初中数学人教版八年级下学期期中专题复习 ：05 菱形
一、单选题
1．（2020九上·福鼎期中）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对边平行
2．（2021九上·渭滨期末）已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是（ ）
A．当AB⊥BD时，它是菱形 B．当AC=BD时，它是正方形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AB=BC时，它是矩形
3．（2021九上·清涧期末）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．5.5
4．（2021九上·金台期末）如图，菱形 中， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·本溪期末）如图，在菱形ABCD中， ， ，则 的周长等于（ ）
A．20 B．15 C．10 D．12
6．（2020九上·龙岗期中）已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
二、填空题
7．（2020九上·太原月考）如图，在四边形 中，对角线 交于点 ，且 ，若要使四边形 是菱形，则可以添加的条件是 ．
8．（2021九上·舞钢期末）如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是 cm.
9．（2020九上·宝安期中）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是 ．
10．（2020九上·宁化月考）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G，则EG ＝ ．
三、综合题
11．（2021九上·贵阳期末）如图，已知四边形 是平行四边形，E是 延长线上一点且 ，连接 ， .
（1）求证：四边形 是平行四边形
（2）连接 ，若 ， ，求 的面积.
12．（2021九上·舞钢期末）如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC上，连接BE，DF.
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数.
13．（2020九上·酒泉期中）如图，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm.
（1）求∠ABC的度数.
（2）求菱形另一条对角线AC的长和菱形的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的对角线相等，对边平行且相等，对角也相等，
菱形的对角相等，对角线互相垂直平分，对边平行且相等，
于是可得矩形具有菱形不具有的性质是对角线相等，
故答案为：C．
【分析】根据矩形、菱形的性质逐项判定即可。
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故A错误；
B、当AC=BD时，四边形ABCD是矩形，故B错误；
C、当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形，故C正确；
D、 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形，故D错误.
故答案为：C.
【分析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90°的平行四边形是矩形.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】如图，设AC与BD的交点为O，
∵点P是BC边上的一动点，
∴AP⊥BC时，AP有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝ AC＝3，BO＝DO＝ BD＝4，
∴BC＝ ，
∵S菱形ABCD＝ ×AC×BD＝BC×AP，
∴AP＝ ＝4.8，
故答案为：B.
【分析】设AC与BD的交点为O，利用垂线段最短，可知当AP⊥BC时，AP的值最小，再利用菱形的性质可求出BO，CO的长，利用勾股定理求出BC的长；然后利用菱形的两个面积公式求出AP的长.
4．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=（180°-∠A）÷2=（180°-50°）÷2=65°，
故答案为：A.
【分析】由菱形的性质可得AD=AB，于是根据等边对等角可得∠ADB=∠ABD，然后由三角形内角和定理可求解.
5．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，AB∥CD，
∵∠BCD=120°，
∴∠B=60°，
∵BA=BC，
∴△ABC是等边三角形，
故可得△ABC的周长=3AB=15.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得出∠B=60°，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得出△ABC的周长.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】如图，由题意得：菱形ABCD的周长为8， ，
，
是等边三角形，
，
，
该菱形较短的对角线长为 ，
故答案为：C．
【分析】先画出图形，再根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质即可得．
7．【答案】
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】
四边形 是平行四边形，
邻边相等的平行四边形是菱形，
添加的条件是 （答案不唯一），
故答案为：
【分析】根据菱形的判定方法求解即可。
8．【答案】2
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BP，
∵ 四边形ABCD是菱形，且周长是12cm，面积是6cm2
∴AB＝BC＝ ×12＝3（cm），
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴ S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝ ＝3（cm2），
∴S△ABP＋S△BPC＝ AB PE＋ BC PE＝3（cm2），
∴ ×3×PE＋ ×3×PF＝3，
∴PE＋PF＝3× ＝2（cm），
故答案为：2.
【分析】连接BP，根据菱形性质和三角形的面积公式得S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝ ，S△ABP＋S△BPC＝ AB PE＋ BC PE把相应的值代入即可.
9．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= AC= ×4=2，∠BAC= ∠BAD= ×120°=60°，
∴AC=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，OB= ，
∴BD=2OB= ，
∴该菱形的面积是： AC BD= ×4× = ，
故答案为： .
【分析】首先由四边形ABCD是菱形，求得AC⊥BD，OA= AC，∠BAC= ∠BAD，然后在直角三角形AOB中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
10．【答案】10
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD交AC与点O，
在菱形ABCD中
∵ ，
在 中
，
∴ ，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：10．
【分析】连接BD交AC与点O，证明四边形BDEG是平行四边形，得EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG。
11．【答案】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形.
（2）解：如图，连接 ，交 于点O，
∵ ， ，
∴ ，由（1）得四边形 是平行四边形，
∴ 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AB=CD，AB∥CD，再由已知可推出BE=CD；然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）连接DE交BC于点O，利用已知条件易证BD=BE，利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可推出四边形BECD是菱形，利用菱形的对角线互相垂直，可得到DE⊥BC，同时可求出OE的长；在Rt△BOE中，利用勾股定理求出BO的长，从而可得到BC的长；然后利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，可求出菱形BECD的面积.
12．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AD∥BC,AD=BC,
∴∠EDO=∠OBF,
∵EF垂直平分BD,
∴BO=DO,∠EOD=∠BOF=90°,
∴△DEO≌△BFO(ASA)
∴OE=OF,
∴四边形EBFD是平行四边形,
又EF⊥BD,
∴四边形EBFD是菱形;
（2）解： ∵四边形EBFD是菱形,
∴BF=EB
又 AE＝OF，∠A=∠BOF
∴△ABE≌△OBF
∴∠ABE=∠OBF,
∵∠FBO=∠OBE,
∴∠ABE =∠FBO=∠OBE,
∴ ∠OBF=30°
∴∠BDC=60°.
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）首先判定四边形EBFD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可；
（2）由四边形BFDE是菱形得BE=BF，可证△ABE≌△OBF,∠ABE=∠OBF,∠FBO=∠OBF,∠OBF=30°，即可求解.
13．【答案】（1）解：∵菱形周长为40cm，
∴AB=BC=CD=AD=10cm，AD//BC
∵DB=10cm，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD=60°，
∴∠ABC=180°-60°=120°
（2）解：在菱形ABCD中,AC⊥BD
在Rt△ABO中，AB=10cm，BO= ×10cm=5cm，
∴
∴AC=2AO=
∴菱形面积S= ×AC×BD= ×10× =
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出 AB=BC=CD=AD=10cm，AD//BC，再根据DB=10cm，得出△ABD为等边三角形，得出∠BAD=60°，即可得出∠ABC=120°；
（2）根据勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，再根据菱形的面积公式进行计算，即可求出菱形的面积.
1 / 1初中数学人教版八年级下学期期中专题复习 ：05 菱形
一、单选题
1．（2020九上·福鼎期中）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对边平行
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的对角线相等，对边平行且相等，对角也相等，
菱形的对角相等，对角线互相垂直平分，对边平行且相等，
于是可得矩形具有菱形不具有的性质是对角线相等，
故答案为：C．
【分析】根据矩形、菱形的性质逐项判定即可。
2．（2021九上·渭滨期末）已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是（ ）
A．当AB⊥BD时，它是菱形 B．当AC=BD时，它是正方形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AB=BC时，它是矩形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故A错误；
B、当AC=BD时，四边形ABCD是矩形，故B错误；
C、当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形，故C正确；
D、 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形，故D错误.
故答案为：C.
【分析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90°的平行四边形是矩形.
3．（2021九上·清涧期末）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．5.5
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】如图，设AC与BD的交点为O，
∵点P是BC边上的一动点，
∴AP⊥BC时，AP有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝ AC＝3，BO＝DO＝ BD＝4，
∴BC＝ ，
∵S菱形ABCD＝ ×AC×BD＝BC×AP，
∴AP＝ ＝4.8，
故答案为：B.
【分析】设AC与BD的交点为O，利用垂线段最短，可知当AP⊥BC时，AP的值最小，再利用菱形的性质可求出BO，CO的长，利用勾股定理求出BC的长；然后利用菱形的两个面积公式求出AP的长.
4．（2021九上·金台期末）如图，菱形 中， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=（180°-∠A）÷2=（180°-50°）÷2=65°，
故答案为：A.
【分析】由菱形的性质可得AD=AB，于是根据等边对等角可得∠ADB=∠ABD，然后由三角形内角和定理可求解.
5．（2021九上·本溪期末）如图，在菱形ABCD中， ， ，则 的周长等于（ ）
A．20 B．15 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，AB∥CD，
∵∠BCD=120°，
∴∠B=60°，
∵BA=BC，
∴△ABC是等边三角形，
故可得△ABC的周长=3AB=15.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得出∠B=60°，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得出△ABC的周长.
6．（2020九上·龙岗期中）已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】如图，由题意得：菱形ABCD的周长为8， ，
，
是等边三角形，
，
，
该菱形较短的对角线长为 ，
故答案为：C．
【分析】先画出图形，再根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质即可得．
二、填空题
7．（2020九上·太原月考）如图，在四边形 中，对角线 交于点 ，且 ，若要使四边形 是菱形，则可以添加的条件是 ．
【答案】
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】
四边形 是平行四边形，
邻边相等的平行四边形是菱形，
添加的条件是 （答案不唯一），
故答案为：
【分析】根据菱形的判定方法求解即可。
8．（2021九上·舞钢期末）如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是 cm.
【答案】2
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BP，
∵ 四边形ABCD是菱形，且周长是12cm，面积是6cm2
∴AB＝BC＝ ×12＝3（cm），
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴ S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝ ＝3（cm2），
∴S△ABP＋S△BPC＝ AB PE＋ BC PE＝3（cm2），
∴ ×3×PE＋ ×3×PF＝3，
∴PE＋PF＝3× ＝2（cm），
故答案为：2.
【分析】连接BP，根据菱形性质和三角形的面积公式得S△ABC＝S△ABP＋S△BPC＝ ，S△ABP＋S△BPC＝ AB PE＋ BC PE把相应的值代入即可.
9．（2020九上·宝安期中）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= AC= ×4=2，∠BAC= ∠BAD= ×120°=60°，
∴AC=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，OB= ，
∴BD=2OB= ，
∴该菱形的面积是： AC BD= ×4× = ，
故答案为： .
【分析】首先由四边形ABCD是菱形，求得AC⊥BD，OA= AC，∠BAC= ∠BAD，然后在直角三角形AOB中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
10．（2020九上·宁化月考）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G，则EG ＝ ．
【答案】10
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD交AC与点O，
在菱形ABCD中
∵ ，
在 中
，
∴ ，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：10．
【分析】连接BD交AC与点O，证明四边形BDEG是平行四边形，得EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG。
三、综合题
11．（2021九上·贵阳期末）如图，已知四边形 是平行四边形，E是 延长线上一点且 ，连接 ， .
（1）求证：四边形 是平行四边形
（2）连接 ，若 ， ，求 的面积.
【答案】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形.
（2）解：如图，连接 ，交 于点O，
∵ ， ，
∴ ，由（1）得四边形 是平行四边形，
∴ 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AB=CD，AB∥CD，再由已知可推出BE=CD；然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）连接DE交BC于点O，利用已知条件易证BD=BE，利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可推出四边形BECD是菱形，利用菱形的对角线互相垂直，可得到DE⊥BC，同时可求出OE的长；在Rt△BOE中，利用勾股定理求出BO的长，从而可得到BC的长；然后利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，可求出菱形BECD的面积.
12．（2021九上·舞钢期末）如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC上，连接BE，DF.
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AD∥BC,AD=BC,
∴∠EDO=∠OBF,
∵EF垂直平分BD,
∴BO=DO,∠EOD=∠BOF=90°,
∴△DEO≌△BFO(ASA)
∴OE=OF,
∴四边形EBFD是平行四边形,
又EF⊥BD,
∴四边形EBFD是菱形;
（2）解： ∵四边形EBFD是菱形,
∴BF=EB
又 AE＝OF，∠A=∠BOF
∴△ABE≌△OBF
∴∠ABE=∠OBF,
∵∠FBO=∠OBE,
∴∠ABE =∠FBO=∠OBE,
∴ ∠OBF=30°
∴∠BDC=60°.
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）首先判定四边形EBFD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可；
（2）由四边形BFDE是菱形得BE=BF，可证△ABE≌△OBF,∠ABE=∠OBF,∠FBO=∠OBF,∠OBF=30°，即可求解.
13．（2020九上·酒泉期中）如图，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm.
（1）求∠ABC的度数.
（2）求菱形另一条对角线AC的长和菱形的面积.
【答案】（1）解：∵菱形周长为40cm，
∴AB=BC=CD=AD=10cm，AD//BC
∵DB=10cm，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD=60°，
∴∠ABC=180°-60°=120°
（2）解：在菱形ABCD中,AC⊥BD
在Rt△ABO中，AB=10cm，BO= ×10cm=5cm，
∴
∴AC=2AO=
∴菱形面积S= ×AC×BD= ×10× =
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出 AB=BC=CD=AD=10cm，AD//BC，再根据DB=10cm，得出△ABD为等边三角形，得出∠BAD=60°，即可得出∠ABC=120°；
（2）根据勾股定理求出AO的长，从而求出AC的长，再根据菱形的面积公式进行计算，即可求出菱形的面积.
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