湖南省衡阳市第六中学2022-2023学年高二数学学业水平考试复习模拟卷(一)（含解析）

2022—2023学年衡阳市六中高二数学学考复习模拟卷(一)
(时间:80分钟　满分:100分)
一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求,不选、多选、错选均不给分)
1.已知集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|0A.{1,2} B.{1} C.{2,3} D.{1,4}
2.若x∈[-1,1],则函数y=2x-2的值域为(　　)
A.[-1,1] B.[-2,0] C.-,0 D.[-1,0]
3.设复数z的共轭复数为,若复数z满足2z+=3-2i,则z=(　　)
A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i
4.已知一组数据为3,7,8,10,则该组数据的方差为(　　)
A.5.5 B.6 C.7 D.6.5
5.函数y=+1的图象是下列图象中的(　　)
6.甲、乙两名运动员各自等可能地从编号为1,2,3的3张卡片中选择1张,则他们选择的卡片上的数字之和能被3整除的概率为(　　)
A. B. C. D.
7.已知向量a=(λ,-2),b=(1+λ,1),则“λ=1”是“a⊥b”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是(　　)
A.直线AA1 B.直线A1B1
C.直线A1D1 D.直线B1C1
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2b-c)cos A-acos C=0,△ABC的面积为3,△ABC外接圆面积的最小值为(　　)
A.4π B.4π C.2π D.2π
10.已知函数f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有(　　)
A.最大值0 B.最小值0 C.最大值-4 D.最小值-4
11.若点G为△ABC的重心(三角形三边中线的交点),设=a,=b,则=(　　)
A.a-b B.a+b C.2a-b D.b-2a
12.已知sin α=,且α是第二象限角,则tan2α+的值为(　　)
A.- B.- C.- D.-
13.已知m,n,l为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是(　　)
A.α∥β,m α,n β m∥n B.α∥β,l⊥α l⊥β C.m⊥α,m⊥n n∥α D.l⊥β,α⊥β l∥α
14.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则实数a的取值范围是(　　)
A.-∞, B.-∞,∪,+∞
C. D.,+∞
15.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形,且PA=PB=PC=PD,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是(　　)
A.6 B.5 C. D.
16.已知正数x,y满足x+y=1,则的最小值为(　　)
A. B.2 C. D.
17.已知向量a=(-1,1),且a与a+2b方向相同,则a·b的取值范围是(　　)
A.(1,+∞) B.(-1,1)
C.(-1,+∞) D.(-∞,1)
18.
如图,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=2a,E是AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE,连接A1C.若当三棱锥A1-CDE的体积取得最大值时,三棱锥A1-CDE外接球的体积为π,则a=(　　)
A.2 B. C.2 D.4
二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)
19.若函数f(x)=4sin x+acos x的最大值为5,则正数a=　　　　　.
20.已知幂函数y=f(x)经过点(-2,-8),则f(x)=　　　　,不等式f(x)<27的解集为　　　　　　.
21.
如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,P是棱BC上的动点.记直线A1P与平面ABC所成的角为θ1,与直线BC所成的角为θ2,则θ1　　　　θ2(填“>”“=”或“<”).
22.已知函数f(x)=m-3x+x2+2nx,函数y=f(x)的零点构成的集合为A,函数y=f[f(x)]的零点构成的集合为B,若A=B,则m+n的取值范围是　　　　.
三、解答题(本大题共3小题,共31分)
23.(本小题满分10分)已知函数f(x)=sin(π+x)cos x.
(1)求f的值;
(2)若f(α)=-,0<α<,求fα+的值.
24.(本小题满分10分)如图所示,平面PBD⊥平面ABCD,平面PECD⊥平面ABCD.
(1)求证:直线PD⊥平面ABCD;
(2)若EC∥PD,在菱形ABCD中,∠BAD=,且PD=AD=2EC,求直线PE与平面PBD所成角的正弦值.
25.(本小题满分11分)已知函数f(x)=(a>0,b>1)满足f(1)=1,且f(x)在R上有最大值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈[1,2]时,不等式f(x)≤恒成立,求实数m的取值范围.
学考模拟卷(一)
1.A　解析 因为A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B={x|02.C　解析 因为x∈[-1,1],所以2x∈,2,所以2x-2∈-,0.故选C.
3.B　解析 设z=a+bi(a,b∈R),则其共轭复数=a-bi,所以2z+=3a+bi=3-2i,所以由复数相等的概念可知,解得a=1,b=-2,所以z=1-2i.故选B.
4.D　解析 因为数据为3,7,8,10,所以其平均数为=7,
所以其方差为=6.5.故选D.
5.B　解析 由题可得,函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度得到,结合函数y=的图象可知,选项B满足条件,故选B.
6.A　解析 由题知甲、乙两名运动员选择的卡片结果有:
(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9种;其中他们选择的卡片上的数字之和能被3整除的有:(1,2),(2,1),(3,3),共3种.
故他们选择的卡片上的数字之和能被3整除的概率为.故选A.
7.A　解析 因为a=(λ,-2),b=(1+λ,1),且a⊥b,所以a·b=λ(1+λ)-2=0,解得λ=1或-2.所以可知“λ=1”是“a⊥b”的充分不必要条件.故选A.
8.D　解析 由图可知,直线AA1,A1B1,A1D1与直线EF均为异面直线,所以不相交;直线B1C1与直线EF共面且不平行,所以有交点.故选D.
9.A　解析 因为(2b-c)cos A-acos C=0,
由正弦定理得(2sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0,
2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin B,
又三角形中sin B≠0,所以cos A=,A∈(0,π),
所以A=.
S△ABC=bcsin A=bc=3,所以bc=12,
a2=b2+c2-2bccos A≥2bc-2bccos=bc=12,当且仅当b=c=2时,等号成立,此时△ABC是等边三角形,a最小,由2R==4知外接圆半径最小,从而面积最小,S=π×22=4π.
10.C　解析 因为x<0,所以-x>0,所以-x+≥2=2,所以x+≤-2,所以x+-2≤-4,当且仅当-x=,即x=-1(x=1舍去)时,等号成立,f(x)有最大值-4.故选C.
11.D　解析 因为点G为△ABC的重心,所以有=0.因为=a,=b,所以=a-b,所以-2=b-2a.故选D.
12.D　解析 因为sin α=,且α是第二象限角,所以可得tan α=-,所以tan 2α==-,
所以tan2α+==-.故选D.
13.B　解析 对于选项A,α∥β,m α,n β可以得到m∥n或m,n异面,选项A错误;对于选项C,m⊥α,m⊥n可以得到n∥α或n α,选项C错误;对于选项D,l⊥β,α⊥β可以得到l∥α或l α,选项D错误;对于选项B,α∥β,l⊥α l⊥β成立,故选B.
14.C　解析 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).因为其在区间(-∞,0)上单调递增,所以可知函数在(0,+∞)上单调递减.所以由f(2|a-1|)>f(-)=f(),且2|a-1|>0,可得2|a-1|<,即|a-1|<,解得15.D　解析 过点P作PH⊥平面ABCD于点H.由题知,四棱锥P-ABCD是正四棱锥,内切球的球心O应在四棱锥的高PH上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图,其中PE,PF是斜高,M为球面与侧面的一个切点.设PH=h,易知Rt△PMO∽Rt△PHF,所以,即,解得h=.故选D.
16.C　解析 由题可得,
=,当且仅当,即x=,y=时,等号成立.故选C.
17.C　解析 因为a与a+2b同向,所以可设a+2b=λa(λ>0),
则有b=a,又因为|a|=,
所以a·b=·|a|2=×2=λ-1>-1,
所以a·b的取值范围是(-1,+∞),故选C.
18.B　解析 取DC的中点H,连接HA,交DE于点K,则K为DE的中点,连接A1K.
由题知DE上的高为A1K=DE=a,
要想三棱锥A1-CDE的体积最大,需使高A1K最大,则平面A1DE⊥平面BCDE时体积最大,此时A1K⊥平面DEBC,三棱锥A1-CDE的高A1K=a.
∵三棱锥A1-CDE外接球的体积为π,设外接球半径为R,可得πR3=π,解得R=,连接HE,HA1,
由A1K⊥平面DEBC,且KH 平面DEBC,∴A1K⊥HK,
由已知四边形HDAE是正方形,HA⊥DE,且HA与DE平分于K,
∴A1H==HD=HE=HC,
∴H即为A1-DEC外接球球心,∴HD=,即a=.故选B.
19.3　解析 由f(x)=4sin x+acos x=sin(x+φ)≤可知,=5,解得a=±3.因为a>0,所以a=3.
20.x3　(-∞,3)　解析 设f(x)=xα,则f(-2)=-8,即(-2)α=-8,α=3,故f(x)=x3,
因为f(x)=x3在R上为增函数,且f(3)=27,
所以f(x)<27的解集为(-∞,3).
21.<　解析 连接AP,∵AA1⊥平面ABC,故∠A1PA为直线A1P与平面ABC所成的角,即∠A1PA=θ1,故sin θ1=.
过点A1向BC作垂线,垂足为M,若M与P重合,则直线A1P与直线BC所成的角为90°,即θ2=90°,
此时显然有θ1<θ2;
若M不与P重合,则∠A1PM为直线A1P与直线BC所成的角,即∠A1PM=θ2或π-θ2,故sin θ2=,
∵AA1是平面ABC的垂线,故AA122.0,　解析 设t=f(x),y=f(t),因为A=B,所以f(t)=0时,t=0,即f(0)=0,所以m-=0,所以m=,所以m+n=.因为f(x)=x2+2nx=x(x+2n),f[f(x)]=(x2+2nx)(x2+2nx+2n)=0,当n=0时,满足题意 ;
当n≠0时,0,-2n不是x2+2nx+2n=0的根,所以Δ=4n2-8n<0,解得023.解 f(x)=sin(π+x)cos x=-sin xcos x=-sin 2x.
(1)f=-sin=-.
(2)因为f(α)=-sin 2α=-,所以sin 2α=.
因为0<α<,所以0<2α<.所以cos 2α=.
所以fα+=-sin 2α+=-sin2α+
=-sin 2αcos+cos 2αsin
=-=-.
24.(1)证明 设l 平面PBD,且l,PD不重合,l⊥BD.
因为平面PBD⊥平面ABCD,
所以l⊥平面ABCD.
因为l,PD不重合,
所以l 平面PECD.
因为平面PECD⊥平面ABCD,
所以l∥平面PECD,
所以l∥PD,所以直线PD⊥平面ABCD.
(2)解 连接AC,交BD于点O.
因为四边形ABCD是菱形,
所以AC⊥BD.
因为PD⊥平面ABCD,
所以PD⊥AC,
所以AC⊥平面PBD.
过点C作CF∥PE交PD于F,连接FO,
则∠CFO即为直线PE与平面PBD所成角的平面角.
不妨设PD=AD=2EC=2,
则CO=,CF=,且CO⊥OF,
所以sin∠CFO=.
所以直线PE与平面PBD所成角的正弦值为.
25.解 (1)因为f(1)==1,所以a=b+1.
因为当x>0时,f(x)=,
当且仅当x=,即x=时,等号成立,
所以b+1=,解得b=2或b=.
因为b>1,所以b=2,所以a=3.
所以f(x)=.
(2)因为在[1,2]上恒有意义,
所以m<1或m>2.
则当x=1时,不等式成立,
即1≤,
即m≥|m-1|,平方得m2≥m2-2m+1,得m≥,
当x=2时,不等式也成立,即1≤,
即m≥2|2-m|,
平方得3m2-16m+16≤0,
即≤m≤4.
问题等价为对x∈[1,2]恒成立,
即x≤对x∈[1,2]恒成立,
所以有-≤x-m≤.
①当x=1时,由上述过程可得式子成立,
当x≠1时,m≤,所以m≤4.
②m≥对x∈[1,2]恒成立,等价于m≥.
令t=x+1,则x=t-1,t∈[2,3],
所以=t+-2,其在[2,3]上单调递增,
所以,即m≥.
综上可得,实数m的取值范围是(2,4].