4.1.2 数列的递推公式（教案）

第四章 数列
4.1.2数列的递推公式
教学设计
一、教学目标
1.了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同.
2.理解与的关系.
二、教学重难点
1、教学重点
理解递推公式的含义.
2、教学难点
会用与的关系求通项公式.
三、教学过程
（一）新课导入
教师：上节课我们学习了数列的概念和通项公式，我们来做一道题回顾一下.
例1 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.
解：在图（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是.
（二）探索新知
探究一：数列的递推公式
换个角度观察例2图中的4个图形，可以发现，，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形.于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.这样，例2中的数列的前4项满足，，，.由此猜测这个数列满足公式
像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
例2 已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项.
解：由题意可知，
，
，
，
，
.
探究二：数列的前n项和
数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作，即.
如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.
显然，而，于是有
例3 已知数列的前项和公式为，求的通项公式.
解：因为，
，
并且当时，依然成立.
所以的通项公式是.
（三）课堂练习
1.若数列的通项公式是，则( ).
A.15 B.12 C.-12 D.-15
答案：A
解析：因为，所以，，，，，
因此.故选A.
2.数列的通项公式为，若的前n项和为9，则n的值为( ).
A.576 B.99 C.624 D.625
答案：B
解析：依题意得，
所以，
所以.故选B.
3.在数列中，，，则的值为( )
A.0 B. C. D.3
答案：B
解析：因为，所以，.故选B.
4.已知数列的前n项和，，则的值为( )
A.20 B.17 C.18 D.19
答案：C
解析：因为数列的前n项和，，所以.故选C.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
1.数列的递推公式；
2.数列的前n项和.
四、板书设计
4.1.2数列的递推公式
1.数列的递推公式；
2.数列的前n项和.
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