4.4.3 不同函数增长的差异 学案（含解析）

第四章 指数函数与对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
学案
一、学习目标
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，体会其增长速度的差异.
2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的比较.
3.能根据具体问题选择合适的函数模型，进而解决相关问题.
二、知识归纳
常见函数模型的比较：
在 上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 增长速度不变 随x增大 逐渐变“陡” 随x增大 逐渐变“缓”
增长速度 的增长速度远远快于的增长速度， 的增长速度快于的增长速度.
结论 存在一个，当时，有.
三、习题检测
1.下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A. B. C. D.
2.据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万，则该地区这三个月的用工人数y（万人）关于月数x的函数关系式近似是( )
A. B.
C. D.
3.当时,函数与函数的大小关系是( )
A. B.
C. D.无法确定
4.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：t）的影响，对近6年的年宣传费和年销售量进行整理，所得数据如下表所示：
x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10
根据上表数据，下列函数中适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( )
A. B.
C. D.
5.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制订了一个销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x万元（）时，奖金y（万元）随销售利润x（万元）的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是（参考数据：，，）( )
A. B. C. D.
6.（多选）如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化的过程中某种有害物质的剩余量y与净化时间t（月）之间满足的函数关系：（，，）的图象.若有害物质的初始量为1，则以下说法中正确的是( )
A.第4个月时，剩余量就会低于
B.每月减少的有害物质的量都相等
C.有害物质每月的衰减率为
D.当剩余量为，，时，所经过的时间分别是，，，则
7.已知某工厂生产某种产品的月产量y（单位：万件）与月份x满足关系，现已知该厂今年1月份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品的产量为__________.
8.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到下面的试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下4个模拟函数：
①；②；③；④.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选_________.
9.某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
地震强度（J）
震级（里氏） 5.0 5.2 5.3 5.4
地震强度x（）和震级y的模拟函数关系可以选用（其中a，b为常数），则____________，___________.（取）
10.某企业常年生产一种出口产品，根据近几年的数据显示，该产品的产量平稳增长.记2017年为第1年，且前4年中，第x年与年产量(单位:万件)之间的关系如下表所示：
x 1 2 3 4
4.00 5.58 7.00 8.44
若近似符合以下三种函数模型之一：，，.
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2017年和2019年的数据求出相应的解析式；
(2)因受到影响，2024年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，求出2024年的年产量.
答案以及解析
1.答案：B
解析：D中增长速度不变，A，C中增长速度越来越快，只有B符合题意.故选B.
2.答案：C
解析：对于A，当时，，与0.76差距较大，故排除A；对于B，当时，，与0.76差距较大，故排除B；对于D，当时，，与0.76差距较大,故排除D.故选C.
3.答案：C
解析：函数与的部分图象如图所示：
根据图象易知，当时，.故选C.
4.答案：B
解析：由题表知，当自变量每增加1个单位时，函数值依次增加055，0.40，0.16，0.14，0.20，因此A，C不符合题意；当x取1，4时，的值分别为2，4，与题表中的数据相差较大，故选B.
5.答案：B
解析：A选项中，当时，，超过2万元，不符；B选项中，在上是增函数，时，，结合图象知，在上恒成立，故B符合；
C选项中，当时，，超过2万元，不符；D选项中，当时，，设，则，因此，超过2万元，不符.故选B.
6.答案：ACD
解析：根据图象过点，可知，，解得或（舍去），函数关系是，令，得，故A正确；当时，，减少了，当时，，减少了，每月减少的有害物质的量不相等，故B不正确；因为，所以有害物质每月的衰减率为，故C正确；分别令，，，解得，，，则，故D正确.故选ACD.
7.答案：1.75万件
解析：由，得，所以，所以此厂3月份该产品产量为（万件）.
8.答案：④
解析：根据表格画出图象,由图分析增长速度的变化,可知试验数据符合对数函数模型,故选④.
9.答案：；
解析：由题表中数据得，两式相减得，所以，解得，所以.
则，经检验，后两次数据也适合该式.
10.解析：（1）符合条件的是，
理由：若模型为，
则由，得，即，
此时，，，与已知相差太大，不符合.
若模型为，
则是减函数，与已知不符合.
由已知得，解得.
所以，.
（2）2024年预计年产量为，
2024年实际年产量为.
所以2024年的年产量为9.1万件.
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