2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）已知菱形的边长为5cm，一条对角线长为8cm，另一条对角线长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于E，PE=4cm，则点P到BC的距离是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．8cm
3．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为边BC的中点．则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，O是正方形ABCD的两条对角线BD，AC的交点，EF过点D，若图中阴影部分的面积为1，则正方形ABCD的周长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．4
5．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，点E，F分别是OD，OC的中点．如果AC=10，BC=8，那么EF的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，AM=BM，则平行四边形ABCD是（ ）
A．一般平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
7．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，已知菱形ABCD的周长为16，∠ABC=60°，则菱形的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，DC＜AB，AB=AD=12，E是边AD上的一点，恰好使CE=10，并且∠CBE=45°，则AE的长是（ ）
A．2或8 B．4或6 C．5 D．3或7
二、填空题
11．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）菱形ABCD的两对角线AC、BD长分别为10cm和24cm，它的周长 ，面积 ．
12．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6cm，则AB= cm．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB=60°，AB=6，则AC= ．
14．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，矩形ABCD的对角线相交于O，要使它成为正方形，应添加的条件是 （只填写一个条件即可）
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，BD为长方形ABCD的对角线，BD=10，∠ABD=30°，求长方形ABCD的面积 ．
16．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在正方形ABCD内作一个等边△BEC，连接AE、DE，则∠BEA= ．
17．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE= ．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；正方形A2B2C2D2的面积为 ，以此下去…，则正方形AnBnCnDn的面积为 ．
三、解答题
19．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．
20．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：
（1）四边形ADCE是平行四边形．
（2）四边形ADCE是矩形．
21．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）要使四边形AFBD是菱形，△ABC应满足什么条件？并证明你的结论．
22．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠CBA交AC于E，交CD于F，CG⊥BE交AB于G．
（1）求证：四边形CFGE是菱形；
（2）若AG=4，BG=6，求AE和DF的长．
23．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE=CF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）过点C作CG∥EA，交AF于点H，交AD于点G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．
24．（2017九上·合肥开学考）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC边上的垂直平分线交AC于D，交AB于E，延长DE到F，使BF=CE
（1）四边形BCEF是平行四边形吗？说说你的理由．
（2）当∠A等于多少时，四边形BCEF是菱形，并说出你的理由．
（3）四边形BCEF可以是正方形吗？为什么？
25．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）四边形AEDF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
（3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：
在菱形ABCD中，AB=5cm，BD=8cm，
∵对角线互相垂直平分，
∴∠AOB=90°，BO=4cm，
在Rt△AOB中，AO= =3cm，
∴AC=2AO=6cm．
故答案为：C
【分析】 根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是4cm．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是3cm，则另一条对角线的长是6cm．
2．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：作PF⊥BC于F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴PF=PE=4cm，
即点P到BC的距离为4cm．
故答案为：C．
【分析】 根据菱形的对角线平分一组对角得BD平分∠ABC，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等易得PF=PE=4cm．
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、AE，AE交BD于P，则此时PE+PC最小，连接CP，
∵菱形ABCD，
∴OA=0C，AC⊥BD，AB=BC，
A和C关于BD对称，
∴AP=CP，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=1，
∵E为边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠BAE=30°，
∴BE=
，
根据勾股定理得：AE=
，
∴PE+PC=AE=
．
故答案为：C
【分析】 根据菱形的对角线互相垂直平分，得知A、C关于BD对称，由∠ABC=60°，得出等边三角形ACB，得出AC=AB，根据等腰三角形的性质推出AE⊥BC，推出∠BAE=30°，根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半得出BE的长，根据轴对称的性质，将PM+PC转化为AP+PM，再根据两点之间线段最短得知AM为PM+PC的最小值．
4．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形边长为a，
由题意可知，AO=OC，
∠FAO=∠OCE，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴知阴影面积等于△DOC的面积，
∴ ×
a2=1，
a=2，
∴正方形ABCD的周长为8，
故答案为：C
【分析】 根据正方形的对角线互相平分相等和对角线平分一组对角得出边和角相等，根据ASA判定△AOF≌△COE，可知阴影面积等于△DOC的面积，根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的三角形求出正方形的面积，进而求出正方形的边长和周长.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ABC=90°，
∵AC=10，BC=8，
由勾股定理得：AB= =6，
∴CD=AB=6，
∵点E、F分别是OD、OC的中点，
∴EF= CD=3．
故答案为：D
【分析】根据矩形的对角线相等和四个角是直角可得AB=CD，∠ABC=90°，根据勾股定理可得CD=AB=6，根据三角形的中位线定理可得结论.
6．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定；线段的中点
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M是CD的中点，
∴CM=DM，
在△ADM和△BCM中，
，
∴△ADM≌△BCM（SSS）；
∴∠ADM=∠BCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADM+∠BCM=180°，
∴∠ADM=∠BCM=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故答案为：B
【分析】 首先利用平行四边形的对边平行且相等，得出AD=BC，AD∥BC，以及M是CD的中点，AM=BM，利用SSS证得△ADM≌△BCM，利用全等三角形的对应角相等得出∠ADM=∠BCM，利用两直线平行互补得出∠ADM+∠BCM=180°，进一步得出∠ADM=∠BCM是直角，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形ABCD是矩形．
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形
∴OC=OA，BD=AC
又∵OA=2，∴AC=OA+OC=2OA=4
∴BD=AC=4
故答案为：A
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等即可求解.
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，菱形的边长为4，△ABC为等边三角形，得到AC=AD=4，根据勾股定理可求得BD=4 ，
∴菱形的面积=
×4×4
=8
，故答案为：A
【分析】根据菱形的四条边相等可得AB=BC，由 ∠ABC=60° 得△ABC是等边三角形，得到AC=AD=4，根据菱形的对角线互相垂直得出直角三角形ABO，利用勾股定理得出OB的长，进而求出BD的长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=DC，
四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的对边平行和平行线的性质得出∠1=∠4，∠2=∠3，根据角平分线的定义得出∠1=∠2，进而求出∠1=∠3，根据等角对等边得AD=DC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形ABCD为菱形，根据菱形的四条边相等即可求解.
10．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，
∵∠A=∠D=90°，AB=AD，
∴四边形ABFD是正方形，
把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，
则AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，
∵∠CBE=45°，
∴∠CBG=∠CBF+∠FBG=∠CBF+∠ABE=90°﹣∠CBE=90°﹣45°=45°，
∴∠CBE=∠CBG，
在△CBE和△CBG中，
∴△CBE≌△CBG（SAS），
∴CE=CG，
∴AE+CF=FG+CF=CG=CE，
设AE=x，则DE=12﹣x，CF=10﹣x，
∴CD=12﹣（10﹣x）=x+2，
在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，
即（x+2）2+（12﹣x）2=102，
整理得，x2﹣10x+24=0，
解得x1=4，x2=6，
所以AE的长是4或6．
故选B．
【分析】过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，可得四边形ABFD是正方形，把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，根据旋转的性质可得AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，然后求出∠CBG=45°，从而得到∠CBE=∠CBG，再利用“边角边”证明△CBE和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CG，然后求出AE+CF=CE，设AE=x，表示出DE，再表示出CF、DC，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可得到AE的长度．
11．【答案】52cm；120cm2
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形BCD是菱形，
∴AO= AC=5cm，BO= BD=12cm，且AO⊥BO，
∴AB=13，
∴周长L=4AB=52cm，
∵菱形对角线相互垂直，
∴菱形面积是S= AC×BD=120cm2，
故答案为：52cm，120cm2
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理求出AB的长，根据菱形的四条边相等求出菱形的周长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半直接求菱形的面积即可.
12．【答案】12
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AC⊥BD，
∴∠DEC=90°，
∵F为CD的中点，
∴EF=
CD=6，
∴CD=12，
∴AB=CD=12，
故答案为：12
【分析】 连接AC，根据菱形的对角线互相垂直平分得出∠DEC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质得出EF=
CD，求出CD即可．
13．【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：已知∠AOB=60°，根据矩形的性质可得AO=BO，
所以∠OAB=∠ABO=60度．
因为AB=6，所以AO=BO=AB=6．
故AC=12
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分得OA=OB，根据 ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形得AB=OA=6，进而求AC的长.
14．【答案】AB=BC
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：AB=BC，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB=BC．
【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，也可以添加AC⊥BD等．
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：长方形各内角为直角，
∴△ABD为直角三角形，
∵BD=10，∠ABD=30°
∴AD=5，
∴AB=
=5
，
∴长方形ABCD的面积为5×5
=25
．
故答案为 25
【分析】 根据长方形各内角为直角得∠DAB=90°，根据BD=10，∠ABD=30°即可计算AD的长度，根据勾股定理即可计算AB的长，根据长方形面积计算公式即可计算长方形ABCD的面积．
16．【答案】75°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵△BEC是等边三角形，
∴BC=BE=CE，∠EBC=60°，
∴AB=BE，∠ABE=30°，
∴∠BEA=
=75°，
故答案为：75°
【分析】 根据正方形的四条边相等得BC=AB，根据等边△BCE的三边相等得BE=AB，即可得AB=BE，因为∠ABE=30°，利用三角形的内角和为180°和等边对等角即可求出∠BEA的度数．
17．【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形各内角为直角，∴△ABD为直角三角形
在直角△ABD中，AB=6，AD=8
则BD=
=10，
∵△ABD的面积S=
AB AD=
BD AE，
∴AE=
=4.8．
故答案为 4.8
【分析】根据 矩形各内角为直角，在直角△ABD中，已知AB、AD，根据勾股定理即可求BD的值，根据面积法即可计算AE的长．
18．【答案】25；5n
【知识点】正方形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，三角形AA
1B
1的面积是1，新正方形A
1B
1C
1D
1的面积是5，从而正方形A
2B
2C
2D
2的面积为5×5=25，正方形A
nB
nC
nD
n的面积为5
n．
故答案为：25，5n
【分析】 根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．
19．【答案】解：解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC= AC，BO=OD= BD，
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=BO．
∴AC=BD．
∴平行四边形ABCD是矩形，
在Rt△ABC中，
∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC= =4 cm，
∴S平行四边形ABCD=AB×BC=4cm×4 cm=16 cm2．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】
根据平行四边形的对角线互相平分得出AO=OC=
AC，BO=OD=
BD，根据等边三角形的三边相等得出AO=BO．推出AC=BD．得出矩形ABCD，根据勾股定理求出BC，即可求出矩形的面积．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD=AE，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∴CD∥AE，CD=AE，
∴四边形ADCE是平行四边形
（2）证明：∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是矩形
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形对边平行且相等得出BD∥AE，BD=AE，根据D为BC的中点推出CD=AE，根据平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形推出即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一求出∠ADC=90°，根据一个角是矩形的平行四边形是矩形的判定方法推出即可．
21．【答案】（1）证明：∵E为AD中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF=DC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴AF=BD，
即AF∥BD，AF=BD，
故四边形AFBD是平行四边形
（2）解：当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形，
证明：∵∠BAC=90°，D为BC中点，
∴AD=BD，
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是菱形
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据线段的中点和平行线的性质得到角和边相等利用AAS判定
△AEF≌△CED ，得到
AF=DC ，利用等量代换得到
AF=BD ，利用一组对边平行且相等得到结论.
（2）添加 ∠BAC=90°时 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 AD=BD， 根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.
22．【答案】（1）证明：设BE交CG于M．如图所示：
∵BE是∠CBA的平分线，
∴∠1=∠2，
∵CG⊥BE，
∴∠3=∠4=90°，
在△BMG和△BMC中，
，
∴△BMG≌△BMC（ASA），
∴MC=MG，
∴EC=EG，FG=FC，
∵CD⊥AB，
∴∠DFB+∠1=90°，
∵∠CEF+∠2=90°，∠CFE=∠DFB，
∴∠CEF=∠CFE，
∴EC=FC，
∴EC=EG=FG=FC，
∴四边形CFGE是菱形
（2）解：根据题意得：△BEG≌△BEC，
∴BC=BG=6，∠BGE=∠BCA=90°，
∵AB=AG+BG=10，
∴AC= ，
∵∠A=∠A，∠ABG=∠BCA=90°，
∴△AEG∽△ABC，
∴ ，即 ，
∴AE=5．
∴EC=AC﹣AE=3，
∴CF=3，
∵ AB CD= AC BC，
∴CD= = =4.8，
∴DF=CD﹣CF=4.8﹣3=1.8
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定；相似三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用ASA证明 △BMG≌△BMC ，根据全等三角形的对应边相等得出MC=MG，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出EC=EG，FG=FC，在根据等角对等边得出EC=FC，根据四条边相等的四边形是菱形即可求解；
（2）利用SAS证明 △BEG≌△BEC ，得出BC=BG，在直角三角形ABC中利用勾股定理得出AC=8，利用两角相等证明出 △AEG∽△ABC， 利用相似三角形的性质得出关于AE的比例式，求出AE的长，进而求出CF的长，根据三角形ABC的面积不变法求出CD的长，进而求出结论.
23．【答案】（1）证明：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=AD，∠B=∠D（菱形的性质），
∵CE=CF，
∴BC﹣CE=CD﹣CF，
∴BE=DF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）
（2）解：∵△ABE≌△ADF（已证），∠BAE=25°，
∴∠BAE=∠DAF=25°，
在菱形ABCD中
∠BAD=∠BCD=130°（菱形对角相等），
∴∠EAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF，
=130°﹣25°﹣25°，
=80°，
∵AE∥CG，
∴∠EAF+∠AHC=180°，
∴∠AHC=180°﹣∠EAF=180°﹣80°=100°
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用菱形的四条边相等和对角相等证明
△ABE≌△ADF ；
（2）利用全等三角形的对应角相等得出∠BAE=∠DAF=25°，根据菱形的对角相等得出∠BAD=∠BCD=130°，进而求出∠EAF=80°，利用两直线平行同旁内角互补即可求解.
24．【答案】（1）解：四边形BCEF是平行四边形，理由如下：证明：∵DF垂直且平分AC且∠ACB=90°
∴FD∥BC，AE=CE，
∴∠A=∠ACE，
∵∠A+∠ABC=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠ABC=∠BCE，
∴BE=CE=BF，
∴∠BFE=∠BEF
∵FD∥BC，
∴∠BFE=∠BEF=∠ABC=∠BCE
∴∠FBE=∠BEC，
∴FB∥EC，
∵CE=BF，
∴四边形BCEF为平行四边形；
（2）解：∠A=30°，证明：∵∠A=30°，∴∠ABC=60°且BE=CE，
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，由（1）可知四边形BCEF为平行四边形，∴四边形BCEF为菱形；
（3）解：不可以，
因为∠BCE始终是锐角，所以四边形BCEF不可能是正方形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据已知，先证明FD∥BC得出∠BEF=∠ABC，再根据线段垂直平分线的性质推出∠A=∠ACE，根据等教的余角相等得出∠ABC=∠BCE，证得BE=CE=BF，得出∠BFE=∠BEF，然后证明FB∥EC，即可得出结论。
（2）四边形BCEF是平行四边形，要证明它是菱形，只需证明一组邻边相等，已征得BE=CE，若BC=CE，则BE=BC=CE，即得△BCE为等边三角形，因此∠A=30°。
（3）根据题意可知0°＜∠BCE＜90°，因此四边形BCEF不可能是正方形。
25．【答案】（1）解：∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
（2）解：∵一个角为直角的平行四边形为矩形，
∴∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形
（3）解：∵菱形对角线互相垂直，
∴当AD⊥EF时，四边形AEDF是菱形
（4）解：∵正方形既是菱形又是矩形，
∴∠BAC=90°且AD⊥BC时，四边形AEDF是正方形
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）利用两组对边平行的四边形是平行四边形即可证明出结论；
（2）利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求解；
（3）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；
（4）根据有一个角是直角的菱形或一组邻边相等的矩形是正方形即可求解.
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）已知菱形的边长为5cm，一条对角线长为8cm，另一条对角线长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：
在菱形ABCD中，AB=5cm，BD=8cm，
∵对角线互相垂直平分，
∴∠AOB=90°，BO=4cm，
在Rt△AOB中，AO= =3cm，
∴AC=2AO=6cm．
故答案为：C
【分析】 根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是4cm．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是3cm，则另一条对角线的长是6cm．
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于E，PE=4cm，则点P到BC的距离是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．8cm
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：作PF⊥BC于F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴PF=PE=4cm，
即点P到BC的距离为4cm．
故答案为：C．
【分析】 根据菱形的对角线平分一组对角得BD平分∠ABC，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等易得PF=PE=4cm．
3．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为边BC的中点．则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、AE，AE交BD于P，则此时PE+PC最小，连接CP，
∵菱形ABCD，
∴OA=0C，AC⊥BD，AB=BC，
A和C关于BD对称，
∴AP=CP，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=1，
∵E为边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠BAE=30°，
∴BE=
，
根据勾股定理得：AE=
，
∴PE+PC=AE=
．
故答案为：C
【分析】 根据菱形的对角线互相垂直平分，得知A、C关于BD对称，由∠ABC=60°，得出等边三角形ACB，得出AC=AB，根据等腰三角形的性质推出AE⊥BC，推出∠BAE=30°，根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半得出BE的长，根据轴对称的性质，将PM+PC转化为AP+PM，再根据两点之间线段最短得知AM为PM+PC的最小值．
4．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，O是正方形ABCD的两条对角线BD，AC的交点，EF过点D，若图中阴影部分的面积为1，则正方形ABCD的周长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．4
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形边长为a，
由题意可知，AO=OC，
∠FAO=∠OCE，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴知阴影面积等于△DOC的面积，
∴ ×
a2=1，
a=2，
∴正方形ABCD的周长为8，
故答案为：C
【分析】 根据正方形的对角线互相平分相等和对角线平分一组对角得出边和角相等，根据ASA判定△AOF≌△COE，可知阴影面积等于△DOC的面积，根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的三角形求出正方形的面积，进而求出正方形的边长和周长.
5．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，点E，F分别是OD，OC的中点．如果AC=10，BC=8，那么EF的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ABC=90°，
∵AC=10，BC=8，
由勾股定理得：AB= =6，
∴CD=AB=6，
∵点E、F分别是OD、OC的中点，
∴EF= CD=3．
故答案为：D
【分析】根据矩形的对角线相等和四个角是直角可得AB=CD，∠ABC=90°，根据勾股定理可得CD=AB=6，根据三角形的中位线定理可得结论.
6．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，AM=BM，则平行四边形ABCD是（ ）
A．一般平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定；线段的中点
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M是CD的中点，
∴CM=DM，
在△ADM和△BCM中，
，
∴△ADM≌△BCM（SSS）；
∴∠ADM=∠BCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADM+∠BCM=180°，
∴∠ADM=∠BCM=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故答案为：B
【分析】 首先利用平行四边形的对边平行且相等，得出AD=BC，AD∥BC，以及M是CD的中点，AM=BM，利用SSS证得△ADM≌△BCM，利用全等三角形的对应角相等得出∠ADM=∠BCM，利用两直线平行互补得出∠ADM+∠BCM=180°，进一步得出∠ADM=∠BCM是直角，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形ABCD是矩形．
7．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形
∴OC=OA，BD=AC
又∵OA=2，∴AC=OA+OC=2OA=4
∴BD=AC=4
故答案为：A
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等即可求解.
8．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，已知菱形ABCD的周长为16，∠ABC=60°，则菱形的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，菱形的边长为4，△ABC为等边三角形，得到AC=AD=4，根据勾股定理可求得BD=4 ，
∴菱形的面积=
×4×4
=8
，故答案为：A
【分析】根据菱形的四条边相等可得AB=BC，由 ∠ABC=60° 得△ABC是等边三角形，得到AC=AD=4，根据菱形的对角线互相垂直得出直角三角形ABO，利用勾股定理得出OB的长，进而求出BD的长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解.
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=DC，
四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的对边平行和平行线的性质得出∠1=∠4，∠2=∠3，根据角平分线的定义得出∠1=∠2，进而求出∠1=∠3，根据等角对等边得AD=DC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形ABCD为菱形，根据菱形的四条边相等即可求解.
10．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，DC＜AB，AB=AD=12，E是边AD上的一点，恰好使CE=10，并且∠CBE=45°，则AE的长是（ ）
A．2或8 B．4或6 C．5 D．3或7
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，
∵∠A=∠D=90°，AB=AD，
∴四边形ABFD是正方形，
把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，
则AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，
∵∠CBE=45°，
∴∠CBG=∠CBF+∠FBG=∠CBF+∠ABE=90°﹣∠CBE=90°﹣45°=45°，
∴∠CBE=∠CBG，
在△CBE和△CBG中，
∴△CBE≌△CBG（SAS），
∴CE=CG，
∴AE+CF=FG+CF=CG=CE，
设AE=x，则DE=12﹣x，CF=10﹣x，
∴CD=12﹣（10﹣x）=x+2，
在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，
即（x+2）2+（12﹣x）2=102，
整理得，x2﹣10x+24=0，
解得x1=4，x2=6，
所以AE的长是4或6．
故选B．
【分析】过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，可得四边形ABFD是正方形，把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，根据旋转的性质可得AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，然后求出∠CBG=45°，从而得到∠CBE=∠CBG，再利用“边角边”证明△CBE和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CG，然后求出AE+CF=CE，设AE=x，表示出DE，再表示出CF、DC，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可得到AE的长度．
二、填空题
11．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）菱形ABCD的两对角线AC、BD长分别为10cm和24cm，它的周长 ，面积 ．
【答案】52cm；120cm2
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形BCD是菱形，
∴AO= AC=5cm，BO= BD=12cm，且AO⊥BO，
∴AB=13，
∴周长L=4AB=52cm，
∵菱形对角线相互垂直，
∴菱形面积是S= AC×BD=120cm2，
故答案为：52cm，120cm2
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理求出AB的长，根据菱形的四条边相等求出菱形的周长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半直接求菱形的面积即可.
12．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6cm，则AB= cm．
【答案】12
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AC⊥BD，
∴∠DEC=90°，
∵F为CD的中点，
∴EF=
CD=6，
∴CD=12，
∴AB=CD=12，
故答案为：12
【分析】 连接AC，根据菱形的对角线互相垂直平分得出∠DEC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质得出EF=
CD，求出CD即可．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB=60°，AB=6，则AC= ．
【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：已知∠AOB=60°，根据矩形的性质可得AO=BO，
所以∠OAB=∠ABO=60度．
因为AB=6，所以AO=BO=AB=6．
故AC=12
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分得OA=OB，根据 ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形得AB=OA=6，进而求AC的长.
14．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，矩形ABCD的对角线相交于O，要使它成为正方形，应添加的条件是 （只填写一个条件即可）
【答案】AB=BC
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：AB=BC，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB=BC．
【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，也可以添加AC⊥BD等．
15．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，BD为长方形ABCD的对角线，BD=10，∠ABD=30°，求长方形ABCD的面积 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：长方形各内角为直角，
∴△ABD为直角三角形，
∵BD=10，∠ABD=30°
∴AD=5，
∴AB=
=5
，
∴长方形ABCD的面积为5×5
=25
．
故答案为 25
【分析】 根据长方形各内角为直角得∠DAB=90°，根据BD=10，∠ABD=30°即可计算AD的长度，根据勾股定理即可计算AB的长，根据长方形面积计算公式即可计算长方形ABCD的面积．
16．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在正方形ABCD内作一个等边△BEC，连接AE、DE，则∠BEA= ．
【答案】75°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵△BEC是等边三角形，
∴BC=BE=CE，∠EBC=60°，
∴AB=BE，∠ABE=30°，
∴∠BEA=
=75°，
故答案为：75°
【分析】 根据正方形的四条边相等得BC=AB，根据等边△BCE的三边相等得BE=AB，即可得AB=BE，因为∠ABE=30°，利用三角形的内角和为180°和等边对等角即可求出∠BEA的度数．
17．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE= ．
【答案】4.8
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形各内角为直角，∴△ABD为直角三角形
在直角△ABD中，AB=6，AD=8
则BD=
=10，
∵△ABD的面积S=
AB AD=
BD AE，
∴AE=
=4.8．
故答案为 4.8
【分析】根据 矩形各内角为直角，在直角△ABD中，已知AB、AD，根据勾股定理即可求BD的值，根据面积法即可计算AE的长．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；正方形A2B2C2D2的面积为 ，以此下去…，则正方形AnBnCnDn的面积为 ．
【答案】25；5n
【知识点】正方形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，三角形AA
1B
1的面积是1，新正方形A
1B
1C
1D
1的面积是5，从而正方形A
2B
2C
2D
2的面积为5×5=25，正方形A
nB
nC
nD
n的面积为5
n．
故答案为：25，5n
【分析】 根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．
三、解答题
19．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．
【答案】解：解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC= AC，BO=OD= BD，
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=BO．
∴AC=BD．
∴平行四边形ABCD是矩形，
在Rt△ABC中，
∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴BC= =4 cm，
∴S平行四边形ABCD=AB×BC=4cm×4 cm=16 cm2．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】
根据平行四边形的对角线互相平分得出AO=OC=
AC，BO=OD=
BD，根据等边三角形的三边相等得出AO=BO．推出AC=BD．得出矩形ABCD，根据勾股定理求出BC，即可求出矩形的面积．
20．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：
（1）四边形ADCE是平行四边形．
（2）四边形ADCE是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD=AE，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∴CD∥AE，CD=AE，
∴四边形ADCE是平行四边形
（2）证明：∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是矩形
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形对边平行且相等得出BD∥AE，BD=AE，根据D为BC的中点推出CD=AE，根据平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形推出即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一求出∠ADC=90°，根据一个角是矩形的平行四边形是矩形的判定方法推出即可．
21．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）要使四边形AFBD是菱形，△ABC应满足什么条件？并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵E为AD中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF=DC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴AF=BD，
即AF∥BD，AF=BD，
故四边形AFBD是平行四边形
（2）解：当∠BAC=90°时，四边形AFBD是菱形，
证明：∵∠BAC=90°，D为BC中点，
∴AD=BD，
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是菱形
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据线段的中点和平行线的性质得到角和边相等利用AAS判定
△AEF≌△CED ，得到
AF=DC ，利用等量代换得到
AF=BD ，利用一组对边平行且相等得到结论.
（2）添加 ∠BAC=90°时 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 AD=BD， 根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.
22．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠CBA交AC于E，交CD于F，CG⊥BE交AB于G．
（1）求证：四边形CFGE是菱形；
（2）若AG=4，BG=6，求AE和DF的长．
【答案】（1）证明：设BE交CG于M．如图所示：
∵BE是∠CBA的平分线，
∴∠1=∠2，
∵CG⊥BE，
∴∠3=∠4=90°，
在△BMG和△BMC中，
，
∴△BMG≌△BMC（ASA），
∴MC=MG，
∴EC=EG，FG=FC，
∵CD⊥AB，
∴∠DFB+∠1=90°，
∵∠CEF+∠2=90°，∠CFE=∠DFB，
∴∠CEF=∠CFE，
∴EC=FC，
∴EC=EG=FG=FC，
∴四边形CFGE是菱形
（2）解：根据题意得：△BEG≌△BEC，
∴BC=BG=6，∠BGE=∠BCA=90°，
∵AB=AG+BG=10，
∴AC= ，
∵∠A=∠A，∠ABG=∠BCA=90°，
∴△AEG∽△ABC，
∴ ，即 ，
∴AE=5．
∴EC=AC﹣AE=3，
∴CF=3，
∵ AB CD= AC BC，
∴CD= = =4.8，
∴DF=CD﹣CF=4.8﹣3=1.8
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定；相似三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用ASA证明 △BMG≌△BMC ，根据全等三角形的对应边相等得出MC=MG，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出EC=EG，FG=FC，在根据等角对等边得出EC=FC，根据四条边相等的四边形是菱形即可求解；
（2）利用SAS证明 △BEG≌△BEC ，得出BC=BG，在直角三角形ABC中利用勾股定理得出AC=8，利用两角相等证明出 △AEG∽△ABC， 利用相似三角形的性质得出关于AE的比例式，求出AE的长，进而求出CF的长，根据三角形ABC的面积不变法求出CD的长，进而求出结论.
23．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE=CF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）过点C作CG∥EA，交AF于点H，交AD于点G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数．
【答案】（1）证明：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=AD，∠B=∠D（菱形的性质），
∵CE=CF，
∴BC﹣CE=CD﹣CF，
∴BE=DF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）
（2）解：∵△ABE≌△ADF（已证），∠BAE=25°，
∴∠BAE=∠DAF=25°，
在菱形ABCD中
∠BAD=∠BCD=130°（菱形对角相等），
∴∠EAF=∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF，
=130°﹣25°﹣25°，
=80°，
∵AE∥CG，
∴∠EAF+∠AHC=180°，
∴∠AHC=180°﹣∠EAF=180°﹣80°=100°
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用菱形的四条边相等和对角相等证明
△ABE≌△ADF ；
（2）利用全等三角形的对应角相等得出∠BAE=∠DAF=25°，根据菱形的对角相等得出∠BAD=∠BCD=130°，进而求出∠EAF=80°，利用两直线平行同旁内角互补即可求解.
24．（2017九上·合肥开学考）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC边上的垂直平分线交AC于D，交AB于E，延长DE到F，使BF=CE
（1）四边形BCEF是平行四边形吗？说说你的理由．
（2）当∠A等于多少时，四边形BCEF是菱形，并说出你的理由．
（3）四边形BCEF可以是正方形吗？为什么？
【答案】（1）解：四边形BCEF是平行四边形，理由如下：证明：∵DF垂直且平分AC且∠ACB=90°
∴FD∥BC，AE=CE，
∴∠A=∠ACE，
∵∠A+∠ABC=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠ABC=∠BCE，
∴BE=CE=BF，
∴∠BFE=∠BEF
∵FD∥BC，
∴∠BFE=∠BEF=∠ABC=∠BCE
∴∠FBE=∠BEC，
∴FB∥EC，
∵CE=BF，
∴四边形BCEF为平行四边形；
（2）解：∠A=30°，证明：∵∠A=30°，∴∠ABC=60°且BE=CE，
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，由（1）可知四边形BCEF为平行四边形，∴四边形BCEF为菱形；
（3）解：不可以，
因为∠BCE始终是锐角，所以四边形BCEF不可能是正方形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据已知，先证明FD∥BC得出∠BEF=∠ABC，再根据线段垂直平分线的性质推出∠A=∠ACE，根据等教的余角相等得出∠ABC=∠BCE，证得BE=CE=BF，得出∠BFE=∠BEF，然后证明FB∥EC，即可得出结论。
（2）四边形BCEF是平行四边形，要证明它是菱形，只需证明一组邻边相等，已征得BE=CE，若BC=CE，则BE=BC=CE，即得△BCE为等边三角形，因此∠A=30°。
（3）根据题意可知0°＜∠BCE＜90°，因此四边形BCEF不可能是正方形。
25．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十九章矩形、菱形与正方形 单元检测A卷）已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）四边形AEDF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
（3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
【答案】（1）解：∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
（2）解：∵一个角为直角的平行四边形为矩形，
∴∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形
（3）解：∵菱形对角线互相垂直，
∴当AD⊥EF时，四边形AEDF是菱形
（4）解：∵正方形既是菱形又是矩形，
∴∠BAC=90°且AD⊥BC时，四边形AEDF是正方形
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）利用两组对边平行的四边形是平行四边形即可证明出结论；
（2）利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求解；
（3）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；
（4）根据有一个角是直角的菱形或一组邻边相等的矩形是正方形即可求解.
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