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第24章 圆
1．（2021 南关区校级二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证DE是⊙O的切线；
（2）若BF＝1，BD＝，则菱形ABCD的面积为 5 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）证明△DAF≌△DCE，可得∠DFA＝∠DEC，证出∠ADE＝∠DEC＝90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切线．21世纪教育网版权所有
（2）连接AH，在Rt△BDF利用勾股定理求解DF的长，再根据Rt△ADF中，利用勾股定理求解AB的长，再利用菱形的面积公式可求解．
完整解答：（1）证明：连接DF，
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∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB BF＝BC BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
在Rt△BDF中，BF＝1，BD＝，
∴DF2＝BD2 BF2＝5﹣1＝4，
∴DF＝2，
在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF2，
∴AB2＝22+（AB﹣1）2，
解得AB＝，
∴S菱形ABCD＝AB DF＝×2＝5．
2．（2021 章丘区二模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，AB＝AC．若O为AB的中点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
①试说明：BD＝CD；
②判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
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思路引导：①根据题意和等腰三角形的性质，可以说明BD＝CD，本题得以解决；
②先判断直线DE与⊙O的位置关系，然后根据题意和图形可以说明猜想的结论是否正确．
完整解答：解：①连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD；
②直线DE与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵AB＝AC，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切．
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3．（2021 保康县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD且交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．21教育网
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB＝4，AE＝2，求⊙O的半径．
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思路引导：（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线；
（2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长．
完整解答：（1）证明：如图，连接OA，
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∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA，
∴∠OAD＝∠EDA，
∴OA∥DE，
∵∠AED＝90°，
∴∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠AED＝90°，
∵∠BDA＝∠EDA，
∴△BDA∽△EDA，
∴＝，
∵AB＝4，AE＝2，
∴BD＝2AD，
∴BD2＝AD2+AB2，
∴BD2＝BD2+42，
解得BD＝．
∴⊙O的半径为．
4．（2021 镇雄县一模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．
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思路引导：（1）如图，连接OF，根据直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OFC，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，即可求解；www.21-cn-jy.com
（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝＝4，根据圆周角定理得出∠DFC＝90°，根据三角形函数的定义即可得出结论．【来源：21·世纪·教育·网】
完整解答：（1）证明：如图，连接OF，
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∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠OCF，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴∠OFC＝∠DBC，
∴OF∥DB，
∴∠OFG+∠DGF＝180°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∵OF为半径，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接DF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CD＝2.5，
∴AB＝2CD＝5，
∴BC＝＝4，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵DB＝DC，
∴BF＝BC＝2，
∵sin∠ABC＝，即，
∴FG＝．
5．（2021 诸城市三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于点D，AB交OC于点E．2-1-c-n-j-y
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE＝10，BE＝6，求图中阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）连接OA，利用已知条件OC∥AD求证∠OAD＝90°，即可求解；
（2）根据已知条件可求证△AEC∽△ACB，利用相似三角形的线段比可求出半径，即可求解．
完整解答：（1）证明：连接OA，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD//OC，
∴∠AOC+∠OAD＝180°，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2×45°＝90°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）∵AO＝CO且∠AOC＝90°，
∴∠ACO＝∠CAO＝45°，
即∠B＝∠ACE，
∵∠CAE＝∠BAC，
∴△AEC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AE AB＝10×（10+6）＝160，
∴AC＝4，
∴AO＝CO＝4，
∴．
6．（2021 南阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E是BC的中点．以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接DE．21*cnjy*com
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）连接OD，BD，根据圆的性质可知∠BDC＝90°，又因为点E是BC的中点，DE＝BE＝BC，∠EBD＝∠EDB，因为OB＝OD，∠OBD＝∠ODB，根据角度等量代换可知∠ODE＝90°，即可求解；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）连接OE，由图形可知：S阴影＝S四边形OBED﹣S扇形OBD，通过圆的性质可以分别求出四边形OBED和扇形OBD的面积，即可求解．【出处：21教育名师】
完整解答：（1）证明：如图，连接OD，BD，
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∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝BE＝BC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB，
∵∠ABC＝∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠ODE＝∠EDB+∠ODB＝∠EBD+∠OBD＝90°，
∴OD⊥DE，OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵O是AB的中点，
∴OB＝AB＝2，
在Rt△ABC中，BC＝AB tanA＝4，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC＝2，S△OBE＝×OB BE＝2，
由（1）知，∠ODE＝∠OBE＝90°，
∵OB＝OD，OE＝OE，
∴Rt△OBE≌Rt△ODE（HL），
∴S△ODE＝S△OBE＝2，
∴S四边形OBED＝4，
∵∠A＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴S扇形OBD＝＝，
∴S阴影＝S四边形OBED﹣S扇形OBD＝4﹣．
7．（2021 周村区一模）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，线段AB是圆O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交圆O于点D，点P是圆O上的一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．21教育名师原创作品
（1）求证：CD是圆O的切线；
（2）求的值．
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思路引导：（1）连接OD，D ( http: / / www.21cnjy.com )B，由已知可知DE垂直平分OB，BC＝OB，OB＝OD，由对应线段比例关系以及夹角相等，可求证△EOD∽△DOC，可得∠CDO＝∠DEO＝90°，即可求解；
（2）连接OP，由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE，由对应线段比例关系以及夹角相等，可求证△OEP∽△OPC，即可求解．
完整解答：（1）证明：如图，连接OD，DB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，
∴DE垂直平分OB，
∴OB＝DO，OE＝BE，
∵BC＝OB，OB＝OD，
∴，
∵∠DOE＝∠COD，
∴△EOD∽△DOC，
∴∠CDO＝∠DEO＝90°，
∴CD是圆O的切线；
（2）解：如图，连接OP，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE，
∴，
∵∠COP＝∠POE，
∴△OEP∽△OPC，
∴，
8．（2021秋 雨花区校级月考）如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．
（1）若∠B＝40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD＝DE；
（3）若AD＝4，求CE的长度．
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思路引导：（1）由平行线的性质可得∠AOD＝∠B＝40°，再利用等腰三角形的性质可得；
（2）根据三角形的内角和定理和圆内接四边形的性质可得∠C＝∠DEC，从而证明结论；
（3）设CE＝x，则BE＝12﹣x，根据勾股定理可得AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，代入即可得出方程，从而解决问题．
完整解答：（1）解：∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A，
∴∠A＝；
（2）证明：∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B，∠DEC＝∠A，
∴∠CDE＝∠AOD，
∵∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠DEC，
∠ADO＝180°﹣∠A﹣∠AOD，
∴∠C＝∠ADO＝∠A，
∴∠C＝∠DEC，
∴CD＝DE；
（3）解：连接OE，AE，由（2）得AB＝BC＝12，
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∴∠AOE＝2∠B，∠B＝∠AOD，
∴∠AOE＝2∠AOD，
∴∠AOD＝∠DOE，
∴AD＝DE，
∴AC＝2AD＝8，
∵AB是直径：∠AEB＝90°，
设CE＝x，则BE＝12﹣x，
∵AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，
∴82﹣x2＝122﹣（12﹣x）2，
解得：，
∴CE＝．
9．（2021 宜都市一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E，交⊙O于另一点F．
（1）求证：∠DBE＝∠BCD．
（2）若BC＝4，BE＝4，求AB的长．
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思路引导：（1）连接CF， ( http: / / www.21cnjy.com )由题意可知∠BCF＝∠ADC＝90°，利用圆周角定理可得∠BAC＝∠BFC，根据内角和为180°可得∠ACD＝∠FBC，因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，通过等量代换即可求解；
（2）根据角的互余可得∠FEC＝∠FCE，从而可得FE＝FC，设FC＝x，则BF＝4+x，根据勾股定理即可求解．
完整解答：（1）证明：如图，连接CF，
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∵BF为直径，
∴∠BCF＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝∠BFC，
∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠BAC，
∠FBC＝180°﹣∠BCF﹣∠BFC，
∴∠ACD＝∠FBC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DBE＝∠BCD；
（2）解：∠DBE+∠DEB＝90°，∠DEB＝∠FEC，
∴∠DBE+∠FEC＝90°，
∵∠BCD+∠FCE＝90°，∠DBE＝∠BCD，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴FE＝FC，
设FC＝x，则BF＝4+x，
在Rt△BCF中，BC2+FC2＝BF2，即（4）2+x2＝（4+x）2，
解得x＝2，
∴BF＝6，
如图，过点A作AG⊥BC于G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB＝AC，
∴BG＝CG＝2，
∴点A、O、G在同一直线上，
∴OG＝FC＝1，
∴AG＝AO+OG＝4，
在Rt△ABG中，AB2＝AG2+BG2＝24，
∴AB＝2．
10．（2021 福建模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB于点F，直线CF与直线BD于点G．
（1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；
（2）连接AG，若AG＝BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠ABC的度数．
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思路引导：（1）根据垂直的定义得 ( http: / / www.21cnjy.com )到∠ABD＝∠ACF，根据圆周角定理得到∠ABD＝∠ACD，根据全等三角形的性质得到DE＝GE，于是得到结论；
（2）延长CB交AG于点H，连接O ( http: / / www.21cnjy.com )A，OB，OC，EF，根据圆周角定理得到∠GAF＝∠GEF＝∠BCF，求得∠AHB＝∠BFC＝90°，根据全等三角形的性质得到AF＝CF，推出△AFC为等腰直角三角形，得到∠BAC＝45°，根据切线的性质得到OA⊥AG，根据平行线的性质得到∠AOB＝∠OBC＝45°，于是得到答案．
完整解答：解：（1）证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ABD＝∠ACF，
又∵＝，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACG＝∠ACD，
又∵∠GEC＝∠DEC＝90°，CE＝CE，
∴△CEG≌△CED（ASA），
∴DE＝GE，
又CE⊥GD，
∴点G和D关于直线AC成轴对称；
（2）延长CB交AG于点H，连接OA，OB，OC，EF，
如图，∵BE⊥AC，AF⊥CG，
∴A、G、F、E四点共圆，B、F、C、E四点共圆，
∴∠GAF＝∠GEF＝∠BCF，
∴∠AHB＝∠BFC＝90°，
又∵∠AFG＝∠CFB＝90°，AG＝CB，
∴△AGF≌△CBF（AAS），
∴AF＝CF，
∴△AFC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
又OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∵AG与⊙O相切，
∴OA⊥AG，
∴BC∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC＝45°，
∴，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝112.5°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．（2021 淅川县一模）如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．
（1）求证：△CDE≌△ABC；
（2）若AC为⊙O的直径，填空：
①当∠E＝ 60° 时，四边形OCFD为菱形；
②当∠E＝ 45° 时，四边形ABCD为正方形．
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思路引导：（1）先判断出∠BAC＝∠DCE，进而得出∠CDE＝∠ABC，即可得出结论；
（2）①先判断出点D是AE的中点，再利用DF∥AC，点F是CE的中点，即可得出AC＝AE，即可得出结论；21*cnjy*com
②先判断出AD＝CD，∠ADC＝90°，进而 ( http: / / www.21cnjy.com )得出∠ACD＝45°，再判断出∠DCE＝∠ACD＝45°，即可得出∠ACE＝90°，即可得出结论．
完整解答：证明：（1）∵，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角，
∴∠CDE＝∠ABC，
在△CDE和△ABC中，，
∴△CDE≌△ABC（AAS）；
（2）如图，①连接AF，
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∵AC是直径，
∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，
∵四边形OCFD是菱形，
∴DF∥AC，OD∥CE，
∵OA＝OC，
∴AD＝DE（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），
∵DF∥AC，
∴CF＝EF（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），
∵∠AFC＝90°，
∴AC＝AE（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），
∵AC＝CE，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠E＝60°；
故答案为：60°；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∵AC＝CE，CD⊥AE，
∴∠DCE＝∠ACD＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∵AC＝CE，
∴△ACE是等腰直角三角形．
∴∠E＝45°．
故答案为：45°．
12．（2021 枣阳市模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝，求劣弧BC的长．
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思路引导：（1）由题意连接OC，依据垂直平分线的性质得出∠EBC＝∠ECB，进而利用切线得出∠OBE＝90°，OB⊥BE，即可求解；21cnjy.com
（2）设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣DF＝R﹣2，OB＝R，进而利用OD2+BD2＝OB2，得到R，最后根据三角函数求出∠BOC，从而运用劣弧BC＝得出答案．
完整解答：（1）证明：连接OC，如图，
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∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴OE为BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC+∠EBC＝∠OCB+∠ECB，即∠OBE＝∠OCE，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∴∠OBE＝90°，
∴OB⊥BE，
∵OB是半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣DF＝R﹣2，OB＝R，
在Rt△OBD中，BD＝BC＝，
∵OD2+BD2＝OB2，
∴，
解得R＝4，
∴OD＝2，OB＝4，
∴cos∠BOD＝，
∴∠BOD＝60°，
又OD⊥BC，OB＝OC，得∠BOC＝120°，
∴劣弧BC＝．
13．（2021 思明区校级模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D边AC上，∠DBC＝∠BAC，⊙O经过A、B、D三点，连接DO并延长交AB于点E，交⊙O于点F．21·cn·jy·com
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，EF＝14，求CD的长度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）连接OB、BF，综合圆周角的 ( http: / / www.21cnjy.com )基本性质以及题意推出∠DBC＝∠OBF，从而结合直径所对的圆周角证明∠OBC＝90°，即可得出结论；
（2）连接AF，延长BO交AF于点H点， ( http: / / www.21cnjy.com )推出四边形ACBH为矩形，先求出半径，然后根据题意推出△ADE∽△BOE，从而结合相似三角形的性质求出AD，然后结合垂径定理求出OH，得出AC的长度，从而得出结论．
完整解答：（1）证明：如图，连接OB、BF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠OBF＝OFB，
根据圆周角的性质，∠BFO＝∠BAC，
∵∠DBC＝∠BAC，
∴∠DBC＝∠BFO，
∴∠DBC＝∠OBF，
∵DF为⊙O的直径，
∴∠DBF＝∠DBO+∠OBF＝90°，
∴∠DBO+∠DBC＝90°，即∠OBC＝90°，且OB为半径，
∴CB是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AF，延长BO交AF与H点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵DF为直径，
∴∠DAF＝90°，且∠C＝∠OBC＝90°，
∴四边形ACBH为矩形，
∴∠OHA＝90°，
根据垂径定理：AF＝2AH，
∵DE＝6，EF14，
∴DF＝20，DO＝BO＝10，EO＝DO﹣DE＝4，
∵HB∥AC，
∴△ADE∽△BOE，
∴，可得AD＝15，
在Rt△ADF中，AF＝＝5，
∴AH＝HF＝AF＝，
在Rt△OHF中，OH＝＝，
∴HB＝AC＝OH+BO＝，
∴CD＝AC﹣AD＝﹣15＝，
即CD的长度为．
14．（2021秋 诸暨市月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；
（2）线段EA，CF，EF之 ( http: / / www.21cnjy.com )间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，先证明α+β＝45°，再过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，判定△AEB≌△CNB（SAS）、△BFE≌△BFN（SAS），然后在Rt△NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2＝NF2，将相关线段代入即可得出结论；
完整解答：解：（1）如图1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：
如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；
15．（2021 贵池区模拟）已知：在⊙O中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为点C，D为弧AC上一点，连接BD、BC、DC．
（1）如图1，求证：∠D＝∠PCB；
（2）如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC＝5，求⊙O的半径．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）利用切线的性质和圆周角定理即可证明；
（2）利用平行四边形的性质，三角形内角和定理，结合（1）的结论，证明△OBC是等边三角形，即可求出⊙O的半径．2·1·c·n·j·y
完整解答：（1）证明：如图1，连接AC，OC，
∵AB为直径，PC为⊙O的切线，
∴∠ACB＝∠OCP＝90°，
∴∠ACO＝∠PCB，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∵∠A＝∠D，
∴∠D＝∠PCB；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）解：如图2，连接AC，OC，
∵四边形CDBP为平行四边形，
∴∠D＝∠CPB，
由（1）得，∠ACB＝∠OCP＝90°，∠D＝∠A＝∠CPB，
∴∠D＝∠A＝∠CPB＝∠PCB，
在△ACP中，∠A+∠ACB+∠BCP+∠CPB＝180°，
∴∠A+∠BCP+∠CPB＝90°，
∴∠A＝∠CPB＝∠PCB＝30°，
∴∠OBC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝5，
故⊙O的半径为5．
16．（2021 奎屯市一模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．【版权所有：21教育】
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OE，再证∠FEO＝90°即可；
（2）先证明△FEA∽△FBE， ( http: / / www.21cnjy.com )根据相似三角形对应边成比例求出AF＝5，BF＝20，BE＝2AE．再根据圆周角定理得出∠AEB＝90°，利用勾股定理列方程，即可求出AE的长．
完整解答：（1）证明：连接OE，
∵∠B的平分线BE交AC于D，
∴∠CBE＝∠ABE．
∵EF∥AC，
∴∠CAE＝∠FEA．
∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE，
∴∠FEA＝∠OEB．
∵∠AEB＝90°，
∴∠FEO＝90°．
∴EF是⊙O切线．
（2）解：在△FEA与△FBE中，
∵∠F＝∠F，∠FEA＝∠FBE，
∴△FEA∽△FBE，
∴＝＝，
∴AF BF＝EF EF，
∴AF×（AF+15）＝10×10，
解得AF＝5．
∴BF＝20．
∴＝，
∴BE＝2AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE2+BE2＝152，
∴AE2+（2AE）2＝225，
∴AE＝3．
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17．（2021 商河县二模）如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．www-2-1-cnjy-com
（1）求证：EF⊥AC．
（2）连接DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）连接OE，如图，先证明OE∥AC，再利用切线的性质得OE⊥EF，从而得到EF⊥AC；
（2）连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，利用圆周角定理得到∠BED＝90°，则DE＝BD＝r，BE＝r，再证明∠EDF＝90°，∠DFE＝60°，接着用r表示出DF＝r，EF＝r，CE＝r，
从而得到r+r＝2，然后解方程即可．
完整解答：（1）证明：连接OE，如图，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC，
∵EF为切线，
∴OE⊥EF，
∴EF⊥AC；
（2）解：连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，
∵BD为直径，
∴∠BED＝90°，
在Rt△BDE中，∵∠B＝30°，
∴DE＝BD＝r，BE＝r，
∵DF∥BC，
∴∠EDF＝∠BED＝90°，
∵∠C＝∠B＝30°，
∴∠CEF＝60°，
∴∠DFE＝∠CEF＝60°，
在Rt△DEF中，DF＝r，
∴EF＝2DF＝r，
在Rt△CEF中，CE＝2EF＝r，
而BC＝2，
∴r+r＝2，解得r＝，
即⊙O的半径长为．
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18．（2021 鼓楼区校级模拟）已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．
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思路引导：（1）根据切线的性质、垂径定理证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．
完整解答：（1）证明：∵l与⊙O相切于点P，
∴PD⊥l，
∵l∥BC，
∴PD垂直平分弦BC，
∴，
∴∠BAD＝∠DAC，
即AD平分∠BAC；
（2）∠BAD＝∠BCD，且∠BAD＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠BCD，
在△ADC和△CDE中
∠DAC＝∠BCD，∠ADC＝∠EDC，
∴△ADC∽△CDE，
∴，
即，
得DC＝4．
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19．（2020秋 高州市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．21·世纪*教育网
（1）若BE＝8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．
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思路引导：（1）根据题意和图形，利用勾股定理、垂径定理可以解答本题；
（2）根据三角形全等、勾股定理可以求得线段OE的长．
完整解答：解：（1）设⊙O的半径长为r，
则OD＝r，OE＝r﹣8，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，
∴DE＝12，
∴OD2＝OE2+DE2，
即r2＝（r﹣8）2+122，
解得，r＝13，
即⊙O的半径是13；
（2）连接BC，
∵∠DMB＝∠D，∠DMB＝∠DCB，
∴∠D＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，
∴CE＝DE＝12，∠CEB＝∠DEO，
∴△CEB≌△DEO（ASA），
∴OE＝BE＝0.5OB，
设⊙O的半径长为r，
则r2＝122+（0.5r）2，
解得，r＝或r＝﹣8（舍去），
∴OE＝4．
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20．（2021 南关区 ( http: / / www.21cnjy.com )校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．
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思路引导：（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；
（2）根据勾股定理计算即可．
完整解答：解：（1）相切，理由如下：
连接AD，OD， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴CD＝BD＝BC．
∵OA＝OB，
∴OD∥AC．
∴∠ODE＝∠CED．
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝∠CED＝90°．
∴OD⊥DE．
∴DE与⊙O相切．
（2）由（1）知∠ADC＝90°，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理 得
AD＝＝4．
∵SACD＝AD CD＝AC DE，
∴×4×3＝×5DE．
∴DE＝．
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第24章 圆
1．（2021 南关区校级二模） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证DE是⊙O的切线；
（2）若BF＝1，BD＝，则菱形ABCD的面积为 ．
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2．（2021 章丘区二模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，AB＝AC．若O为AB的中点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
①试说明：BD＝CD；
②判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
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3．（2021 保康县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD且交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．21世纪教育网版权所有
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB＝4，AE＝2，求⊙O的半径．
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4．（2021 镇雄县一模）如图，在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．
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5．（2021 诸城市三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于点D，AB交OC于点E．21教育网
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE＝10，BE＝6，求图中阴影部分的面积．
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6．（2021 南阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E是BC的中点．以AB为直径的⊙O交AC于点D，连接DE．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．
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7．（2021 周村区一模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )线段AB是圆O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交圆O于点D，点P是圆O上的一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．21cnjy.com
（1）求证：CD是圆O的切线；
（2）求的值．
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8．（2021秋 雨花区校级月考）如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．21·cn·jy·com
（1）若∠B＝40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD＝DE；
（3）若AD＝4，求CE的长度．
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9．（2021 宜都市一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E，交⊙O于另一点F．2·1·c·n·j·y
（1）求证：∠DBE＝∠BCD．
（2）若BC＝4，BE＝4，求AB的长．
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10．（2021 福建模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB于点F，直线CF与直线BD于点G．www-2-1-cnjy-com
（1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；
（2）连接AG，若AG＝BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠ABC的度数．
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11．（2021 淅川县一模）如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．
（1）求证：△CDE≌△ABC；
（2）若AC为⊙O的直径，填空：
①当∠E＝ 时，四边形OCFD为菱形；
②当∠E＝ 时，四边形ABCD为正方形．
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12．（2021 枣阳市模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝，求劣弧BC的长．
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13．（2021 思明区校级模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D边AC上，∠DBC＝∠BAC，⊙O经过A、B、D三点，连接DO并延长交AB于点E，交⊙O于点F．2-1-c-n-j-y
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，EF＝14，求CD的长度．
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14．（2021秋 诸暨市月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．
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15．（2021 贵池区模拟）已知：在⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为点C，D为弧AC上一点，连接BD、BC、DC．
（1）如图1，求证：∠D＝∠PCB；
（2）如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC＝5，求⊙O的半径．
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16．（2021 奎屯市 ( http: / / www.21cnjy.com )一模）如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．www.21-cn-jy.com
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
17．（2021 商河县二模）如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．21·世纪*教育网
（1）求证：EF⊥AC．
（2）连接DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．（2021 鼓楼区校级模拟）已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
19．（2020秋 高州市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．21*cnjy*com
（1）若BE＝8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
20．（2021 南关区校级模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．
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