【五三】初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理1探索勾股定理
一、知识能力全练知识点一勾股定理．
1．在Rt△ABC中，若斜边AB=5，则AC2+BC2=（ ）
A．5 B．10 C．20 D．25
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中， 斜边AB=5．∴AC2+BC2 =AB2=25，
故答案为：D．
【分析】根据在Rt△ABC中， 斜边AB=5．计算求解即可。
2．在Rt△ABC中，∠A=90°，已知AB=5，BC=13，则△ABC的面积为（ ）
A．30 B．32.5 C．26 D．60
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】在 Rt△ABC中，∠A=90°，则BC为斜边，AB=5，BC= 13，
∴AC2=BC2-AB2=132-52=122 ， AC=12，
∴△ABC的面积为 AB·AC= ×5×12= 30．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理求出 AC=12，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
3．如图，在△ABC中，∠C ．=90°，AC=4 ，BC=2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．8 B．12 C．18 D．20
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵∠C=90° OABC是直角三角形．在直角三角形ABC中，
AC=4，BC=2，由勾股定理得AB2 =AC2 +BC2=42+22=20．正方形的面积=AB2=20，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理求出AB2 =AC2 +BC2=42+22=20，再求正方形的面积即可。
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知BC=8，AC=6，则斜边AB上的高是（ ）
A．10 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】∵BC=8，AC=6，∠ACB= 90°，
∴AB2=BC2+AC2=0，∴AB= 10．
∴S△ABC= ×6×8=- ×10CD．∴CD= = ．
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理求出AB= 10，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
5．如图，有一个面积为84 cm2的直角三角形，如果它的一条直角边长是7 cm，那么这个直角三角形的斜边长是多少？
【答案】解：设该直角三角形的另一条直角边长为a cm，斜边长为c cm，则 =84．∴a=24．由勾股定理，得c2=72+242 =252，
∴c=25．该直角三角形的斜边长为25 cm．
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】先求出 a=24 ，再利用勾股定理计算求解即可。
二、知识能力全练知识点二勾股定理的验证
6．历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE和EB在一条直线上．证明中用到的面积相等的关系是（ ）
A．S△EDA=S△CEB
B．S△EDA+S△CEB=S△CDE
C．S四边形CDAE = S四边形CDEB
D．S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
【答案】D
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】从整体看，可按梯形的面积公式计算梯形的面积；从部分看，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，
故答案为：D．
【分析】利用梯形的面积公式，再结合三角形的面积公式计算求解即可。
7．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车" ，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52 B．42 C．76 D．72
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】设“数学风车"中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，∴x=13．
∴“数学风车"外围的周长是( 13+6) ×4= 76． ．
故答案为：C．
【分析】先求出x=13，再求周长即可。
8．直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，把四个相同的直角三角形拼成如图所示的正方形，则阴影部分的面积为
【答案】120
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设另一条直角边的长为x，则x2=132-122=52，x=5，
阴影部分的面积= ×12×5×4= 120．
【分析】利用勾股定理求出x=5，再求阴影部分的面积即可。
三、知识能力全练知识点三勾股定理的简单应用
9．（2020八下·岑溪期末）一辆拖拉机沿着公路l以20km/h的速度前行，幼儿园R距离公路l大约3km，拖拉机产生的噪音能够影响周围5km的区域，则幼儿园学生受拖拉机噪音影响持续的时间约为（ ）
A．0.4h B．0.8h C．1.2h D．1.5h
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：过点R作RB⊥AC，
由题意可得，RB=3km，AR=RC=5km，则AB=BC=4km，
则幼儿园学生受拖拉机噪音影响持续的时间约为：8÷20=0.4（h），
故选：A．
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB，BC的长，进而求出答案．
10．一帆船由于风向，先向正西航行80千米，然后向正南航行150千米，这时它离出发 千米．
【答案】170
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图 ，根据题意得AB=80千米，BC= 150千米，△ABC是直角三角形，
根据勾股定理得AC2=AB2 +BC2，AC2= 802+1502= 1702．∴AC=170千米．故答案为170．
【分析】先求出AC2=AB2 +BC2，AC2= 802+1502= 1702，再求出AC=170千米即可作答。
11．图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为
【答案】100 mm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC= 120- 60= 60( mm)，BC= 140-60=80( mm) ， AB2 =AC2 +BC2= 10 000．． AB= 100 mm，
∴两圆孔中心A和B的距离为100 mm．
【分析】利用勾股定理求出AB=100mm，再求解即可。
12．有一块边长为40米的正方形绿地ABCD，如图所示，在绿地边BC上的E处有健身器材，BE=9米．由于居住在A处的居民去健身踩踏了绿地，小明想在A处竖立一个标牌“少走■米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数．
【答案】解：在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2 =AB2+BE* =402 +92=412，∴AE=41米，AB+BE=40+9=49米，49-41=8米，标牌的■上填的数是8．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先求出 AE=41米，AB+BE=40+9=49米，49-41=8米 ，再求解即可。
四、三年模拟全练
13．（2019八上·成都月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若 ，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b
每一个直角三角形的面积为：
故答案为：D
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.
14．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵AC=6cm，BC=8cm，∠C=90°
∴AB=10cm，
∵AE=6cm（折叠的性质)，
∴BE=4cm，
设CD=x，
则在Rt△DEB中，
42+x2=（8-x)2，
∴x=3cm．
故选：B．
【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
15．一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为（ ）
A．13 B．5或13 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】分两种情况：①当2 和3都是直角边长时，x2 =4+9=13；②当3是斜边长时，x2=9-4=5．
故答案为：B．
【分析】分类讨论，利用勾股定理求解即可。
16．（2019八上·宝鸡月考）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（ ）
A．42 B．32 C．42或32 D．42或37
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】此题应分两种情况说明：
（ 1 ）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD= ,
在Rt△ACD中，
CD=
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（ 2 ）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=9，
在Rt△ACD中，CD=5，
∴BC=9-5=4.
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.
综上所述，△ABC的周长是42或32.
故答案为：C.
【分析】由题意分两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=14，即可求出△ABC的周长 .②当△ABC为钝角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=4，即可求出△ABC的周长 .
五、五年中考全练
17．（2019·黔东南）如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为 .
【答案】3
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在△EBC中，由勾股定理得BC2=22-12=3, 则正方形的面积为BC2=3
【分析】要求正方形的面积，只要求出正方形的边长即可，正方形的边长在Rt△BEC中由勾股定理求得。
18．在Rt△ABC中，∠C=90°， 若AB-AC=2，BC=8，则AB的长是
【答案】17
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°， AB-AC=2， BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，即(AB-2)2+82=AB2 ，解得AB= 17．故答案为17．
【分析】先求出AC2+BC2=AB2，再求出AB=17，最后即可作答。
19．（2020·雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线 交于点O．若 ，则 ．
【答案】20
【知识点】勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴ AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
20．如图，△ABC中，点E在边AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于BE交BE的延长线于点D，BD=8，AC=11，则BC2的值为
【答案】80
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：延长BD到F，使得DF=BD，连接CF，∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC=CF，．∴∠F=∠CBD，过点C作CH∥AB，交BF于点H，又
∵EA=EB，∴∠A=∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F，易知∠F=∠FCH，
∴HF=HC，∴CH∥AB，∴∠ABE=∠CHE，∠BAE=∠ECH，
∴∠CHE=∠ECH，∴EH= CE，
∴EA=EB，∴AC=BH，∵BD=8，AC=11，∴DH= BH- BD=AC- BD=3，
∴HF=HC=8-3=5，在Rt△CDH中，由勾股定理可知CD=4， ．
∴在Rt△BCD中， BC2 =BD2 +CD2=82+42=80，故答案为80．
【分析】先求出∠F=∠FCH，再求出HF=HC=5，再利用勾股定理求解即可。
六、核心素养全练
21．2002年北京国际数学家大会的会徽是一个“弦图”(如图①)，它是由4个全等的直角三角形(不等腰)拼接而成的．如图②，在线段AE和CG上分别取点P和点Q，使AP=CQ，连接DP，BP，DQ，BQ，则构成了一个“压扁”的弦图．问题：线段AE，CG中，是否存在不同于端点的点P，Q，使得“压扁”的弦图(四边形PBQD)中，4个直角三角形的面积依然满足S1=S2=S3=S4？（ ）
A．存在且唯一 B．存在多个 C．不存在 D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】因为 △BCG≌△CDH≌△DAE≌△ABF，所以CG= DH=AE=BF．又因为AP= CQ ，所以PF=QH，则易证△BPF≌△DQH，则S2=S4，易证△BQG≌△DPE ，则S 1=S3．
设AP=x，AE=a，DE=b，则S1= b(a-x)，S2= -a(b-x)，
若S1=S2，则 b(a-x)= a(b-x)，整理得ax=bx，
因为是压扁后的弦图，所以x≠0，所以a=b，因此只有当a=b时，S1=S2，
此时S1=S2=S3=S4。因为AE≠DE，所以不存在满足题意的点，
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的性质，三角形的面积关系求解即可。
22．用图①中四个完全一样的直角三角形可以拼成图②的大正方形，解答下列问题：
（1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积，
方法1： ；方法 2：
（2）根据图②，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式；
（3）利用(2)的关系式解答；如果大正方形的面积是25，且(a+b)2=49 ，求小正方形的面积
【答案】（1）a2+b2；c2
（2）解：a2+b2=c2
（3）解：由(2)知，a2+b2=c2
又(a+6)2=49．所以2ab=49-(a2+b2)= 49-c2 =49-25=24．
所以小正方形的面积=25-24= 1．
【知识点】列式表示数量关系；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）根据图形求解即可；
（2）根据面积间的关系求解即可；
（3）先求出 (a+6)2=49 ，再求出2ab=24，再求小正方形的面积即可。
1 / 1【五三】初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理1探索勾股定理
一、知识能力全练知识点一勾股定理．
1．在Rt△ABC中，若斜边AB=5，则AC2+BC2=（ ）
A．5 B．10 C．20 D．25
2．在Rt△ABC中，∠A=90°，已知AB=5，BC=13，则△ABC的面积为（ ）
A．30 B．32.5 C．26 D．60
3．如图，在△ABC中，∠C ．=90°，AC=4 ，BC=2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．8 B．12 C．18 D．20
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知BC=8，AC=6，则斜边AB上的高是（ ）
A．10 B．5 C． D．
5．如图，有一个面积为84 cm2的直角三角形，如果它的一条直角边长是7 cm，那么这个直角三角形的斜边长是多少？
二、知识能力全练知识点二勾股定理的验证
6．历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE和EB在一条直线上．证明中用到的面积相等的关系是（ ）
A．S△EDA=S△CEB
B．S△EDA+S△CEB=S△CDE
C．S四边形CDAE = S四边形CDEB
D．S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
7．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车" ，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52 B．42 C．76 D．72
8．直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，把四个相同的直角三角形拼成如图所示的正方形，则阴影部分的面积为
三、知识能力全练知识点三勾股定理的简单应用
9．（2020八下·岑溪期末）一辆拖拉机沿着公路l以20km/h的速度前行，幼儿园R距离公路l大约3km，拖拉机产生的噪音能够影响周围5km的区域，则幼儿园学生受拖拉机噪音影响持续的时间约为（ ）
A．0.4h B．0.8h C．1.2h D．1.5h
10．一帆船由于风向，先向正西航行80千米，然后向正南航行150千米，这时它离出发 千米．
11．图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为
12．有一块边长为40米的正方形绿地ABCD，如图所示，在绿地边BC上的E处有健身器材，BE=9米．由于居住在A处的居民去健身踩踏了绿地，小明想在A处竖立一个标牌“少走■米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数．
四、三年模拟全练
13．（2019八上·成都月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若 ，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
14．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
15．一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为（ ）
A．13 B．5或13 C．5 D．4
16．（2019八上·宝鸡月考）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（ ）
A．42 B．32 C．42或32 D．42或37
五、五年中考全练
17．（2019·黔东南）如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为 .
18．在Rt△ABC中，∠C=90°， 若AB-AC=2，BC=8，则AB的长是
19．（2020·雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线 交于点O．若 ，则 ．
20．如图，△ABC中，点E在边AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于BE交BE的延长线于点D，BD=8，AC=11，则BC2的值为
六、核心素养全练
21．2002年北京国际数学家大会的会徽是一个“弦图”(如图①)，它是由4个全等的直角三角形(不等腰)拼接而成的．如图②，在线段AE和CG上分别取点P和点Q，使AP=CQ，连接DP，BP，DQ，BQ，则构成了一个“压扁”的弦图．问题：线段AE，CG中，是否存在不同于端点的点P，Q，使得“压扁”的弦图(四边形PBQD)中，4个直角三角形的面积依然满足S1=S2=S3=S4？（ ）
A．存在且唯一 B．存在多个 C．不存在 D．无法确定
22．用图①中四个完全一样的直角三角形可以拼成图②的大正方形，解答下列问题：
（1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积，
方法1： ；方法 2：
（2）根据图②，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式；
（3）利用(2)的关系式解答；如果大正方形的面积是25，且(a+b)2=49 ，求小正方形的面积
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中， 斜边AB=5．∴AC2+BC2 =AB2=25，
故答案为：D．
【分析】根据在Rt△ABC中， 斜边AB=5．计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】在 Rt△ABC中，∠A=90°，则BC为斜边，AB=5，BC= 13，
∴AC2=BC2-AB2=132-52=122 ， AC=12，
∴△ABC的面积为 AB·AC= ×5×12= 30．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理求出 AC=12，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵∠C=90° OABC是直角三角形．在直角三角形ABC中，
AC=4，BC=2，由勾股定理得AB2 =AC2 +BC2=42+22=20．正方形的面积=AB2=20，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理求出AB2 =AC2 +BC2=42+22=20，再求正方形的面积即可。
4．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】∵BC=8，AC=6，∠ACB= 90°，
∴AB2=BC2+AC2=0，∴AB= 10．
∴S△ABC= ×6×8=- ×10CD．∴CD= = ．
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理求出AB= 10，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
5．【答案】解：设该直角三角形的另一条直角边长为a cm，斜边长为c cm，则 =84．∴a=24．由勾股定理，得c2=72+242 =252，
∴c=25．该直角三角形的斜边长为25 cm．
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】先求出 a=24 ，再利用勾股定理计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】从整体看，可按梯形的面积公式计算梯形的面积；从部分看，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，
故答案为：D．
【分析】利用梯形的面积公式，再结合三角形的面积公式计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】设“数学风车"中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，∴x=13．
∴“数学风车"外围的周长是( 13+6) ×4= 76． ．
故答案为：C．
【分析】先求出x=13，再求周长即可。
8．【答案】120
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设另一条直角边的长为x，则x2=132-122=52，x=5，
阴影部分的面积= ×12×5×4= 120．
【分析】利用勾股定理求出x=5，再求阴影部分的面积即可。
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：过点R作RB⊥AC，
由题意可得，RB=3km，AR=RC=5km，则AB=BC=4km，
则幼儿园学生受拖拉机噪音影响持续的时间约为：8÷20=0.4（h），
故选：A．
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB，BC的长，进而求出答案．
10．【答案】170
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图 ，根据题意得AB=80千米，BC= 150千米，△ABC是直角三角形，
根据勾股定理得AC2=AB2 +BC2，AC2= 802+1502= 1702．∴AC=170千米．故答案为170．
【分析】先求出AC2=AB2 +BC2，AC2= 802+1502= 1702，再求出AC=170千米即可作答。
11．【答案】100 mm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC= 120- 60= 60( mm)，BC= 140-60=80( mm) ， AB2 =AC2 +BC2= 10 000．． AB= 100 mm，
∴两圆孔中心A和B的距离为100 mm．
【分析】利用勾股定理求出AB=100mm，再求解即可。
12．【答案】解：在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2 =AB2+BE* =402 +92=412，∴AE=41米，AB+BE=40+9=49米，49-41=8米，标牌的■上填的数是8．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先求出 AE=41米，AB+BE=40+9=49米，49-41=8米 ，再求解即可。
13．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b
每一个直角三角形的面积为：
故答案为：D
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.
14．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵AC=6cm，BC=8cm，∠C=90°
∴AB=10cm，
∵AE=6cm（折叠的性质)，
∴BE=4cm，
设CD=x，
则在Rt△DEB中，
42+x2=（8-x)2，
∴x=3cm．
故选：B．
【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
15．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】分两种情况：①当2 和3都是直角边长时，x2 =4+9=13；②当3是斜边长时，x2=9-4=5．
故答案为：B．
【分析】分类讨论，利用勾股定理求解即可。
16．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】此题应分两种情况说明：
（ 1 ）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD= ,
在Rt△ACD中，
CD=
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（ 2 ）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=9，
在Rt△ACD中，CD=5，
∴BC=9-5=4.
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.
综上所述，△ABC的周长是42或32.
故答案为：C.
【分析】由题意分两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=14，即可求出△ABC的周长 .②当△ABC为钝角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=4，即可求出△ABC的周长 .
17．【答案】3
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在△EBC中，由勾股定理得BC2=22-12=3, 则正方形的面积为BC2=3
【分析】要求正方形的面积，只要求出正方形的边长即可，正方形的边长在Rt△BEC中由勾股定理求得。
18．【答案】17
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°， AB-AC=2， BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，即(AB-2)2+82=AB2 ，解得AB= 17．故答案为17．
【分析】先求出AC2+BC2=AB2，再求出AB=17，最后即可作答。
19．【答案】20
【知识点】勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴ AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
20．【答案】80
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：延长BD到F，使得DF=BD，连接CF，∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC=CF，．∴∠F=∠CBD，过点C作CH∥AB，交BF于点H，又
∵EA=EB，∴∠A=∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F，易知∠F=∠FCH，
∴HF=HC，∴CH∥AB，∴∠ABE=∠CHE，∠BAE=∠ECH，
∴∠CHE=∠ECH，∴EH= CE，
∴EA=EB，∴AC=BH，∵BD=8，AC=11，∴DH= BH- BD=AC- BD=3，
∴HF=HC=8-3=5，在Rt△CDH中，由勾股定理可知CD=4， ．
∴在Rt△BCD中， BC2 =BD2 +CD2=82+42=80，故答案为80．
【分析】先求出∠F=∠FCH，再求出HF=HC=5，再利用勾股定理求解即可。
21．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】因为 △BCG≌△CDH≌△DAE≌△ABF，所以CG= DH=AE=BF．又因为AP= CQ ，所以PF=QH，则易证△BPF≌△DQH，则S2=S4，易证△BQG≌△DPE ，则S 1=S3．
设AP=x，AE=a，DE=b，则S1= b(a-x)，S2= -a(b-x)，
若S1=S2，则 b(a-x)= a(b-x)，整理得ax=bx，
因为是压扁后的弦图，所以x≠0，所以a=b，因此只有当a=b时，S1=S2，
此时S1=S2=S3=S4。因为AE≠DE，所以不存在满足题意的点，
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的性质，三角形的面积关系求解即可。
22．【答案】（1）a2+b2；c2
（2）解：a2+b2=c2
（3）解：由(2)知，a2+b2=c2
又(a+6)2=49．所以2ab=49-(a2+b2)= 49-c2 =49-25=24．
所以小正方形的面积=25-24= 1．
【知识点】列式表示数量关系；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）根据图形求解即可；
（2）根据面积间的关系求解即可；
（3）先求出 (a+6)2=49 ，再求出2ab=24，再求小正方形的面积即可。
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