第五章 相交线与平行线
思维导图
考点复习
考 点 一 相 交 线 相交线及其性质 定义图示性质如果直线与直线只有一个公共点，则称直线与直线相交，为交点，其中一条是另一条的相交线．两条直线相交，有且只有一个交点.
邻补角及其性质 概念性质语言描述图示邻补角互补 如图： ∠1+∠2=180°， ∠1+∠4=180°， ∠4+∠3=180°， ∠3+∠2=180°.两个角有公共顶点和一条公共边，它们的另一边互 为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角如图，∠1和∠2，∠1和∠4，∠4和∠3，∠3和∠2都互为邻补角
注意： 邻补角的两种类型： （1）由两条直线相交形成，如上图中的∠1和∠2.
（2）由一条直线和一条端点在该直线上的射线形成，如下图中的∠1和∠2. 特别提醒： （1）互为邻补角的两个角满足：①有公共顶点和一条公共边；②另一边互为反向延长线； （2）邻补角是描述两个角之间的关系，所以邻补角是成对出现的，单独个角或两个以上的角不能互为邻补角. 邻补角与补角的区别和联系 补角邻补角数量关系两个角互补（和为180°）两个角互补（和为180°）位置关系不受位置限制两个角有公共顶点，有一条共公边，另一条边互为反向延长线. 个数一个角的补角可以有很多个一个角的邻补角只能有两个
拓展： （1）邻补角是补角的一种特殊情况互为邻补角的两角不仅要满足两角之和为180°， 还要求有条公共边和公共顶点.
（2）若两个角互为邻补角，则它们一定互为补角，但互为补角的两个角不一定互为 邻补角.
（3）一个角的邻补角最多有两个，但一个角的补角可以有无数个. 对顶角及其性质 概念性质语言描述图示对顶角相等 如图： ∠1=∠3 ∠2=∠4 两个角有公共顶点，且它们的两边分别互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角如图，∠1和∠3，∠2和∠4都互为对顶角
注意：两条直线相交是形成对顶角的前提条件. 特别提醒：（1）对顶角是描述两个角之间的关系，所以对顶角是成对出现的. （2）找一个角的对顶角时，分别反向延长这个角的两边，以这两条反向延长线为边的角即原角的对顶角．
考 点 二 垂 线 垂线 定义两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 图示如图，直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或者CD⊥AB），读作“AB垂直于CD”. 性质（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.垂直定义的双重性垂直的定义既是判定也是性质.如上图所示： ∵AB⊥CD，∴∠BOC=90°.∵∠BOC=90°，∴AB⊥CD.
注意： （1）垂线是直线，不是线段或射线，不能测量其长度； （2）线段、射线的垂直是指它们所在的直线垂直. 特别提醒： （1）若两条直线相交所成的四个角中有一个角是90°，则其他三个角都是90°；
（2）两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在两条直线的夹角是90°. 垂线的画法及性质 1.垂线的画法——落、移、画 “一落”即让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； “二移”即沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点； “三画”即沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线. 注意： 过一点画已知直线的垂线，其本质就是利用三角尺（或量角器），使过一点的 直线与已知直线所形成的夹角为90°. （2）在画垂线时，要标记垂直符号“”. 特别提醒： 过一点画已知射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上. 点到直线的距离 1.垂线段的性质： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
2.点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 特别提醒： 垂线是直线，垂线段是线段，这两者是图形；点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能画，可以测量. 拓展： （1）在同一平面内，过一点画已知直线的垂线时，只能画一条； （2）不在同一平面内或未指明过哪一点画已知直线的垂线时，可以画无数条．
考 点 三 同 位 角 、 内 错 角 、 同 旁 内 角 考 点 三 同 位 角 、 内 错 角 、 同 旁 内 角 三线八角 定义图示如图，两条直线AB、CD（被截直线）被第三条直线EF（截线）所截，构成八个角，简称“三线八角”.
同位角 定义位置关系图示两条直线被第三条直线所截，位置相同的 一对角(两个角分别在两条直线的相同一 侧，且在三条直线的同旁)叫做同位角.（1）两个角分别在两条 被截直线的同一方； （2）两个角都在截线的同一侧. ∠1与∠5，∠2与∠6， ∠3与∠7，∠4与∠8.
注意： 同位角中的“同”可理解为“相同”，“位”可理解为“位置”即具有相同位置的角. 特别提醒： （1）一定要分清“截线”与“被截直线”；
（2）同位角指的是两个角的位置关系；
（3）两条直线被第三条直线所截形成4对同位角. 内错角 定义位置关系图示两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角.（1）两个角都在两条被截直线之间； （2）两个角分别在截线的两侧. ∠3与∠5，∠4与∠6
注意： 内错角中的“内”可理解为“两条被截直线之间”，“错”可理解为“交错”，即截线的两侧. 同旁内角 定义位置关系图示两条直线被第三条直线所截，两个角都在 两条直线之间，并且在第三条直线的同旁， 这样的一对角叫做同旁内角. （1）两个角都在两条被截直线之间； （2）两个角都在截线的同侧. ∠3与∠6，∠4与∠5
注意： 同旁内角中的“同旁”可理解为“載线的同側”，“内”可理解为“两条被截直线之间”. 特别提醒： 两直线被第三条直线所截，构成的8个角中，有4对同位角，2对内错角，2 对同旁内角. （2）这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小关系是不确定的； （3）这三种角也都是成对出现的，都没有公共顶点，但都有一条公共边.
考 点 四 平 行 线 考 点 四 平 行 线 平行线及其表示方法 定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.表示方法如图所示，直线AB与直线CD平行，记作“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”.图示注意（1）两条直线平行必须具备两个条件：①在同一平面内；②不相交. （2）在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交. （3）两条线段或射线平行是指其所在的直线平行.特别提醒强调“在同一平面内”的原因：因为不在同一平面内，两条直线的位置关系除了相交和平行，还有第三种可能，即异面，就像立交桥一样.拓展有些图形即使没画出交点，也不能说它们平行，如图，直线AB和CD虽没画出交点，但它们有交点，不平行
平行线的画法 注意： （1）过直线上一点，不能画该直线的平行线 （2）借助直尺和三角尺画平行线时，必须保持“紧靠”，否则画出的直线不平行； （3）画线段或射线的平行线指的是画它们所在直线的平行线. 特别提醒：用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线是几何作图的基本技能之一，要严格按照步聚规范作图. 平行公理及其推论 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行注意注意： （1）“有且只有”说明这样的直线存在，且是唯一的； （2）在叙述时，一定要强调“直线外一点”，否则不存在直线与已 知直线平行.特别提醒特别提醒：平行公理是过直线外一点作这条直线的平行线的依据.
平行公理的推论文字语言符号语言图示如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.如图所示，如果b∥a， c∥a，那么b∥c.注意判断在同一平面内的两条直线是否平行，可以看它们是否有交点（若无交点，则平行），也可以看它们是否与同一条直线平行（若是，则平行）拓展平行公理的推论表述了平行的传递性，在公理的推论中没有强调“在同一平面内”，事实上，在立体几何中，这个推论也是成立的
考 点 五 平 行 线 的 判 定 平行线的判定方法及推论 判定方法文字语言图形符号语言判定方法1：同位角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.因为∠1＝∠2， 所以AB∥CD. 判定方法2：内错角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行因为∠3＝∠4， 所以AB∥CD. 判定方法3： 同旁内角互补，两直线 平行两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 因为∠5＋∠6=180°， 所以AB∥CD.
注意： （1）平行线的三种判定方法的共同的前提条件是“两条直线被第三条直线所截”，共同的结论是“两直线平行”； （2）这三种判定方法都是根据角之间的数量关系来判断直线之间的位置关系； （3）判定两直线平行，还可用平行线的定义、平行公理的推论及后面的“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”来进行. 特别提醒： 判定方法1是根据平行线的画法得到的一个基本事实，判定方法2及判定方法3都可以根据判定方法1经过简单的推理论证得到. 平行线判定方法的推论 文字语言：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 符号语言：因为a⊥c，b⊥c，那么a∥b.
考 点 六 平 行 线 的 性 质 平行线的性质 性质文字语言图形符号语言性质1：两直线平行，同位角相等.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.因为AB∥CD， 所以∠1＝∠2. 性质2：两直线平行，内错角相等.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.因为AB∥CD， 所以∠3＝∠4. 性质3：两直线平行，同旁内角互补.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 因为AB∥CD， 所以∠5＋∠6=180°.
特别提醒： 应用平行线性质的注意点： （1）数形结合：平行线的性质是由直线的位置关系确定角的数量关系，应用时注意正确识别图形特征及角的关系. （2）新旧结合：平行线的性质往往与以前学习的对顶角、邻补角等知识相结合，计算一些角的度数. （3）搭桥过河：当两条直线没有被同一条直线所截，不能直接利用平行线的性质时，往往要添加辅助线，构造第三条直线作为连接已知直线的桥梁. 平行线性质和判定的关系 平行线的性质与判定的关系平行线的性质是以两直线平行为前提，得出角相等或互补，是由“位置关系”得出“数量关系”平行线的判定是以角相等或互补为前提，得出两直线平行，是由“数量关系”得出“位置关系”.它们之间的关系如图所示：
考 点 七 命题 、 定理 、 证明 考 点 七 命题 、 定理 、 证明 命题：判断一个事件的语句叫做命题. 注意： （1）命题是判断事情的语句，一般为陈述句，不能是祈使句、疑问句、感叹句或描述图形的句子等； （2）命题判断的结果可以是肯定的，也可以是否定的. 特别提醒： （1）命题必须对某一件事作出判断，不管作出的判断是正确的还是错误的；
（2）命题作出的判断通常包含“是”或“不是”、“具有”或“不具有”等类似的 词语. 命题的组成及形式 1.命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 注意： 有些简写的命题，题设和结论不够明显，要经过分析并改写成“如果……那么……”的形式，在改写时，需适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意. 拓展： 常见的命题形式还有“若则……”“只要……就有……”等.
特别提醒： （1）命题一定是由题设和结论两部分组成的，题设是结论存在的前提. （2）对有些命题，其题设与结论不一定只有一个，一定要分清它们的题设和所对应的结论. 命题的真假 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题． 假命题：当题设成立时，不能保证结论成立，这样的命题叫做假命题. 特别提醒： 一个命题不是真命题就是假命题. 定理与证明 1.定理：一些命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，即所有的定理都是真命题. 2.证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 3.反例：判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足命题的结论就可以了. 特别提醒： （1）定理都是真命题，但真命题不一定是定理.
（2）判定一个命题是假命题，只要举出一个反例即可，该反例符合命题的题设，但 不满足结论.
（3）命题的证明过程中的每一步推理都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可 以是已经学过的定义，基本事实、定理等.
考 点 八 平移 平移的概念 1.平移：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．图形的这种移动，叫做平移.新图形中的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点. 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离 3.平移中的对应元素 对应元素图示对应点点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′ 把三角形ABC沿直线PQ平移，得到三角形A＇B＇C＇. 对应边AB与A＇B＇，AC与A＇C＇，BC与B＇C＇对应角∠ABC与∠A＇B＇C＇，∠ACB与∠A＇C＇B＇ ∠BAC与∠B＇A＇C＇
特别提醒： （1）图形的平移是一种位置变换，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大 小. （2）图形平移的方向不一定是水平的，也可以竖直平移或斜向平移，但必须是沿某一直线方向移动. 平移的性质 平移的性质主要包括三点：
（1）平移后得到的新图形与原图形的大小、形状完全相同；
（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等；
（3）平移前后两个图形中的对应线段相等，对应角也相等． 特别提醒： （1）“将一个图形沿某一个方向移动一定的距离”意味着图形上的每一个点都沿这一方向移动了相同的距离 （2）图形平移前后的对应边相互平行（或在同一条直线上）. 平移作图 1.确定一个图形平移后的位置需三个条件:（1）图形原来的位置；（2）平移的方向；（3）平移的距离.三个条件缺一不可，因为只有这样，平移后的图形才唯一确定. 2.平移作图的基本步骤： （1）确定平移的方向和距离； （2）找出确定图形形状的关键点； （3）按平移的方向和距离确定各关键点平移后的对应点； （4）按原图的顺序连接各对应点； （5）写出结论. 特别提醒： （1）通过确定几个关键点作平移图形的方法，体现了“以局部带动整体”的思想，作图时要细心认真，使图形准确、美观，纸面整洁，位置恰当．如果使用方格纸进行平移作图，那么效果会更好.
（2）如果作比较复杂的图形的连续平移，那么要在作图前仔细观察，根据图形的特点，确定平移方法.
33 / 60第六章 实数
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本章知识复习：
考 点 一 平 方 根 考 点 一 平 方 根 一、算术平方根的概念与性质 概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
规定：0的算术平方根是0 表示：a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数 性质： （1）正数的算术平方根是正数；
（2）负数没有算术平方根；
（3）被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 特别提醒： 的双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a≥0； ②非负数a的算术平方根是非负数，即≥0． （2）求一个数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的运算，因此，求一个数的算术平方根的运 算实际上可以转化为求一个非负数的平方的运算. 拓展： 算术平方根是它本身的数只有0和1. 一个非负数的算术平方根只有一个. 估算算术平方根的值 对算术平方根进行估算时，通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根相比较． 特别提醒： 在选取与被开方数最近的两个能开得尽方的数时，要注意精确度的要求. 用计算器求一个正有理数的算术平方根 大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根（或其近似值）先按键，再输人被开方数，最后按=键，计算器上就会显示这个数的算术平方根（或其近似值）. 特别提醒： （1）用计算器求出的算术平方根大多是近似值.
（2）不同品牌的计算器，按键顺序有所不同，要以说明书为准. 平方根的概念与性质 1.平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果 x2＝a，那么x叫做a的平方根． 2.平方根的表示方法：正数a的平方根表示为“士”，读作“正、负根号a” 3.开平方的概念：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数. 4.平方根的性质： （1）正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算术平方根； （2）0的平方根是0； （3）负数没有平方根； 注意：当被开方数扩大或缩小倍，它的算术平方根相应地扩大或缩小n倍（）. 4.算术平方根与平方根的关系 （1）开平方与平方是互逆运算关系.开平方与加、减、乘、除、乘方一样，是一种运算. （2）判断一个数是不是另一个数的平方根，就要看这个数的平方是否等于另一个数. （3）一个正数的正的平方根就是这个正数的算术平方根. 拓展： ：表示一个非负数的算术平方根. -：表示一个非负数的算术平方根的相反数. 士：表示一个非负数的平方根. 二、立方根的概念与性质 1.概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.即如果x3＝a，那么x叫做a的立方根. 2.表示：一个数a的立方根用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数. 3.性质：一个数的立方根只有一个，即正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0
考 点 二 立方 根 考 点 二 立方 根 注意： 中的根指数3不能省略，而实际上省略了中的根指数2，因此，也可读作“二次根号a”，要注意区分两者的不同. 特别提醒： （1）任何数都有唯一的立方根，非零数的立方根的符号与被开方数的符号相同，立方根的结果不是有理数 的，必须用立方根符号表示.
（2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.
（3）立方根等于它本身的数有1,0,-1.
（4）一个正数只有一个立方根，不能误认为有两个. 开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方． 注意： 1.开立方与立方是互逆运算，正如开平方与平方的关系一样，往往通过立方运算去完成开立方，开立方所得的结果是立方根. 2.=-，. 注意： 上面两式中的a均可以取正数、负数或0. 平方根与立方根的区别： 平方根平方根立方根个数（1）正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0的平方根是0； （3）负数没有平方根（1）正数有一个正的立方根； （2）0的立方根是0； （3）负数有一个负的立方根.被开方数的范围负数不能开平方，因此中的被开方数a必须为非负数，即a≥0任何数都可以开立方，因此中的a可以为任意数.
特别提醒： 开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. （2）利用“=-”可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数.
（3）“”成立的依据是立方与开立方互为逆运算，应用时能起到去根号化简的作用. 用计算器求立方根 用计算器求立方根的按键顺序：先按键，再输入被开方数，最后按=键.有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根，按键顺序：先按2nd F键，再按键，然后输入被开方数，最后按=键. 注意： （1）被开方数的绝对值越大，立方根的绝对值也就越大． （2）开立方时，被开方数的小数点每向左或向右移动三位，其立方根的小数点向相应的方向移动. 特别提醒： （1）用计算器求一个数的立方根时，应按正确的按键顺序进行，并按要求取近似值.
（2）使用计算器时，要注意，不同的计算器按键的顺序也可能不同，使用时应以说明书为准.
考 点 三 实数 考 点 三 实数 考 点 三 实数 三、无理数 1.无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数.
2.无理数的特征： ①无限性； ②不循环性； ③小数； ④不能化为分数的形式. 3.无理数的常见形式：
（1）含有根号，且被开方数开方开不尽，如，－，等；
（2）圆周率π及一些含有π的数，如3π，等；
（3）具有特定结构的数，如0．1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． 特别提醒： （1）无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.
（2）某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数并不一定都是无理数，如，，… 四、实数的概念及分类 1.实数的概念：有理数和无理数通常为实数. 2.实数的分类： （1）按概念分类：； （2）按性质分类：. 特别提醒： （1）实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏 （2）对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，再根据它的最后结果进行分类．不能看到带根号 的数，就认为它是无理数 （3）π是无理数，所以也是无理数，不是分数. 五、实数与数轴的关系 1.实数与数轴上的点的对应关系： 实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 2.实数的大小比较： （1）数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大； （2）正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小. 特别提醒： 任何一个有理数在数轴上都有一个唯一确定的点与之对应，但是，数轴上的点并不都表示有理数，无理数同样可以用数轴上的点表示. 六、实数的有关概念 实数的相反数：
实数a的相反数是-a；若实数m与实数n互为相反数，则m＋n＝0.
2.实数的绝对值：
用a表示一个任意实数，则
特别提醒： （1）相反数等于它本身的数：0
（2）绝对值等于它本身的数：正数或0，即非负数
（3）绝对值的非负性：任何实数a的绝对值都是非负数，即|a|≥0
（4）若一个实数是两个数的和或差的形式，在写它的相反数时，要先添加括号，再在括号的前面添加负号 七、实数的运算 1.实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减.若是同级运算，需要从左到右依次进行，有括号的要先算括号里面的. 2.有理数的运算法则和运算律等，在实数范围内仍然适用. 注意： 一般情况下，在实数的运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以先按照要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算. 拓展： 与实数有关的常用性质：
（1）a与b互为倒数ab＝1；
（2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.
（3）互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|＝|－a|.第七章 平面直角坐标系
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本章考点复习
考点一、平面直角坐标系
有序数对：
1.定义：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．
2对“有序”二字的理解：“有序”即两个数的位置不能随意交换．
（a，b）和（b，a）中a和b的顺序不同，表达的含义就不同．例如，若（a，b）表示第a列第b排，则（b，a）表示第b列第a排．
3.有序数对的作用：利用有序数对，可以准确地表示出一个位置.
特别提醒：
（1）在有序数对表示法中，括号不能省略，两数中间用“，”隔开；
（2）运用有序数对表示位置时，有序数对中的前后两个数要事先规定好意义，若规定不同，则意义也不同.
易错点：当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同的有序数对.
平面直角坐标系
1.平面直角坐标系
相关 概念 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，就组成了平面直角坐标系 （1）水平的数轴称为x轴或横轴； （2）竖直的数轴称为y轴或纵轴； （3）两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点. 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成工，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第象限、第二象限、第三象限和第四象限
特征 （1）两条数轴互相垂直，有公共原点
（2）习惯上，x轴取向右为正方向，y轴取向上为正方向
目的 确定平面内点的位置
作用 为几何问题和代数问题的相互转化打下基础
2.根据条件建立平面直角坐标系
（1）选原点，即根据条件，选择合适的点作为原点；
（2）作两轴，即过原点作两条互相垂直的直线，分别为x轴和y轴：
（3）定坐标系，即确定x轴和y轴的正方向和单位长度.
特别提醒：
（1）因为横轴与纵轴都是数轴，所以数轴上的点一律不带单位，但在实际问题中坐
标系的数轴都被赋予了实际意义，一般会在表示横轴和纵轴的字母后附上单位；（2）象限是按“逆时针”方向排列的，不要弄错位置；
（3）各象限的名称是一种规定，不能随意更改；
（4）坐标轴不属于任何象限，它们是各象限的分界线.
点的坐标
数轴上的点的坐标
数轴上的点与实数是一一对应的，数轴上的每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．如图，点A在数轴上的坐标为－5，点B在数轴上的坐标为2．
2.平面直角坐标系中点的坐标：
平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、
纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b).
特别 提醒：
点的横坐标、纵坐标是由点分别向x轴、y轴作垂线，垂足对应的坐标；
（2）在写坐标时，横坐标必须在前，纵坐标必须在后，两数中间用“，”隔开；
（3）对于坐标平面内任意一点，都有唯一的一对有序实数（即这个点的坐标）和它
对应；反过来，对于任意一对有序实数，在坐标平面内都有唯一的一点（即坐
标为这对有序实数的点）和它对应.
知识点三、坐标平面
1.象限：建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图：
要点诠释：
（1）坐标轴x与y轴上的点（包括原点）不属于任何象限。
（2）按方位来说：第一象限在坐标轴的右上方，第二象限再左上方，第三象限在左下方，
第四象限在右下方。
知识点四、点坐标的特征
各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律：
各象限内点的坐标特征：
点在第一象限；点在第二象限；
点在第三象限；点在第四象限．
坐标轴上点的坐标特征
点在轴上，为任意实数；
点在轴上，为任意实数；
点即在轴上，又在轴上，即点的坐标为．
坐标轴夹角平分线上点的坐标特征
点在第一、三象限夹角的角平分线上；
点在第二、四象限夹角的角平分线上．
平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
平行于轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；
平行于轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．
注意：
（1）坐标原点既在横轴上，又在纵轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点；
（2）坐标轴上的点不属于任何象限.
题型：----方法：有图看图，无图画图！
注意：
（1）坐标原点既在横轴上，又在纵轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点；
（2）坐标轴上的点不属于任何象限.
特别提醒：
点（a，b）到x轴、y轴的距离分别是|b|、|a|
（2）根据点的坐标特征，可以判断点所在的位置；根据点所在的位置，也可以知道该点的坐标特征.
考点二、坐标方法的简单应用
用坐标表示地理位置
利用平面直角坐标系，绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
（2）根据具体问题确定单位长度；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.
特别提醒：
通常选择具有标志性的地点或者较居中的位置为坐标原点；
（2）坐标轴的方向通常以正北为纵轴的正方向，正东为横轴的正方向，以便使东、南、西、北的方向与地
理位置的方向一致；
（3）要标明比例尺或坐标轴上的单位长度.
注意：建立平面直角坐标系来表示地理位置时，一般两个坐标轴的比例尺应统一.
用“方向十距离”表示物体的位置
一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示地理位置．此外，还可以用方向和距离表示平面内物体的位置．
在航海和地理测绘中，就经常用方向和距离来刻画平面内两个物体的相对位置通常以北偏东（西）或南偏东（西）确定方向．
特别提醒：
（1）只有方向或只有距离都不能表示出物体的位置
（2）用方向和距离表示物体的位置和地图上的方向一样，按“上北下南，左西右东”划分．
用坐标表示点的平移
在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，图形上点的位置发生了变化，坐标也发生了变化.
1.点平移时坐标的变化规律：左右平移，横变纵不变；上下平移，纵变横不变.
2.点平移时坐标的变化法则
P（x，y）平移方式（其中a，b＞0） 平移后点的坐标
沿x轴平移 向右平移a个单位长度 （x+a，y）
向左平移a个单位长度 （x-a，y）
沿y轴平移 向上平移b个单位长度 （x，y+b）
向下平移b个单位长度 （x，y-b）
特别提醒：
根据点平移的方向和距离，可以得出点的坐标的变化情况；反过来，根据点的横、纵坐标的变化情况，也能判断出点平移的方向和距离.
图形的平移与坐标变化的关系
一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，那么相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，那么相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度.
特别提醒：
（1）图形的平移，归根结底是点的平移，通过点的坐标变化来实现图形的平移；
（2）平移只改变图形的位置和各点的坐标，不改变图形的形状和大小.第八章 二元一次方程组
本章思维导图
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本章考点复习：
考点一、二元一次方程组
1.二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
特别提醒：
（1）在方程中，“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数；
（2）含有未知数的项的次数都是1，不可理解为两个未知数的次数都是1；
（3）二元一次方程的左边和右边都是整式；
（4）二元一次方程的一般形式为ax＋by＝c，其中a、b、c是常数，且ab≠0.
注：二元一次方程需满足四个条件：
①首先是整式方程．
②方程中共含有两个未知数．
③所有未知项的次数都是一次．
④两个未知数系数都不为0．
不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
注：任何一个二元一次方程都有无数个解（不定方程）．
2.二元一次方程组
方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
特别提醒：
（1）二元一次方程组的特点：方程的个数——2（两个方程必须用大括号联立）；
未知数的个数——2（两个方程共含有两个未知数，且相同的未知数必须代表同一个量）；
含有未知数的项的次数1．
二元一次方程组三种常见形式：两个二元一次方程联立；一个一元一次方程和一个二元一次方程联立；两个含不同未知数的一元一次方程联立.
注：二元一次方程组并不要求每一个方程都必须是二元一次方程，需满足三个条件：
①方程组中的每个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程组．
3.二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
特别提醒：
（1）二元一次方程的每一组解都是一组数值，而不是一个数值；
（2）二元一次方程的解一般都要用大括号联立表示；
（3）一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限组解.
拓展：
一个二元一次方程有无数组解但不是说任意一组数值都是它的解.
4.二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
特别提醒：
（1）二元一次方程组一般都只有一组解（有时无解或有无数组解）；
（2）二元一次方程组的解是该方程组中每一个方程的解，而二元一次方程组中某个方程的解不一定是该方程组的解.
考点二、消元法解二元一次方程组
用代入消元法解二元一次方程组
1.消元思想
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知数，再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.代入消元法
先把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法
3.用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤：
（1）变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，变形为用含一个未知数（如x）的式子表示另一个未知数（如y）的形式；
（2）代入：将变形后的方程代入另一个方程中消去y（或x），转化成一个关于x（或y）的一元一次方程；
（3）求解：解这个一元一次方程，求出未知数x（或y）的值；
（4）回代：把求得的x（或y）的值代入变形后的方程，求出y（或x）的值；
（5）写解：把x，y的值用大括号联立起来，写出方程组的解；
（6）检验：将x，y的值代入另一方程进行检验.
特别提醒：
当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的式子时，可以直接利用代入消元法求解；
（2）若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程，则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简单.
（3）若方程组中所有方程中的未知数的系数都不是1或-1，则选系数的绝对值较小的方程变形比较简单．
用加减消元法解二元一次方程组
1.加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法
2.用加减消元法解二元一次方程组的基本步骤：
（1）变形：在方程组的两个方程中，若同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，则需要将方程的两边都乘适当的数，使同一个未知数在两个方程中的系数相反或相等；
（2）加减：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）求解：解这个一元一次方程，求得未知数x（或y）的值；
（4）回代：把x（或y）的值代入系数较简单的方程，求出另一个未知数y（或x）的值；
（5）写解：把x，y的值用大括号联立起来，写出方程组的解；
（6）检验：将x，y的值代入另一方程进行检验.
特别提醒：
（1）两个方程中，当同一个未知数的系数互为相反数时，两个方程相加消元；当同一个未知数的系数相同时，两个方程相减消元.
（2）两个方程中，如果同一个未知数的系数成整数倍，可以在系数绝对值较小的方程两边同乘倍数，使之与另一个方程中同一未知数的系数的绝对值相等，再将两个方程相加或相减，即可消元.
（3）当两个方程中同一个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较简单（或相对较小）的未知数消元，将两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值分别转化成它们的最小公倍数，然后加减消元.
特殊解法
2．对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错，则可根据题目的特点，利用整体思想来采用特殊方法简化方程组，接着再采用代入或加减消元法解出相应x，y的值即可：
（1）系数轮换法：
适用方程组类型：如果把方程组中的每一个未知数依次轮换后，虽然每个方程都变了，但是整个方程组仍不变.
步骤：解题时，把各方程相加，即可得到x+y=常数的形式，把各方程相减，即可得到x－y=常数的形式，这两个新的方程组成的方程组就是原方程组化简后的结果，便可以采用加减或代入消元法求得未知数的值.
（2）换元法：
适用方程组类型：方程组项数较多、系数较为复杂，而且会有相同的部分或者是互为相反数的部分多次出现.
步骤：解题时，把方程中相同的部分或者是互为相反数的部分看成是一个整体，用另一个字母来替换，从而简化原先项数多、系数复杂的方程组，再采用常规的加减或者代数消元法来求得未知数的值．
（3）倒数法：
适合方程组类型：方程中出现分母是和的形式，分子是积的形式.
步骤：解题时，采用倒数法变换成分子是积、分母是和的形式，然后进行拆分，利用加减或者代入或者换元法来解出，的值.
二元一次方程组的简单应用
列二元一次方程组解应用题，与列一元一次方程解应用题类似，只是要找两个相等关
系，列出两个方程，构成方程组，通过解方程组解决问题.
特别提醒：
（1）列二元一次方程组解应用题的关键是找出问题中的相等关系；
（2）根据相等关系列出二元一次方程组；
（3）求出方程组的解之后，检验其是否符合实际；
（4）注意题目中的单位必须一致.
考点三、实际问题与二元一次方程组
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
列二元一次方程组解应用题的步骤同列一元一次方程解应用题的步骤基本相同，具体
如下：
（1）审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并且明确它们之间的相等关系；
（2）设：恰当地设未知数；
（3）列：依据题中的相等关系列出方程组
（4）解：解方程组，求出未知数的值
（5）验：检验所求得的数值是否符合题意和实际意义；
（6）答：写出答，勿漏单位.
特别提醒：
列二元一次方程组解决实际问题的六步中，书写过程只需“设”“列”“解”
“答”四步，其余的可以在草稿纸上完成；
（2）把“未知”和“已知”同样对待：列方程组解决实际问题时把“未知”看成“已知”，想办法将二者联系起来是关键；
（3）不可忽略检验：解方程组的过程不能保证正确无误，所得结果也不一定符合问题的实际意义，所以必须进行检验.
列二元一次方程组解实际问题的常见类型
类型 基本等量关系
和差倍分问题 较大量＝较小量十多余量；
总量＝一份的量×份数
等积变形问题 V长方体＝abh，V正方体＝a3；
V柱体＝Sh，V锥体＝Sh
行程问题 路程（s）＝速度（v）×时间（t） （1）相遇问题：甲路程+乙路程=总距离 （2）追及问题： ①同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程； ②同时不同地出发：前者走的路程+两地距离=追者走的路程． （3）航行问题: ①顺水速度＝静水速度+水流速度； ②逆水速度＝静水速度-水流速度.
工程问题 工作量=工作效率×工作时间
分配问题 调配前后总量不变， 调配后双方有新的倍分关系.
利润问题 利润=售价-进价； 利润率=×100％=×100％ 进价＝售价÷（1十利润率）
特别提醒：
（1）解决实际问题时，一般地，如果设的未知数少，那么思路复杂，但计算简单；如果设的未知数多，那么思路简单，但计算复杂．需根据具体的题目选择要设的未知数的个数；
（2）有时设间接未知数更易列方程组：列方程组解应用题一般怎样问就怎样设，但当较复杂的问题中包含的量较多，且所求量与已知量之间的关系不明了时，设间接未知数可架起连接已知和待求的“桥梁”，更易列出方程组第九章 不等式与不等式组
本章思维导图
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本章考点复习：
考点一、不等式及其解集
不等式的概念
用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式.
注意：
（1）“＞”是大于号，读作“大于”；“＜”是小于号，读作“小于”；“≠”是不等于号，读作“不等于”，表示“大于或小于”；
（2）符号“＞”“＜”具有方向性，其左右两边的式子不能随意交换；
（3）不等式中可以不含未知数，如“5＞3”.
拓展：
除“＞”“＜”和“≠”外，表示不等关系的符号还有“≥”和“≤”等，其中“≥”表示大于或等于，即不小于，“≤”表示小于或等于，即不大于.
不等式的解、解集与解不等式
1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
特别提醒：
一般地，不等式的解可以有无数多个，但也存在特殊情况，如不等式|x|≤0，就只有一个解x=0.
2.不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
3.不等式解集的表示方法：
（1）用不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数多个解，其解集是某个范围，这个范围可用一个简单的不等式表示出来．
（2）用数轴表示：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以在数轴上表示不等式的解集时应牢记“大于向右画，小于向左画”.
拓展：
在数轴上表示不等式的解集时，无等号的画空心圆圈，有等号的画实心圆点.
特别提醒：
不等式的解与不等式的解集的关系：①区别：不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式
的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值；②联系：不等式的所有解组成了这个不等式的解集，解集中包含每一个解，也就是说，不等式的解是不等式的解集的一部分；
（2）当不等式的解集只有一个解时，不等式的解集就是它的解，例如，x2≤0的解集就是它的解x=0.
解不等式
求不等式的解集的过程叫做解不等式
考点二、不等式的性质
不等式的性质1
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如果a＞b，那么a士c＞b士c.
特别提醒：
（1）“两边”是指不等号的左、右两边；
（2）加（或减）是指不等式的两边必须同加（或同减）；
（3）加（或减）的可以是同一个数，也可以是同一个式子.
不等式的性质2
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）.
不等式的性质3
不等式两边乘（或除以）同个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜).
拓展：
不等式的其他性质
对称性，也叫互逆性：若a＞b，则b＜a．
（2）传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
（3）若ab＞0，则a，b同号，反之，若a，b同号，则ab＞0；
若ab＜0，则a，b异号，反之，若a，b异号，则ab＜0.
（4）若a-b＞0，则a＞b，反之，若a＞b，则a－b＞0；
若a－b＜0，则a＜b，反之，若a＜b，则a－b＜0．
特别提醒：
无论对不等式进行何种运算与变形，都要两边同时进行，且对不等式两边进行运算的数（或式子）必须相同；
（2）不等式的性质与等式的性质非常相似，不同之处在于不等式的两边乘（或除以）同一个负数时，不等号要改 变方向；
（3）防止出现以下错误：若a＞b，则a2＞b2．例如，-3＞-5，但得不到(-3)2＞(-5)2.
利用不等式的性质解简单的不等式
解不等式就是把不等式化为x＞a（x≥a）或x＜a（x≤a）（a为常数）的形式，其主要依据就是不等式的性质.
特别提醒：
（1）当不等式两边有分母时，可根据不等式的性质2，去掉分母.
（2）利用不等式的性质1可将含未知数的项移到左边，不含未知数的项移到右边
（3）利用不等式的性质2、性质3可将未知数的系数化为1，从而求出不等式的解集
考点三、一元一次不等式
一元一次不等式
1.一元一次不等式的概念：类似于一元一次方程，含有一个未知数未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
2.一元一次不等式的基本特征：
（1）不等号两边都是整式；
（2）只含一个未知数；
（3）含未知数的项的次数是1.
3.一元一次不等式的一般形式：ax＞（≥）b或ax＜（≤）b（其中a≠0）.
注意：
（1）在化简后的一元一次不等式中，含未知数的项的系数不等于0；
（2）判斯一个不等式是否为一元一次不等式，必须化简后再判断.
特别提醒：
一元一次不等式与一元一次方程的异同点:
相同点 两者都只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数是1，左、右两边都是整式.
不同点 一元一次不等式表示的是不等关系，用不等号连接；一元一次方程表示的是相等关系，用等号连接.
一元一次不等式的解法
步骤 依据 具体方法
去分母 不等式的性质2或3 在不等式两边乘各分母的最小公倍数
去括号 去括号法则 在所有因式去括号展开
移项 不等式的性质1 把含未知数的项移到不等号左边，常数项移到不等号右边
合并同类项 合并同类项法则 化为ax＞b（或ax＜b）的形式（其中a≠0）
系数化为1 不等式的性质2或3 不等式两边都除以a，得到不等式的解集
特别提醒：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活选用.
（2）解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系
名称 一元一次方程 一元一次不等式
标准形式 ax+b=0（a≠0） ax+b＞（≥）0或ax+b＜（≤）0（a≠0）
步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1
依据 等式的性质 不等式的性质
解的个数 只有一个解 一般有无数个解
解（集）的形式 x=m x＞（≥）m或x＜（≤）m.
注意：
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本相同，但要注意解题程中的符号变化.
列一元一次不等式解决实际问题
列不等式解决实际问题的步骤同列方程解决实际间题的步骤类似，分为以下几步：
（1）审，审清题意，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系；
（2）设，设出适当的未知数；
（3）列，根据题中的不等关系列出不等式；
（4）解，解不等式；
（5）验，检验答案是否符合实际意义；
（6）答，写出答案.
特别提醒：
（1）审题是解题的基础，找到题中的不等关系是解题的关键，也是解题的难点，要抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“不等于”“不小于”“至少”“最多”等，
理解它们的含义；
（2）设未知数和写答案时，一定要写清楚单位，且单位要统；
（3）对于求得的不等式的解，不仅要看它是否为所列不等式的解，还要看它是否符合实际意义.
考点四、一元一次不等式组
一元一次不等式组
1.一元一次不等式组的概念：类似于方程组，把两个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.
2.基本特征：
（1）所含未知数相同；
（2）每个不等式都是一元一次不等式；
（3）不等式的个数必须不少于2个.
特别提醒：
判断一个不等式组是否为一元一次不等式组，要注意两方面：
①看有没有唯一相同的未知数；
②看每一个不等式是不是一元一次不等式；
（2）不等式组可以用“｛”连接，如”有的也可以用形如“1＜2x＋1＜5”的方式表示.
一元一次不等式组的解集及其确定
1.不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
2.一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分
3.一元一次不等式组的解集四种情况：
若，则有：
①的解集为，即“同大取大”；
②的解集为，即“同小取小”；
③的解集为，即“大小小大中间找”；
④的解集为空集，即“大大小小找不着”；
特别提醒：
数轴是确定一元一次不等式组解集的有效工具，要注意“两定”：
（1）定边界点：一般在数轴上只标出原点和边界点即可．定边界点时要注意点是实心圆点还是空心圆圈，若边界点含于解集则为实心圆点；若边界点不含于解集则为空心圆圈；
（2）定方向：定方向的原则是“小于向左，大于向右”.
一元一次不等式组的解法
1.求不等式组解集的过程叫做解不等式组.
2.解一元一次不等式组的步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）在数轴上把各个不等式的解集表示出来；
（3）在数轴上找出满足所有不等式的公共部分，就是不等式组的解集.
拓展：
求不等式组的整数解的步骤：
第1步：求出不等式组的解集；
第2步：在不等式组的解集范围内确定符合条件的整数解.
特别提醒：
若不等式组包含三个或三个以上的不等式，在确定不等式组的解集时，一般要将各不等式的解集在数轴上表示出来，通过找公共部分的方法确定不等式组的解集.第十章 数据的收集、整理与描述
本章思维导图
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本章考点复习：
考点一、统计调查
1.数据处理的基本过程：
数据处理一般包括：收集数据、整理数据、描述数据和分析数据等过程.
数据收集的常用方法：全面调查和抽样调查.
（1）设计调查问卷分以下三步：
①确定调查目的；②选择调查对象；③设计调查问题．
统计调查的一般过程：
①问卷调查法——收集数据；②列统计表——整理数据；③画统计图——描述数据．
数据的收集与整理
1.收集数据的方式：问卷调查、访谈、查阅资料、实地调查、试验、上网搜索等.
2.收集数据的一般步骤：
第1步：明确调查问题；
第2步：确定调查对象；
第3步：选择调查方式；
第4步：展开调查；
第5步：收集并整理数据；
第6步：分析数据，得出结论.
3.整理数据
通常用表格整理数据，并用划记法记录数据．
用划记法记录数据时，“正”字的每一划（笔画）代表一个数据.
特别提醒：
选择调查方式时，要根据具体问题选择合适的调查方式，同时也要考虑调查的可操作性.
考点一：数据的收集
1.普查：对调查对象的全体进行调查是普查；
2.抽样调查：对调查对象的部分进行调查是抽样调查；
注意：1.全面调查与抽样调查的优缺点：
全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．
（1）调查者能力有限，不能进行普查．如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．
（2）调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．
（3）有些被调查的对象无法进行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
抽样调查的可靠性
（1）抽样调查是实际中经常采用的调查方式．
（2）如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况．
（3）抽样调查除了具有花费少，省时的特点外，还适用一些不宜使用全面调查的情况（如具有破坏性的调查）．
（4）分层抽样获取的样本与直接进行简单的随机抽样相比一般能更好地反映总体．其特点是：通过划类分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本，该方法适用于总体情况复杂，各单位之间差异较大，单位较多的情况
2.一件事情的调查是作全面调查还是抽样调查，首先看这个事件的每个个体与总体关系是否重大，若因一个个体而直接影响总体情况，则应全面调查，得到详细情况。若全面调查很困难，花费时间、物力、人力很多，且每个个体对总体不直接构成影响，则可作抽样调查。
3.总体、个体、样本、样本容量：
总体：是所要考察对象的全体；
个体：是总体中每一个考察的对象；
样本：被抽取的那些个体组成一个样本.
样本容量：是样本中个体的数目（只是个数字，不带单位）.
注意：1.为了使样本能较好地反映总体的情况，除了要有合适的样本容量外，抽取时还要尽量使每一个个体都有同等的机会被抽到，具有广泛性和代表性.（每个样本被抽到的机会是均等的）
2.在用样本估计总体时，一般用“估计”“大约”这样的词语。
4.表示数据的两种基本方法
⑴统计表：利用表格处理数据，可以帮助我们找到数据的分布规律；
⑵统计图：利用统计图表示经过整理的数据，能更直观地反映数据规律．
注意：
①统计表可以将大量数据的分类结果清晰，一目了然地表达出来．
②统计调查所得的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格中，就形成“统计表”．统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格． 统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式．
在统计图的选择上要根据体现的内容而定：当体现各组的具体数目时选条形图；当体现发展趋势时选折线图；当体现各部分所占百分比时选扇形图。
1.描述数据的两种方法：
统计表和能计图.常用的统计图有条形統计图、扇形统计图、折线统计图.
2.条形统计图、折线统计图、扇形统计图的优缺点：
特别提醒：
三种统计图的选用：
（1）若需要清楚地表示出每一项的多少，则选用条形统计图；
若需要表示各部分占总体的百分比，则选用扇形统计图；
（3）若需要表示某一数据的变化趋势，则选用折线统计图.
扇形统计图的画法
制作扇形统计图的步骤：
第1步：算，把各部分的数值在总量中所占的百分比计算出来；
第2步：求，用各部分的百分比乘360°，求出各部分在扇形统计图中所对应的扇形圆心角的度数；
第3步：画，根据各部分扇形圆心角的度数，在圆中画出各个扇形；
第4步：标，在每个扇形中标明相应的名称和百分比.
特别提醒：
各部分之间不能重叠，且各部分所占的百分比之和为100％，否则不能用扇形统计图表示.
全面调查与抽样调查
1.全面调查：考察全体对象的调查称为全面调查.
2. 抽样调查：从全体对象中抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体
对象的情况.我们把这种调查方法称为抽样调查
3.全面调查与样调查的区别
名称 范围 工作繁简程度 结果准确程度
全面调查 调查对象是全体，对象，调查范围广 工作量大，调查过程费时、费力 能全面了解数据，调查结果
准确
抽样调查 调查对象是全体对象的一部分，调查范围小 工作量小，方式灵活，调查过程省时、省力 调査结果只能反映局部情况，往往不如全面调查结果
准确.
注意：
“全国人口普查”虽然人数众多，不易操作，但调查结果是政府制定国计民生的主要依据，要求结果非常准确，必须选用全面调查.
特别提醒：
对于调查对象个数较少或精确度要求高（事关重大）的调查往往选用全面调查
（2）抽样调查时，抽取的样本应该是随机选取的，这样才具有代表性.
总体、个体、样本和样本容量
1.总体与个体：
总体：要考察的全体对象．
个体：组成总体的每一个考察对象
2.样本与样本容量
样本：由从总体中被抽取调查的那部分个体组成.
样本容量：样本中个体的数目.
特别提醒：
总体包括所有个体，样本只包括一部分个体，样本是总体的部分，总体可以有多个样本.
（2）样本容量的大小要根据实际情况来确定．样本容量越大，样本的特征越接近总体的特征，注意样本容量是个数，不能带单位.
简单随机抽样
在抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法称为简单随机抽样.
特别提醒：
简单随机抽样的要求：
（1）样本在总体中具有代表性，不偏向于总体中的某些个体；
（2）选取合适的样本容量.
拓展：
简单随机抽样的方法：
当总体中的个体数不多时，编码后采用抽签的方法来抽取样本；
当总体中的个体数较多时，对个体进行分类后按比例抽取样本.
考点二、直方图
频数分布表及相关概念
1.组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距.
2.组数：分成组的个数.
3.频数：对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数．能反映每个对象出现的频繁程度.
4.频数分布表：把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来，所得的表格就是频数分布表.
注意：
（1）频数分布表是一种能清楚、确切地反映一组数据的大小分布情况的统计表，主要有分组、划记、频数等内容.
（2）各个小组的频数之和等于数据总个数.
特别提醒：
对数据分组时，可以先确定组距，再根据组距确定组数；也可以先确定组数，再根据组数确定组距.
（2）组距和组数的确定应以是否能够较好地反映数据的分布特征和规律为标准将一组数据分组，一般数据越多，分的组数也越多．当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5～12组.
拓展：
根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同，但一般情况下每个小组的组距是相等的.
频数分布直方图
1.为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据频数分布表画出频数分布直方图，其步骤如下：
第1步：计算最大值与最小值的差，确定数据的范围；
第2步：决定组距与组数，当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5～12组；
第3步：列频数分布表；
第4步：画频数分布直方图．
特别提醒：
对离散数据，用条形图描述频数分布；而对连续数据，用直方图描述频数分布.
2.频数分布直方图由横轴、纵轴、小长方形三部分构成．
横轴表示分组情况，纵轴表示频数与组距的比值.
因此，小长方形面积=组距×=频数.
等距分组时，各小长方形的面积（频数）与高的比是常数（组距），因此画等距分组的频数分布直方图时，通常直接用小长方形的高表示频数.
特别提醒：
频数分布直方图易于显示各组的频数分布情况和各组的频数的差别，因此，当需要显示一组数据的分布情况时，一般选择直方图.
3.频数分布直方图的具体画法：
（1）作两条互相垂直的轴：横轴和纵轴．
（2）在横轴上划分一些相互衔接的线段，每条线段表示一组，在每条线段的两个端点处标明其上、下限.
（3）以横轴上的每条线段为底作一小长方形立于横轴之上．当等距分组时，通常直接用小长方形的高表示频数.
注意：
频数分布直方图与条形图的区别：频数分布直方图中的各长方形之间是连续的、没有空隙的；而条形图中长方形之间有空隙，且彼此之间没有联系．直方图是特殊的条形图．它们的共同特点是都易于比较和显示数据之间的差别.
特别提醒
绘制频数分布直方图的难点是决定组距.这不仅与数据的多少有关，还与数据本身的特点有关．分组的目的主要是为了观察分析数据分布的特征，因此组数的多少应当适中．若组数太多，則数据的分布就会过于分散；若组数太少，则数据的分布就会过
于集中，这都不便于观察数据分布的特征和规律.
