上单调递减，可化为，即.
7.
答案：B
解析：原不等式可化为或或解得或.故选B.
8.
答案：A
解析：函数的图象是由的图象向左平移1个单位后得到的，故的图象关于y轴对称，即函数为偶函数.因为，即，等价于，所以，解得.故选A.
9.
答案：B
解析：设函数的图象在y轴两侧与x轴的交点的横坐标分别为.
由方程，可得或或，
方程有7个实根，即；
由方程，可得（舍去）或或（舍去），
方程有3个实根，即，故选B.
二、多项选择题
10.
答案：AC
解析：的定义域、值域均为R，符合要求；的定义域为R，值域为，不符合要求；的定义域为，值域为，符合要求；的定义域为，值域为，不符合要求；的定义域为R，值域为，不符合要求.故定义域是其值域子集的有A，C.
11.
答案：AB
解析：只有A、B、D中的函数是奇函数，而在和上均为增函数；利用图象法易判断B中的函数为上的减函数；对于，任取，且
在上为减函数，故选A，B.
12.
答案：BDE
解析：的定义域为，
A错误：B正确；
的图象不关于直线对称，C错误；
作出和的图象，
如图所示，
结合图象知D、E正确故选BDE.
二、填空题
13.
答案：5
解析：，
，
又，即.
14.
答案：
解析：令，则为奇函数.由题意知在区间上的最大值为18，则在区间上的最小值为，故在区间上的最小值为.
15.
答案：
解析：
，
不妨令，则，
则，
所以当时，有最小值，最小值为.
16.
答案：
解析：由题意，得
，
.
，解得.
四、解答题
17.
答案：见解析
解析：（1）由，方程有两个相等的实数根，
得，
即，
解得
.
（2）
.
方程有两个根0和2，
的解集为，
的解集为.
18.
答案：见解析
解析：（1）由，得函数的定义域为.
（2）函数在上单调递减.
证明：任取，且，
.
，
.
又，
.
因此，函数在上单调递减.
19.
答案：见解析
解析：（1）证明：由于函数的定义域是R，
且，
所以函数是偶函数.
（2）
函数图象如图所示：
（3）由函数图象知，函数的值域为.
20.
答案：见解析
解析：（1）当时，；
当.
即
（2）设旅行社所获利润为S元，则当时，；
当.
即
因为当时，为增函数，所以时，；
当时，，
所以当时，.
因为，
所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润.
21.
答案：见解析
解析:（1）因为，所以.①
又函数的值域为,
所以.
由,知，即.②
由①②，得.
所以，
故
（2）由（1），得
.
因为当时，是单调函数，
所以或，即或.
故实数k的取值范围为.
（3）大于零.理由如下：
因为为偶函数，所以，
所以
不妨设，则，且.
又，所以，
故大于零.
22.
答案：见解析
解析：（1）因为对任意，
有，
所以，
又由，得，即.
（2）若，则，即.
（3）因为对任意，有，且有且只有一个实数，使得，
所以对任意，有，
在上式中令，有.
又因为，所以，
故或.
若，则，即.
但方程有两个不相等的实根，
与题设条件矛盾.故.
若，则，即.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为.
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