高中数学必修第一册人教A版（2019）4.1.2《无理指数幂及实数指数幂的运算》名师课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
n次方根与分数指数幂
根式
根式的概念
根式的性质
根式的运算
根式与分数指数幂的互化
有理数指数幂的运算性质
复习引入
人教A版同步教材名师课件
无理指数幂及实数指数幂的运算
学习目标
学 习 目 标 核心素养
根据具体实例,了解指数的拓展过程. 数学抽象
理解根式的性质,会进行简单的次方根的运算. 数学运算
理解分数指数幂的意义及分数指数幂与根式的互化. 数学抽象
掌握指数的运算性质,会利用整体代换的思想求值. 数学建模
课程目标
1. 理解无理数指数幂的概念;
2. 掌握实数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；
3. 掌握实数指数幂的运算性质；
4. 能利用已知条件求值.
数学学科素养
1.数学抽象：无理数指数幂的概念；
2.逻辑推理：实数指数幂和根式之间的互化；
3.数学运算：利用实数指数幂的运算性质化简求值；
4.数据分析：分析已知条件与所求式子之间的联系；
5.数学建模：通过与有理数指数幂性质进行类比，得出无理数指数幂的概念和性质。
学习目标
探究新知
上节课我们将中指数的取值范围从整数拓展到了有理数.那么，当指数是无理数时，的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质？
在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数.类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.
的不足近似值 的不足近似值
1.4 9.518 269 694
1.41 9.672 669 973
1.414 9.735 171 039
1.414 2 9.738 305 174
1.414 21 9.738 461 907
1.414 213 9.738 508 928
1.414 213 5 9.738 516 765
1.414 213 56 9.738 517 705
1.414 213 562 9.738 517 736
探究新知
根据的不足近似值和过剩近似值)，利用计算工具计算相应的的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？
的过剩近似值 的过剩近似值
1.5 11.180 339 89
1.42 9.829 635 328
1.415 9.750 851 808
1.414 3 9.739 872 62
1.414 22 9.738 618 643
1.414 214 9.738 524 602
1.414 213 6 9.738 518 332
1.414 213 57 9.738 517 862
1.414 213 563 9.738 517 752
探究新知
可以发现，是逐步逼近是一个确定的实数
一般地，无理数指数幂( 为无理数)是一个确定的实数，这样，我们就将指数幂( )中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数，实数指数幂是一个确定的实数.
探究新知
整数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用
典例讲解
解析
例1.计算下列各式：
(1)
(2)
(3)
(1)原式.
(2)原式.
(3)原式
.
方法归纳
在进行指数幂的化简、求值时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值；对于幂的底数，若底数是负数，则先确定符号；若底数是小数，则先化为分数；若底数是带分数，则先化为假分数这样便于运用指数幂的运算性质.
方法归纳
在幂的四则混合运算中，运用乘法公式进行化简，能起到化繁为简的作用.
乘法公式的常用变形：
(1)
(2) ；
(3) ；
(4)
变式训练
解析
1.计算： .
原式.
解析
典例讲解
(1)原式.
(2)原式.
(3)原式
例2、化简下列各式：
(1)
(2) ；
(3) .
方法归纳
幂化简的常用方法和技巧：
把分子、分母分解因式，可约分的先约分；利用公式的基本性质化繁分式为简分式、化异分母为同分母；把适当的几个分式先化简，各个击破；用换元法，使分式简化等.
变式训练
解析
(1)
(2)
2.化简下列各式：
(1) (2) .
.
原式
.
解析
典例讲解
例3、已知求 的值.
原式
方法归纳
解决此类问题的一般步骤：
方法归纳
解条件求值问题的原则：
（1）对于含条件的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件的联系，然后求值.
（2）也可以先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值.
变式训练
解析
3.(1)当时，化简；
(2)若求 的值.
(1)原式.
因为，所以原式.
(2)原式，因为，所以原式.
典例讲解
例4、已知，下列各式的值：
(1)； (2) ； (3)
解析
(1)将 两边平方，得，即.
(2) 由，得，则 .
(3) ，.
方法归纳
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们的关联，进行有意识的整体处理整体思想在代数式的化简、求值，解方程（组）等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元等都是整体思想在数学中的应用.
变式训练
4.(1)已知，则_________.
(2)若，求及的值.
解析
(1) ，，所以，所以.
(2)将两边同时平方，得，即，
所以，因为，.
典例讲解
解析
例5、已知，且，求证：
设，将所要证明的等式的左右两边都化为关于的代数式
令，则，
.
，
.
.
，
，
.
思路分析
方法归纳
指数幂等式的证明问题的解题思路与常用技巧
证明等式A=B的常用思路：
思路一：
思路二：
思路三：
思路四：
.
.
.
.
变式训练
解析
5. ，求证.
，.
所以，
即，
所以.
典例讲解
例6、现有1000元要用于投资，有两种选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按复利计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资多得利息多少元？
解析
本金1000元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是元；本金1000元，年利率9%，按复利计算，5年后的本息和为1000（1+9%）3≈1538.6元，由此可知，年利率9%的复利投资比年利率10%的单利投资更有利，5年后多得的利息约为15386-1500=38.6元.
变式训练
6.据美国学者詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度因此，基础教育的任务已不是教会一切知识，而是让一切人学会学习，已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番，试回答：
（1）求2009年底人类知识总量；
（2）求2019年底人类知识总量；
（3）2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是多少？
解析
∵翻一番是在原来的基础上乘2，翻两番是在原来的基础上乘4，即 ，……，翻n番在原来的基础上乘 ，于是：（1）从2000年底到2009年底是每三年翻一番，共翻了三番，所以2009年底人类知识总量为 （2）从2009年底到2019年底是每一年翻番，共翻十番，所以2019年底人类知识总量为 （3）2020年是73天翻一番，共翻五番，所以2020年底人类知识总量为
.
.
.
当堂练习
A
B
3.
B
.
.
.
1. ( )
的指数幂表示为
2.
化简的结果是( )
.
.
计算 ( )
.
归纳小结
实数指数幂的运算性质
作 业
P109练习：1
P110习题4.1:7、8