中小学教育资源及组卷应用平台
第24章 圆
1．（2021 东胜区二模）如图，△ABD内接于⊙O，∠ADB＝90°，∠ADB的角平分线DC交⊙O于C．若BD＝8，BC＝，则AD的长为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
2．（2021 温州校级模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为1cm．目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案；21cnjy.com
（1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是 cm．www.21-cn-jy.com
（2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接 ( http: / / www.21cnjy.com )无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为 cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
3．（2021 射阳县二模）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )AB是⊙O的弦，C是⊙O上的点，且∠ACB＝45°，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为 ．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
4．（2021 焦作模拟）如图，在边长为4的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆，若阴影部分的面积分别为S1，S2，则S2﹣S1＝ ．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
5．（2021 泰山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的 O经过点D．若∠C＝30°，且CD＝3，则阴影部分的面积是 ．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
6．（2021 洛江区模拟）如图，正方形ABCD的边长为2a，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2a为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，a为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
7．（2021 陕西模拟）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 ．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
8．（2021秋 海淀区校级月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O中长度为定值的弦，AB＜CD．作AE⊥CD于E，连接AC，BC，BE．下列四个结论中：①O到AB的距离为定值；②BE＝BC；③当OE＝AE时，∠ABC＝67.5°或22.5°；④∠BAE+2∠ACD为定值．正确的是 ．（填所有正确的序号）
( http: / / www.21cnjy.com / )
9．（2021 濠江区一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与BC相切于点B，CO的延长线交⊙O于点E，连接AE，若AB＝2，则图中阴影的面积为 ．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
10．（2021 宁波模拟）如图，△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，P是线段DE上的动点，以点P为圆心，PD长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．（2020秋 南宁期末）如图，在半径为R的圆上，挖去四个半径为r的小圆，且R和r为正整数，阴影部分面积为12π，若x+＝Rr，则（x﹣）2＝ ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
12．（2021 方城县模拟）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．（2020秋 渝北区期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的动点，且AE＝DF，连接BE，AF，线段BE和AF相交于点G，连接CG，取CG的中点H，连接DH，则线段DH的最小值为 ．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．（2021 武汉模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD，DC上两点E，F，且EF是⊙O的切线，当△BEF的面积为时，则⊙O的半径r是 ．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
15．（2021 深圳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．（2021 临海市一模）如图，⊙O是 ( http: / / www.21cnjy.com )锐角三角形ABC的外接圆，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，点D是△ABC高线的交点，连接AD，BD，CD，则∠ADB的度数为 ，CD的长为 ．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
17．（2021 青岛二模）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上动点，若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为 ．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．（2021 无为市三模）已知四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD内接于⊙O，OA＝5，AB＝BC，E为CD上一点，且BE＝BC，∠ABE＝90°，则AD的长为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
19．（2021春 鼓楼区校级期中）已知，如图：正方形ABCD与等边三角形ADE的边长均为，P为正方形ABCD内一动点且满足∠APD＝120°，连接PB，PE，则PE+PB﹣PA的最小值为 ．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
20．（2021 惠城区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝2，以点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点E；再以点B为圆心，以AB为半径画弧，交BC于点F，交前弧于点G．则图中两个阴影部分的面积之差的绝对值是 ．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第24章 圆
1．（2021 东胜区二模）如图，△ABD内接于⊙O，∠ADB＝90°，∠ADB的角平分线DC交⊙O于C．若BD＝8，BC＝，则AD的长为 6 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：连接AC，根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，求得∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠ADC＝∠BDC，得到AC＝BC＝5，求得AB＝AC＝10，根据勾股定理即可得到答案．21cnjy.com
完整解答：解：连接AC，
∵∠ADB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴＝，
∴AC＝BC＝5，
∴AB＝AC＝10，
∵BD＝8，
∴AD＝＝6，
故答案为：6．
( http: / / www.21cnjy.com / )
2．（2021 温州校级模拟）某厂家要设计 ( http: / / www.21cnjy.com )一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为1cm．目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案；2·1·c·n·j·y
（1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是 12 cm．
（2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为 cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）利用圆面积，等边三角形的面积，即可判断．
（2）设计方案如图所示，利用勾股定理求出半径即可．
完整解答：解：（1）如图1中，圆的半径为3，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴底面积为9π（cm2）．
如图2中，连接OA，OD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OD＝2cm，∠OAD＝30°，∠ADO＝90°，
∴OA＝2OD＝4cm，
∴AD＝＝2（cm），
∴等边三角形的边长AC＝4（cm），
∴底面积＝×（4）2＝12（cm2）＜9π（cm2），
∴等边三角形作为底面时，面积比较小，底面积为12cm2
如图3中，设计方案如图3所示，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在Rt△OET中，ET＝1cm，OE＝2cm，
∴OT＝＝＝（cm），
∴底面半径的最小值为cm．
故答案为：．
3．（2021 射阳县二模）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的点，且∠ACB＝45°，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：连接OB，由圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB＝90°，再由垂径定理得出∠AOE＝∠AOB＝45°、AB＝2AE，在Rt△AOE中，由AE＝AOsin∠AOE求解可得答案．【来源：21cnj*y.co*m】
完整解答：解：如图，连接OB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE＝∠AOB＝45°，
∵AO＝4，
∴AE＝AOsin∠AOE＝，
∴AB＝2AE＝，
故答案为：．
4．（2021 焦作模拟）如图，在边长为4的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆，若阴影部分的面积分别为S1，S2，则S2﹣S1＝ 6π﹣16 ．21教育名师原创作品
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：根据图形得到S2﹣S1＝扇形ADB的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积，根据扇形面积公式计算即可．
完整解答：解：由图形可知，扇形ADB的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积﹣正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，
∴S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积
＝+×π×22﹣42
＝4π+2π﹣16
＝6π﹣16，
故答案为：6π﹣16．
5．（2021 泰山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的 O经过点D．若∠C＝30°，且CD＝3，则阴影部分的面积是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解．
完整解答：解：连接OD，连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，
∴∠DAO＝∠ODA，
则∠DAB＝∠ODA，
∴DO∥AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∵∠C＝30°，CD＝3，
∴OD＝CD tan30°＝3×＝3，
∵∠DAB＝∠DAE＝30°，
∴＝，
∵∠DOE＝60°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠FOA＝60°，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，
∴DF∥AC，
∴S阴影＝S扇形DFO＝＝．
故答案为：．
6．（2021 洛江区模拟）如图，正方形ABCD的边长为2a，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2a为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，a为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为 πa2﹣2a2 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：连接BD，根据在同圆或等圆中，相等 ( http: / / www.21cnjy.com )的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．
完整解答：解：连接BD，EF，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵正方形ABCD的边长为2a，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD＝FO＝EO＝EB＝a，
∴＝，OB＝OD．
∴弓形OB＝弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD＝﹣×2a×2a＝πa2﹣2a2．
故答案为：πa2﹣2a2．
7．（2021 陕西模拟）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 1 ．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：连接OA、OC、OD，证△OC ( http: / / www.21cnjy.com )D是等边三角形，得OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，再证∠OCG＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
完整解答：解：连接OA、OC、OD，如图所示：
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD＝＝60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OG＝OC＝1，
即点O到AC的距离OG的长为1，
故答案为：1．
( http: / / www.21cnjy.com / )
8．（2021秋 海淀区校级月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O中长度为定值的弦，AB＜CD．作AE⊥CD于E，连接AC，BC，BE．下列四个结论中：①O到AB的距离为定值；②BE＝BC；③当OE＝AE时，∠ABC＝67.5°或22.5°；④∠BAE+2∠ACD为定值．正确的是 ①③④ ．（填所有正确的序号）
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：①正确，利用勾股定理解决问题即可．
②错误，寻找特殊位置说明即可．
③正确，分两种情形求解即可．
④正确．证明∠BAE+2∠ACD＝90°﹣∠OAB，可得结论．
完整解答：解：如图1中，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∴OH＝，
∵OB，BH是定值，
∴OH是定值，故①正确，
当＝时，CD⊥AB，此时A，E，B关系，BC＞BE，故②错误，
如图2中，连接AO，AD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
当AE＝OE时，∵AE⊥OE，
∴∠AOE＝∠OAE＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠D＝67.5°，
∴∠ABC＝∠D＝67.5°，
如图3中，当AE＝OE时，连接OA，AD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AE⊥OE，
∴∠AOE＝∠OAE＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠D＝22.5°，
∴∠ABC＝∠D＝22.5°，
综上所述，∠ABC＝67.5°或22.5°，故③正确，
如图4中，连接AO．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠AOE＝∠OAC+∠OCA＝2∠ACD，
∵AE⊥EC，
∴∠AEO＝90°，
∴∠BAE+∠OAB+∠AOE＝90°，
∴∠BAE+2∠ACD＝90°﹣∠OAB，
∵∠OAB是定值，
∴∠BAE+2∠ACD是定值，故④正确，
故答案为：①③④．
9．（2021 濠江区一模）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与BC相切于点B，CO的延长线交⊙O于点E，连接AE，若AB＝2，则图中阴影的面积为 π ．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：连接OB，根据切线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质得到∠OBC＝90°，根据平行四边形的性质得到OA∥BC，CO∥AB，于是得到∠AOB＝∠OBC＝90°，S△AOB＝S△AEB，由扇形的面积公式即可得到结论．
完整解答：解：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，CO∥AB，
∴∠AOB＝∠OBC＝90°，S△AOB＝S△AEB，
∴图中阴影的面积＝S扇形AOB＝＝，
故答案为：π．
( http: / / www.21cnjy.com / )
10．（2021 宁波模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，P是线段DE上的动点，以点P为圆心，PD长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为 或 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：分两种情况分别求解，①当⊙P与A ( http: / / www.21cnjy.com )C相切于点F时，如图，连接PF，则PF⊥AC，②当⊙P与AB相切于点F，如图，BF⊥AB，根据相似分别求出半径即可．21·世纪*教育网
完整解答：解：①当⊙P与AC相切于点F时，如图，连接PF，则PF⊥AC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设DP＝PF＝x，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，
∴△DCE≌△ACB，
∴DE＝AB＝5，PE＝DE﹣DP＝5﹣x，CE＝CB＝3，DC＝AC＝4，
∵∠ACB＝90°，PF⊥AC，
∴PF∥DC，
∴△EPF∽△EDC，
∴，即，解得x＝，
即半径为；
②当⊙P与AB相切于点F，如图，BF⊥AB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠A＝∠BDF，∠ABC＝∠DBF，
∴△ABC∽△DBF，
∴，即，解得DF＝，
∴PD＝PF＝DF＝，即半径为，
故答案为或．
11．（2020秋 南宁期末）如图，在半径为R的圆上，挖去四个半径为r的小圆，且R和r为正整数，阴影部分面积为12π，若x+＝Rr，则（x﹣）2＝ 12 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：由题意，πR2﹣4πr2＝12π，求出整数解R＝4，r＝1，可得结论．
完整解答：解：由题意，πR2﹣4πr2＝12π，
∴R2﹣4r2＝12，
∴（R+2r）（R﹣2r）＝12，
∵R，r是整数，
∴R＝4，r＝1，
∵x+＝Rr，
∴x2+＝R2r2﹣2，
∴（x﹣）2＝R2r2﹣4＝16﹣4＝12，
故答案为：12．
12．（2021 方城县模拟）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF﹣OE＝2，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，FT，的长即可．21教育网
完整解答：解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠AOB＝90°，＝，
∴∠BOF＝60°，
∴的长＝＝π，
∵CE＝DE，
∴OE＝CD＝2，
∵OF＝4，
∴EF≥OF﹣OE＝2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，
∴此时EF＝2，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT＝TF，
∴BT⊥OF，
∴BE＝BT＝＝＝2，
∴此时阴影部分的周长为2+2+π．
故答案为：2+2+π．
13．（2020秋 渝北区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的动点，且AE＝DF，连接BE，AF，线段BE和AF相交于点G，连接CG，取CG的中点H，连接DH，则线段DH的最小值为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：以AD所在的直线为对称轴，作正方形ABCD的对称正方形ANMD，可得DH＝GM，证明△ABE≌△DAF可得∠AGB＝90°，即点G在以AB为直径的圆上，从而可得GM最短时点G在OM上，利用勾股定理求得OM，继而求出GM和DH．www.21-cn-jy.com
完整解答： ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：以AD所在的直线为对称轴，作正方形ABCD的对称正方形ANMD，
∴MD＝CD，MN＝AD＝2，∠N＝90o，
∵H为GC的中点，
∴HD为△GMC的中位线，
∴DH＝GM，
∴当GM最短时，DH最短，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，
∵AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠BAD＝∠BAG+∠DAF＝90°，
∴∠ABE+∠DAF＝90°，
∴∠ABE+∠BAG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴点G在以AB为直径的圆O上，
∴当点G在OM上时，GM最短，
∴OM＝，
∴GM＝OM﹣OG＝﹣1，
∴DH＝GM＝，
故答案为：．
14．（2021 武汉模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD，DC上两点E，F，且EF是⊙O的切线，当△BEF的面积为时，则⊙O的半径r是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：设正方形的边长为2a，则AM＝DM＝DG＝CG＝a，设ME＝NE＝x，NF＝FG＝y，则DE＝a﹣x，DF＝a﹣y，EF＝x+y，利用勾股定理得出ax+ay+xy＝a2，再由S△BEF＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF，得出a2＝，从而求出a，得到r．【来源：21·世纪·教育·网】
完整解答：解：设⊙O与AD相切于M，与EF相切于N，与CF相切于G，
( http: / / www.21cnjy.com / )
设正方形的边长为2a，
∴AM＝DM＝DG＝CG＝a，
设ME＝NE＝x，NF＝FG＝y，
在Rt△DEF中，
∵DE＝a﹣x，DF＝a﹣y，EF＝x+y，
∴（x+y）2＝（a﹣x）2+（a﹣y）2，
∴ax+ay+xy＝a2，
∵S△BEF＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△DEF，
∴4a2﹣＝，
∴，
∴，
∵a＞0，
∴a＝，
∴AB＝2a＝3，
∴⊙O的半径为，
故答案为：．
15．（2021 深圳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是 ．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：如图，延长AC到T，使得CT＝AC，连接BT，TE，BE．证明CF＝ET，求出ET的最大值即可．【版权所有：21教育】
完整解答：解：如图，延长AC到T，使得CT＝AC，连接BT，TE，BE．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AC＝CT，BC⊥AT，
∴BA＝BT，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，
∴∠BAT＝60°，AC＝BC tan30°＝3，
∴AB＝2AC＝6，
∴△ABT是等边三角形，
∴BT＝AB＝6，
∵AD＝BD＝BE，
∴BE＝3，
∵ET≤BT+BE，
∴ET≤9，
∴ET的最大值为9，
∵AC＝CT，AF＝FE，
∴CF＝ET，
∴CF的最大值为．
故答案为：．
16．（2021 临海市一模）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，点D是△ABC高线的交点，连接AD，BD，CD，则∠ADB的度数为 120° ，CD的长为 ．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：连结AO，并延长交⊙O于E，连结EC，延长BD交AC于F，由AE为直径，可得∠ACE＝∠ABE＝90°，由点D是△ABC高线的交点，可得BF⊥AC，AG⊥BC，CD⊥AB，∠CFB＝∠CGA＝90°，利用四边内角和可求∠FDG＝120°，利用对顶角性质∠ADB＝∠FDG＝120°，可证四边形CDBE为平行四边形，可得CD＝BE，由＝，可得∠ACB＝∠AEB＝60°，在Rt△ABE中，可求BE＝AB×tan30°＝．21*cnjy*com
完整解答：解：连结AO，并延长交⊙O于E，连结EC，延长BD交AC于F，
∵AE为直径，
∴∠ACE＝∠ABE＝90°，
∵点D是△ABC高线的交点，
∴BF⊥AC，AG⊥BC，CD⊥AB，
∴∠CFB＝∠CGA＝90°，
∴∠FDG＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠ADB＝∠FDG＝120°，
∵∠ACE＝∠CFB＝90°，CD⊥AB，EB⊥AB，
∴CE∥DB，CD∥EB，
∴四边形CDBE为平行四边形，
∴CD＝BE，
∵＝，
∴∠ACB＝∠AEB＝60°，
∴∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△ABE中，
BE＝AB×tan30°＝8×＝，
∴CD＝BE＝．
故答案为：120°；．
( http: / / www.21cnjy.com / )
17．（2021 青岛二模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D为弧BC的中点，点E为半径OB上动点，若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为 3+ ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
完整解答：解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝3，
∴的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为3+．
故答案为：3+．
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．（2021 无为市三模）已知四边形ABCD内接于⊙O，OA＝5，AB＝BC，E为CD上一点，且BE＝BC，∠ABE＝90°，则AD的长为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：如图，连接OD，AC．首先证明∠ACE＝∠ABE＝45°，推出∠AOD＝2∠ACE＝90°，可得结论．21世纪教育网版权所有
完整解答：解：如图，连接OD，AC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BA＝BE＝BC，
∴点B是△AEC的外接圆的圆心，
∴∠ACE＝∠ABE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACE＝90°，
∵OA＝OD＝5，
∴AD＝5，
故答案为：5．
19．（2021春 鼓楼区校级期中）已知，如图：正方形ABCD与等边三角形ADE的边长均为，P为正方形ABCD内一动点且满足∠APD＝120°，连接PB，PE，则PE+PB﹣PA的最小值为 ．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：如图，过点E作 ( http: / / www.21cnjy.com )EN⊥PD于N，EM⊥PA交PA的延长线于M．首先利用全等三角形的性质证明PE﹣PA＝PD，再根据PB+PD≥BD求解即可．
完整解答：解：如图，过点E作EN⊥PD于N，EM⊥PA交PA的延长线于M．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠M＝∠ENP＝90°，∠MPN＝120°，
∴∠MEN＝60°，
∵△AED是等边三角形，
∴∠AED＝60°，AD＝AE＝DE＝，
∴∠MEN＝∠AED，
∴∠AEM＝∠DEN，
在△EMA和△END中，
，
∴△EMA≌△END（AAS），
∴EM＝EN，AM＝DN，
在Rt△EMP和Rt△ENP中，
，
∴Rt△EMP≌Rt△ENP（HL），
∴PN＝PM，∠EPM＝∠EPN＝60°，
∴PA+PD＝PM﹣AM+PD﹣DN＝2PN＝PE，
∴PE﹣PA＝PD，
∴PE+PB﹣PA＝PD+PB，
∵PB+PD≥BD，BD＝AD＝，
∴PE+PB﹣PA≥，
∴PE+PB﹣PA的最小值为，
故答案为：．
20．（2021 惠城区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝2，以点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点E；再以点B为圆心，以AB为半径画弧，交BC于点F，交前弧于点G．则图中两个阴影部分的面积之差的绝对值是 ﹣ ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：如图，设△ABE的面积为a ( http: / / www.21cnjy.com )，上面的阴影部分的面积为x，下面的阴影部分的面积为y，线段AE，H弧AG，弧EG围成的面积为z．剪指甲摄像机求出BE，证明∠BAE＝30°，求出两个扇形的面积即可解决问题．
完整解答：解：如图，设△ABE的面积为a，上面的阴影部分的面积为x，下面的阴影部分的面积为y，线段AE，H弧AG，弧EG围成的面积为z．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∵AE＝AD＝2，AB＝，
∴BE＝＝＝1，
∴tan∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝60°，
∴S扇形ADE＝＝，S扇形ABF＝＝，
∴S扇形ADE﹣S扇形ABF＝（x+z）﹣（a+z+y）＝x﹣y﹣a，
∴x﹣y＝a+﹣＝×1×﹣＝﹣，
∴图中两个阴影部分的面积之差的绝对值＝﹣．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
