高中数学必修第一册人教A版（2019）4.1《指数》知识探究课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
人教A版同步教材名师课件
指数
---知识探究
1.根式的概念
(1)在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数;负数的奇次方根是一个负数;零的奇次方根是零.设是大于1的奇数,则的次方根是.
(2)在实数范围内,正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数;零的偶次方根是零;负数的偶次方根没有意义.设是大于1的偶数,则的次方根是.
探究点1 根式
2.根式的性质
根据次方根的意义,可以得到:
(1).
(2)
探究点1 根式
要点辨析
1.在次方根的概念中,关键是数的次方根满足,因此求一个数的次方根就是求哪个数的次方等于.
2.求的次方根的运算称为开方运算,开方运算与乘方运算是互逆运算.
3.与的区别
是实数的次方根,是一个恒有意义的式子,不受的奇偶限制,但这个式子的值受的奇偶限制.算法是对先乘方,再开方(都是次),结果不一定等于,当为奇数时,;当为偶数时,
典例1-1 (2018广西南宁三中高一检测)求使等式成立的实数的取值范围.
分析计算能力
典型例题
解析
根据根式的意义和性质进行分析计算,即可解答本题.具体解题过程如下:
原式,要使成立,需
解得.
典例1-2 (1)(2019广西南宁三中高一检测)下列说法:①的运算结果是;②16的4次方根是2;③当为大于1的偶数时,只有当时才有意义;④当为大于1的奇数时,对任意有意义.正确的是__________.
推测解释能力
典型例题
解析
理解根式性质是解决本题的关键.具体解题过程如下:
因为偶次根式的结果只能是正数,偶次方根的结果有正有负,所以③④正确.
典例1-2 (2)(2019山东潍坊一中月考)若,则下列说法中正确的是_______.①当为奇数时,的次方根为;②当为奇数时,的次方根为;③当为偶数时,的次方根为;④当为偶数时,的次方根为.
推测解释能力
典型例题
解析
当为奇数时,的次方根只有1个,为;当为偶数时,由于,所以的次方根有2个,为,所以②④是正确的.
②④
典例1-2 (3)(2018四川成都七中高一检测)若.则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
推测解释能力
典型例题
解析
,
所以,解得.
探究点2 分数指数幂
1.的意义
(1)分数指数幂不可理解为个相乘,它是根式的一种新的写法,规定..
(2)根式与分数指数幂是表示相同意义的量,只是形式不同而已.同时,指数幂概念实现了由整数向有理数的扩充.
的指数幂
0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义.
3.分数指数幂的运算性质在形式上与整数指数幂的运算性质完全一致.
要点辨析
1.规定的原因:指数幂的概念扩充到有理数指数幂后,当时,有时有意义,有时无意义.如,但就没有意义了,为了保证算取任何有理数时,有意义,所以规定.
2.有时必须注意幂指数不能随意约分,如,而在实数范围内无意义.
典例2 (1)(2018湖北武汉三中高一周测的值是( )
A.1 B. C. D.
简单问题解决能力
典型例题
解析
根据分数指数幂的性质进行数学运算和推理是解决本题的关键.具体解题过程如下:
原式.
D
典例2 (2)(2018河北承德二中高一周测)把下列根式化成分数指数幂的形式,其中.①;②;③;④
简单问题解决能力
典型例题
解析
①;②;
③;
④.
探究点3 指数幂运算及其性质
1.有理数指数幂
对于任意的有理数,均有下面的运算性质:
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
探究点3 指数幂运算及其性质
2.无理数指数幂
(1)由于无理数是无限不循环小数,因此可以取无理数的近似值来逐步逼近它,即从不足近似值和过剩近似值来逐步逼近,那么无理数指数幂便可从有理数指数幂加以逼近,所以,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
(2)对于任意实数,都有的无理数指数幂是0,0的负无理数指数幂没有意义.
要点辨析
1.实数指数幂的运算性质
整数指数幂 运算性质 底数、指数 取值范围 实数指数幂 运算性质 底数、指数
取值范围
要点辨析
2.幂指数
幂指数 定义 底数的取值范围 整数指数 正整数 指数 零指数 负整数 指数 分数指 数 正分数 指数
负分数 指数
无理数指数 典例3 化简求值:(1);
(2);
(3);(4);
(5);(6).
分析计算能力
典型例题
典型例题
思路
本题主要考查学生的分析计算能力.进行指数幂运算时,根据式子的结构特点,灵活运用计算法则.通常,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,便于进行乘除、乘方、开方运算.化简的结果形式上要统一,不能既含根号,又含分数指数幂;也不能既有分母,又有负整数幂.具体解题过程如下:
典型例题
解析
(1)原式
.
(2)原式.
(3)原式.
典型例题
解析
(4)原式.
(5)原式.
(6)原式.