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第25章 概率初步
1．（2021 东胜区一模）某中学开展 ( http: / / www.21cnjy.com )了“师生共读”，营造“书香校园”的读书活动．为了了解学生在此次活动中的读书情况，现随机抽取部分学生进行调查，将收集到的数据整理，并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）本次调查共随机抽取 名学生，阅读量为2本学生所在扇形的圆心角度数是 度，并补全折线统计图；
（2）根据调查情况，现决定在读书数量为1本和4本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为1本的概率．
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2．（2021 东胜区二模）某校 ( http: / / www.21cnjy.com )1800名学生参加“珍爱生命，远离毒品”为主题的知识竞赛活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了若干名学生的得分进行统计，制成如下的频数分布表和直方图．
成绩x（分） 频数
50≤x＜60 5 0.025
60≤x＜70 16 0.08
70≤x＜80 a 0.225
80≤x＜90 62 b
90≤x＜100 72 0.36
请你根据不完整的表格，回答下列问题：
（1）请直接写出a，b的值，并补全频数分布直方图；
（2）若得分等级为50≤x＜60 ( http: / / www.21cnjy.com )的5名学生中，有3名男生和2名女生，现在要从5名学生中任选2名学生进行再教育，请用树状图或列表法求被选中的两名学生恰好为同一性别的概率．【出处：21教育名师】
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3．（2021 铁岭三模）为提高学生 ( http: / / www.21cnjy.com )的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，对部分学生进行了问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；B：基本了解；C：了解很少；D：不了解．并将结果绘制成两幅不完整的统计图．请你根据统计信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人；
（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）全校约有学生1500人，估计“A”等级的学生约有多少人？
（4）七年一班从“A”等级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
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4．（2021 辽宁模拟）本溪市202 ( http: / / www.21cnjy.com )1年某学校1500名学生中，随机抽查了若干名学生对国家法律法规的了解程度，并进行问卷调查，调查结果分成四个等级，分别为优秀、良好、一般、较差之后绘制了以下两个不完整的统计图．根据统计图，回答下列问题：21*cnjy*com
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（1）这次调查共抽查了多少名学生？
（2）请补充条形图；
（3）估计全校学生中能达到优秀的学生约有多少人？
（4）若5名优秀等级的学生中有两男三女，要从中随机选派两名同学做守法宣传员．请用列树形图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率是多少？
5．（2021 南充模拟）随着扶贫 ( http: / / www.21cnjy.com )工作的深入，全国近800万脱贫家庭子女接受了职业教育培训．通过“授人以渔”的职业技能教育“智”拔穷根，实现了一人稳定就业，全家基本脱贫的扶贫目标．某市以就业为导向，量身定做培训“菜单”，采取多种方式，实现培训就业一体化，着力提高培训的针对性和实效性，拟制了下列四种方式：A：劳动技能培训班；B：岗位+劳务机构+培训；C：互联网+职业技能培训；D：帮带培训．该市某职业技术培训中心对前来报名参加2021年第一期培训的学员选择的培训方式绘制成了两幅不完整的统计图，根据图中信息解答下列各题：21教育名师原创作品
（1）参加该职业技术培训中心2021年第一期培训的学员共有多少人？
（2）请你将条形统计图2补充完整；
（3）培训结束时，该培训中心决定在方式B中 ( http: / / www.21cnjy.com )选出优秀男学员2名，在方式C中选出优秀女学员2名，现从这4名优秀学员中选择2名作劳动技能展示，请用列举法（画树状图或列表）求出抽到的两名学员都是男学员的概率．
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6．（2021 广陵区校级二模）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员被抽调参与新冠疫苗集中接种工作．21cnjy.com
（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ；www.21-cn-jy.com
（2）若从抽调的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．21*cnjy*com
7．（2021 西山区二模）甲、乙两人进 ( http: / / www.21cnjy.com )行摸牌游戏，现有四张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，4，5．将四张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录下数字后，乙再从余下的牌中随机抽取一张．
（1）请用列表法或画树状图的方法，列出两人抽取数字的所有结果；
（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为3的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
8．（2021 滦州市一模）我市就“网络直播 ( http: / / www.21cnjy.com )课”的满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．满意；C．一般；D．不满意，将收集到的信息进行了统计，绘制成如下不完整的统计表（如图所示）．
频数分布统计表：
类别 频数 频率
A 60 n
B m 0.4
C 90 0.3
D 30 0.1
请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题：
（1）m＝ ；n＝ ．
（2）若该校共有学生3000人，请你根据上述调查结果，估计该校对“网络直播课”满意度为A类和B类的学生共有多少人．21世纪教育网版权所有
（3）为改进教学，学校决定从选填 ( http: / / www.21cnjy.com )结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名同学参与网络座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．
9．（2021 达拉特旗三模）为培养学 ( http: / / www.21cnjy.com )生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C（4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为多少度？并请补全条形统计图；
（3）在等级D中有甲、乙、丙 ( http: / / www.21cnjy.com )、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．21·世纪*教育网
10．（2021 鼓楼区校级模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．例如：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下：
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25
用茎叶图表示如图1：
茎是指中间的一列数，表示得分的十位 ( http: / / www.21cnjy.com )数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况．
已知某工厂有两条不同生产线A和B生 ( http: / / www.21cnjy.com )产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图2所示：21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
该产品的质量评价标准规定：若鉴定成 ( http: / / www.21cnjy.com )绩为m，当90≤m＜100时，产品质量等级为优秀；当80≤m＜90时，产品质量等级为良好；当60≤m＜80时，产品质量等级为合格．
（1）A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数为 ；B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为 ；
（2）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率；
（3）已知每件产品的成本为5元，质量 ( http: / / www.21cnjy.com )等级为良好、合格的产品的售价分别为8元/件，6元/件，要使该工厂的销售利润不低于43万元，则质量等级为优秀的产品如何定价？
11．（2021 岱岳区三模）2015年2 ( http: / / www.21cnjy.com )月27日，在中央全面深化改革领导小组第十次会议上，审议通过了《中国足球改革总体方案》，体制改革、联赛改革、校园足球等成为改革的亮点．在联赛方面，作为国内最高水平的联赛﹣﹣中国足球超级联赛今年已经进入第12个年头，中超联赛已经引起了世界的关注．图9是某一年截止倒数第二轮比赛各队的积分统计图．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据图，请计算该年有 支中超球队参赛；
（2）补全图一中的条形统计图；
（3）根据足球比赛规则，胜 ( http: / / www.21cnjy.com )一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，最后得分最高者为冠军．倒数第二轮比赛后积分位于前4名的分别是A队49分，B队49分，C队48分，D队45分．在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，已知在已经结束的一场比赛中，A队和对手打平．请用列表或者画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？
12．（2021春 晋中期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）小亮、小颖的手上都有两根长度分别为5、8的木棒，小亮与小颖都想通过转动转盘游戏来获取第三根木棒，如图，一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有木棒的长度2，3，5，8，10，12这6个数字．小亮与小颖各转动转盘一次，停止后，指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度．若三根木棒能组成三角形则小亮获胜，三根木棒能组成等腰三角形则小颖获胜．
（1）小亮获胜的概率是 ；
（2）小颖获胜的概率是 ；
（3）请你用这个转盘设计一个游戏，使得对小亮与小颖均是公平的；
（4）小颖发现，她连续转动转盘10次，都没转到5和8，能不能就说小颖获胜的可能性为0？为什么？
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13．（2020 常州模拟）在“ ( http: / / www.21cnjy.com )2017贵阳马拉松”的赛事中，共有三个项目：①“马拉松”，②“半程马拉松”，③“迷你马拉松”，小明和小伟参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组中：
（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ；
（2）求小明和小伟被分配到不同项目组的概率．
14．（2019秋 古丈县期末）甲 ( http: / / www.21cnjy.com )、乙、丙、丁四名同学报名参加社区组织的周末“创建全国文明城市”活动小分队，若从四名同学中任选两名同学担任卫生监督员，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是甲同学和丁同学担任卫生监督员的概率．
15．（2020 荔湾区校级模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）随机抛掷图中均匀的正四面体（正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字），并且自由转动图中的转盘（转盘被分成面积相等的五个扇形区域）．21教育网
（1）求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；
（2）设正四面体着地的数字为a，转盘指针所指区域内的数字为b，求关于x的方程ax2+3x+＝0有实数根的概率．
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16．（2020 碑林区校级模拟）西西正参加 ( http: / / www.21cnjy.com )我市电视台组织的智力竞答节目，只要答对最后两道单选题就能顺利通关，每道单选题都有A、B、C三个选项．这两道题西西都不会，只能在A、B、C三个选项中随机一项．
（1）西西答对第一道单选题的概率是 ．
（2）若西西可以使用“求助”（每使用“求助”一次可以让主持人去掉一个错误选项）．但是她只有两次“求助”机会，现有两种方案可供西西选择：
方案一：在第一道中一次性使用两次“求助”机会．
方案二：每道题各使用一次“求助”机会．
请你用画树状图或者列表的方法帮助西西分析哪种方案更有利（三个选项中正确项用“√”表示，错误项用“×”表示）．
17．（2021春 郓城县期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到6或者其它号码，则重新转动转盘．
（1）转盘转到2的倍数的概率是多少？
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
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18．（2021 牡丹区二模）“校 ( http: / / www.21cnjy.com )园安全”受到全社会的关注，菏泽市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：2·1·c·n·j·y
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 °；2-1-c-n-j-y
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；www-2-1-cnjy-com
（4）若从对校园安全知识 ( http: / / www.21cnjy.com )达到“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．【版权所有：21教育】
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19．（2021 铁岭模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字﹣2，﹣1，1，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为b．
（1）用列表法或画树状图表示出（a，b）的所有可能出现的结果；
（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（a，b）落在二次函数y＝x2的图象上的概率；
（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数a，b满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的概率．
20．（2020 晋江市 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A、B、C三种午餐供师生选择，单价分别是：8元、10元、15元．为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A、B、C三种午餐购买情况的数据制成统计表如下，又根据过去平均每份的利润与销售量之间的关系绘制成统计图如下：
种类 数量（份）
A 1800
B 2400
C 800
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）该校师生上周购买午餐费用的中位数是 元；
（2）为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人选择两种不同午餐交替使用，试通过列表或画树状图分析，求该校学生小明选择“AB”组合的概率；
（3）经分析与预测，师生购买午餐种类与数量相对稳定．根据上级规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价？
②为了便于操作，公司决定只 ( http: / / www.21cnjy.com )调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），才能使得下周平均每份午餐的利润在不违反规定下最接近3元，试通过计算说明，应把哪一种午餐的单价调整为多少元？【来源：21·世纪·教育·网】
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第25章 概率初步
1．（2021 东胜区一模）某中学开展了“ ( http: / / www.21cnjy.com )师生共读”，营造“书香校园”的读书活动．为了了解学生在此次活动中的读书情况，现随机抽取部分学生进行调查，将收集到的数据整理，并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）本次调查共随机抽取 50 名学生，阅读量为2本学生所在扇形的圆心角度数是 180 度，并补全折线统计图；
（2）根据调查情况，现决定在读书数量为1本和4本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为1本的概率．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）由读书数量为3本的学生人数除以所占百分比得出本次调查共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，所选两名学生读书数量均为1本的结果有6种，再由概率公式求解即可．
完整解答：解：（1）本次调查共随机抽取的学生人数为：20÷40%＝50（名），
∴阅读量为2本学生所在扇形的圆心角度数是360°×＝180°，阅读量为4本学生人数为：50﹣3﹣25﹣20＝2（名），
故答案为：50，180，
补全折线统计图如下：
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（2）把读书数量为1本的3名学生记为A、B、C，读书数量为4本的2名学生记为D、E，
画树状图如下：
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共有20种等可能的结果，所选两名学生读书数量均为1本的结果有6种，
∴所选两名学生读书数量均为1本的概率为＝．
2．（2021 东胜区二模）某校180 ( http: / / www.21cnjy.com )0名学生参加“珍爱生命，远离毒品”为主题的知识竞赛活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了若干名学生的得分进行统计，制成如下的频数分布表和直方图． 21世纪教育网版权所有
成绩x（分） 频数
50≤x＜60 5 0.025
60≤x＜70 16 0.08
70≤x＜80 a 0.225
80≤x＜90 62 b
90≤x＜100 72 0.36
请你根据不完整的表格，回答下列问题：
（1）请直接写出a，b的值，并补全频数分布直方图；
（2）若得分等级为50≤x＜ ( http: / / www.21cnjy.com )60的5名学生中，有3名男生和2名女生，现在要从5名学生中任选2名学生进行再教育，请用树状图或列表法求被选中的两名学生恰好为同一性别的概率．2·1·c·n·j·y
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思路引导：（1）由成绩为60≤x＜70的频数除以频率求出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，被选中的两名学生恰好为同一性别的结果有8种，再由概率公式求解即可．21·世纪*教育网
完整解答：解：（1）抽取的学生人数为：16÷0.08＝200（人），
∴a＝200﹣5﹣16﹣62﹣72＝45，b＝62÷200＝0.31，
补全频数分布直方图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有20种等可能的结果，被选中的两名学生恰好为同一性别的结果有8种，
∴被选中的两名学生恰好为同一性别的概率为＝．
3．（2021 铁岭三模）为提 ( http: / / www.21cnjy.com )高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，对部分学生进行了问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；B：基本了解；C：了解很少；D：不了解．并将结果绘制成两幅不完整的统计图．请你根据统计信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 40 人；
（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）全校约有学生1500人，估计“A”等级的学生约有多少人？
（4）七年一班从“A”等级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）由“C”等级的人数除以所占百分比即可；
（2）由360°乘以“D”等级所占的比例得出扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，再求出“B”等级的人数，补全条形统计图即可；
（3）由全校总人数乘以“A”等级的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种3可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．21*cnjy*com
完整解答：解：（1）接受问卷调查的学生共有：16÷40%＝40（人），
故答案为：40；
（2）扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：360°×＝72°，
“B”等级的人数为：40﹣6﹣16﹣8＝10（人），
补全条形统计图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）估计“A”等级的学生约有：1500×＝225（人）；
（4）画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12种3可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．
4．（2021 辽宁模拟）本溪市2021年某 ( http: / / www.21cnjy.com )学校1500名学生中，随机抽查了若干名学生对国家法律法规的了解程度，并进行问卷调查，调查结果分成四个等级，分别为优秀、良好、一般、较差之后绘制了以下两个不完整的统计图．根据统计图，回答下列问题：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）这次调查共抽查了多少名学生？
（2）请补充条形图；
（3）估计全校学生中能达到优秀的学生约有多少人？
（4）若5名优秀等级的学生中有两男三女，要从中随机选派两名同学做守法宣传员．请用列树形图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率是多少？
思路引导：（1）由优秀等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）总人数乘以良好等级对应百分比求出其人数，再用总人数减去优秀、良好、一般人数求得较差等级人数即可补全图形；
（3）用总人数乘以样本中优秀人数对应百分比即可；
（4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到恰好选中一男一女的人数，再根据概率公式求解即可．
完整解答：解：（1）本次调查的总人数为5÷25%＝20（名）；
（2）良好等级人数为20×40%＝8（名），
较差等级人数为20﹣（5+8+6）＝1（名），
补全条形图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）估计全校学生中能达到优秀的学生约有1500×25%＝375（名）；
（4）画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由树状图知，一共20种等可能结果，一男一女的可能为12种，
∴恰好选中一男一女的概率是．
5．（2021 南充模拟）随着扶贫工 ( http: / / www.21cnjy.com )作的深入，全国近800万脱贫家庭子女接受了职业教育培训．通过“授人以渔”的职业技能教育“智”拔穷根，实现了一人稳定就业，全家基本脱贫的扶贫目标．某市以就业为导向，量身定做培训“菜单”，采取多种方式，实现培训就业一体化，着力提高培训的针对性和实效性，拟制了下列四种方式：A：劳动技能培训班；B：岗位+劳务机构+培训；C：互联网+职业技能培训；D：帮带培训．该市某职业技术培训中心对前来报名参加2021年第一期培训的学员选择的培训方式绘制成了两幅不完整的统计图，根据图中信息解答下列各题：
（1）参加该职业技术培训中心2021年第一期培训的学员共有多少人？
（2）请你将条形统计图2补充完整；
（3）培训结束时，该培训中心决定在方式B ( http: / / www.21cnjy.com )中选出优秀男学员2名，在方式C中选出优秀女学员2名，现从这4名优秀学员中选择2名作劳动技能展示，请用列举法（画树状图或列表）求出抽到的两名学员都是男学员的概率．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）由C方式人数及其所占百分比可求得参加该职业技术培训中心2021年第一期培训的学员人数；
（2）总人数减去A、C、D人数和求出B对应人数，从而补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
完整解答：解：（1）参加该职业技术培训中心2021年第一期培训的学员共有60÷30%＝200（人）；
（2）B方式的人数为200﹣（20+60+40）＝80（人），
补全条形图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）列表得：
男1 男2 女1 女2
男1 ﹣﹣ 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 ﹣﹣ 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 ﹣﹣ 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 ﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中抽到的两名学员都是男学员的有2种结果，www-2-1-cnjy-com
所以抽到的两名学员都是男学员的概率为＝．
6．（2021 广陵区校级二模）甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员被抽调参与新冠疫苗集中接种工作．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ；
（2）若从抽调的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
思路引导：（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，2名医护人员来自同一所医院的结果有4种，再由概率公式求解即可．
完整解答：解：（1）若从抽调的4名医护人员中随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是＝，
故答案为：；
（2）把甲医院的2名医护人员记为A、B，乙医院的2名医护人员记为C、D，
画树状图如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12种等可能的结果，2名医护人员来自同一所医院的结果有4种，分别为AB、BA、CD、DC，
则这2名医护人员来自同一所医院的概率是＝．
7．（2021 西山区二 ( http: / / www.21cnjy.com )模）甲、乙两人进行摸牌游戏，现有四张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，4，5．将四张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录下数字后，乙再从余下的牌中随机抽取一张．
（1）请用列表法或画树状图的方法，列出两人抽取数字的所有结果；
（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为3的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．www.21-cn-jy.com
思路引导：（1）根据列表得出所有等可能的情况数；
（2）求出甲乙两人获胜的概率，比较即可作出判断．
完整解答：解：（1）列表如下：
第一次第二次 2 3 4 5
2 （3，2） （4，2） （5，2）
3 （2，3） （4，3） （5，3）
4 （2，4） （3，4） （5，4）
5 （2，5） （3，5） （4，5）
（2）可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相同，
记“两人抽取的数字和为2的倍数”为事件A，有（4，2），（5，3），（2，4），（3，5）四种结果，
∴；
记“两人抽取的数字和为3的倍数”为事件B，有（4，2），（2，4），（5，4），（4，5）四种结果，
∴；
∵P（A）＝P（B），
∴这个游戏是公平的．
8．（2021 滦州市一模）我市就 ( http: / / www.21cnjy.com )“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常满意；B．满意；C．一般；D．不满意，将收集到的信息进行了统计，绘制成如下不完整的统计表（如图所示）．
频数分布统计表：
类别 频数 频率
A 60 n
B m 0.4
C 90 0.3
D 30 0.1
请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题：
（1）m＝ 120 ；n＝ 0.2 ．
（2）若该校共有学生3000人，请你根据上述调查结果，估计该校对“网络直播课”满意度为A类和B类的学生共有多少人．21cnjy.com
（3）为改进教学，学校决 ( http: / / www.21cnjy.com )定从选填结果是D类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名同学参与网络座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．
思路引导：（1）先根据D类别频数及频率求出样本容量，再根据频率＝频数÷样本容量求解即可；
（2）用总人数乘以样本中A、B类频率之和即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
完整解答：解：（1）∵样本容量为30÷0.1＝300，
∴m＝300×0.4＝120，n＝60÷300＝0.2，
故答案为：120、0.2；
（2）估计该校对“网络直播课”满意度为A类和B类的学生共有3000×（0.2+0.4）＝1800（人），
故答案为：1800；
（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
∴共有12种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时被抽中的结果有2种，
∴甲、乙两名同学同时被抽中的概率为＝．
9．（2021 达拉特旗三模 ( http: / / www.21cnjy.com )）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C（4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为多少度？并请补全条形统计图；
（3）在等级D中有甲、乙、丙、丁4 ( http: / / www.21cnjy.com )人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
思路引导：（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）用360°乘以D等级人数所占的百分比 ( http: / / www.21cnjy.com )得出等级D所对应的扇形的圆心角度数；用总人数减去其他等级的人数，求出C等级的人数，从而补全统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选中甲、乙的结果数，然后根据概率公式求解．
完整解答：解：（1）本次共调查学生13÷26%＝50（名）；
（2）扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为360°×＝108°，
C等级人数为50﹣（4+13+15）＝18（名），
补全图形如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）画树状图为：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙的结果数为2，
所以恰好同时选中甲、乙的概率＝．
10．（2021 鼓楼区校级模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．例如：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下：【出处：21教育名师】
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25
用茎叶图表示如图1：
茎是指中间的一列数，表示得分的十位数，叶就是 ( http: / / www.21cnjy.com )从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况．
已知某工厂有两条不同生产线A和B生产 ( http: / / www.21cnjy.com )同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图2所示：【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
该产品的质量评价标准规定：若鉴定成绩为m， ( http: / / www.21cnjy.com )当90≤m＜100时，产品质量等级为优秀；当80≤m＜90时，产品质量等级为良好；当60≤m＜80时，产品质量等级为合格．
（1）A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数为 76 ；B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为 78 ；
（2）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，求抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率；
（3）已知每件产品的成本 ( http: / / www.21cnjy.com )为5元，质量等级为良好、合格的产品的售价分别为8元/件，6元/件，要使该工厂的销售利润不低于43万元，则质量等级为优秀的产品如何定价？
思路引导：（1）根据中位数、众数的意义分别求解即可；
（2）列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率；
（3）根据利润不低于43万元，求出样本中“合格”“良好”“优秀”所占的百分比，设未知数列不等式求解即可．21*cnjy*com
完整解答：解：（1）A生产线20件产 ( http: / / www.21cnjy.com )品的鉴定成绩从小到大排列后处在中间位置的两个数都是76，因此A生产线20件产品的鉴定成绩的中位数是76，
B生产线20件产品的鉴定成绩出现次数最多的是78，共出现3次，因此B生产线20件产品的鉴定成绩的众数为78，
故答案为：76，78；
（2）A生产线20件产品的鉴定成绩为优秀的有2件，B生产线20件产品的鉴定成绩为优秀的有3件，共5件，
从2件A，3件B中任意抽出2件，所有可能的情况如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有20种等可能出现的结果情况，其中至少有1件是A生产线生产的有14种，
所以抽取的两件产品中至少一件是A生产线生产的概率为＝；
（3）设质量等级为优秀的产品定价为x元/件，由题意得，
20××（6﹣5）+20××（8﹣5）+20××（x﹣5）≥43，
解得x≥10，
即：质量等级为优秀的产品的定价为每件不低于10元．
11．（2021 岱岳区 ( http: / / www.21cnjy.com )三模）2015年2月27日，在中央全面深化改革领导小组第十次会议上，审议通过了《中国足球改革总体方案》，体制改革、联赛改革、校园足球等成为改革的亮点．在联赛方面，作为国内最高水平的联赛﹣﹣中国足球超级联赛今年已经进入第12个年头，中超联赛已经引起了世界的关注．图9是某一年截止倒数第二轮比赛各队的积分统计图．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据图，请计算该年有 16 支中超球队参赛；
（2）补全图一中的条形统计图；
（3）根据足球比赛规则， ( http: / / www.21cnjy.com )胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，最后得分最高者为冠军．倒数第二轮比赛后积分位于前4名的分别是A队49分，B队49分，C队48分，D队45分．在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，已知在已经结束的一场比赛中，A队和对手打平．请用列表或者画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？
思路引导：根据题意列表得出A、B、C、D ( http: / / www.21cnjy.com )四个队与第4名以后的球队进行比赛所有得分结果，由表格中体现的所有情况，选出符合题意C队获胜的情况的情况总数，从而估算出C队获胜的概率．
完整解答：解：（1）4÷25%＝16（支），
答：该年有16支中超球队参赛；
故答案为：16；
（2）积分为39.5﹣44.5的球队为16﹣1﹣3﹣6﹣4＝2（支），
补全条形统计图如图所示；
（3）依题意列表格：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由表格得到共有如下27种比赛积分结果：
（50，52，51，48）；（50，52，51，46）；（50，52，51，45）；
（50，52，49，48）；（50，52，49，46）；（50，52，49，45）；
（50，52，48，48）；（50，52，48，46）；（50，52，48，45）；
（50，50，51，48）；（50，50，51，46）；（50，50，51，45）；
（50，50，49，48）；（50，50，49，46）；（50，50，49，45）；
（50，50，48，48）；（50，50，48，46）；（50，50，48，45）；
（50，49，51，48）；（50，49，51，46）；（50，49，51，45）；
（50，49，49，48）；（50，49，49，46）；（50，49，49，45）；
（50，49，48，48）；（50，49，48，46）；（50，49，48，45）；
其中已知A队打平，C队获胜的情况恰有6种，
故P（C队获胜）＝＝．
( http: / / www.21cnjy.com / )
12．（2021春 晋中期末）小亮、小颖 ( http: / / www.21cnjy.com )的手上都有两根长度分别为5、8的木棒，小亮与小颖都想通过转动转盘游戏来获取第三根木棒，如图，一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有木棒的长度2，3，5，8，10，12这6个数字．小亮与小颖各转动转盘一次，停止后，指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度．若三根木棒能组成三角形则小亮获胜，三根木棒能组成等腰三角形则小颖获胜．
（1）小亮获胜的概率是 ；
（2）小颖获胜的概率是 ；
（3）请你用这个转盘设计一个游戏，使得对小亮与小颖均是公平的；
（4）小颖发现，她连续转动转盘10次，都没转到5和8，能不能就说小颖获胜的可能性为0？为什么？
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）设构成三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )第三根木棒的长度为x，则3＜x＜13，由在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成三角形的有5、8、10、12这四个，利用概率公式计算可得；
（2）由2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成等腰三角形的有5，8这两个，利用概率公式计算可得；
（3）只要是两人获胜的概率相等即可得；
（4）由随机事件的可能性大小解答即可得．
完整解答：解：（1）设构成三角形的第三根木棒的长度为x，
则8﹣5＜x＜5+8，即3＜x＜13，
∵在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成三角形的有5、8、10、12这四个，
∴小亮获胜的概率是＝，
故答案为：；
（2）∵在2，3，5，8，10，12这6个数字中，能构成等腰三角形的有5，8这两个，
∴小颖获胜的概率是＝；
（3）小亮转动转盘一次，停止后指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度．若三根木棒能组成三角形则小亮获胜；
小颖转动转盘一次，停止后指针指向的数字为偶数，则小颖获胜；
（4）不能，
她连续转动转盘10次，都没转到5和8，只是说明可能性小，但并不一定为0．
13．（2020 常州模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )在“2017贵阳马拉松”的赛事中，共有三个项目：①“马拉松”，②“半程马拉松”，③“迷你马拉松”，小明和小伟参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组中：
（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ；
（2）求小明和小伟被分配到不同项目组的概率．
思路引导：（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）根据题意先画出树状图得到所有可能的结果和小明和小伟被分配到不同项目组的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
完整解答：解：（1）∵共有：①“马拉松”，②“半程马拉松”，③“迷你马拉松”三项赛事，
∴小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率是；
故答案为：；
（2）用①表示“马拉松”，②表示“半程马拉松”，③表示“迷你马拉松”，则有：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有9种等可能的结果数，其中小明和小伟被分配到不同项目组有6种等可能的结果数，
所以小明和小伟被分配到不同项目组的概率＝＝．
14．（2019秋 古丈县期末）甲、乙、丙、 ( http: / / www.21cnjy.com )丁四名同学报名参加社区组织的周末“创建全国文明城市”活动小分队，若从四名同学中任选两名同学担任卫生监督员，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是甲同学和丁同学担任卫生监督员的概率．
思路引导：列出图表，然后根据概率公式计算即可得解．
完整解答：解：列表如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12种情况，恰好抽到甲、丁两名同学的是2种，
∴恰好是甲同学和丁同学担任卫生监督员的概率为＝．
15．（2020 荔湾区校级模拟）随机抛掷图 ( http: / / www.21cnjy.com )中均匀的正四面体（正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字），并且自由转动图中的转盘（转盘被分成面积相等的五个扇形区域）．
（1）求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；
（2）设正四面体着地的数字为a，转盘指针所指区域内的数字为b，求关于x的方程ax2+3x+＝0有实数根的概率．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由根的判别式得出方程ax2+3x+＝0有实数根的所有情况，利用概率公式求解即可求得答案．
完整解答：解；（1）画树状图得出：
总共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的有3种情况，
故正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率为：；
（2）∵方程ax2+3x+＝0有实数根的条件为：9﹣ab≥0，
∴满足ab≤9的结果共有14种：（ ( http: / / www.21cnjy.com )1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2）
∴关于x的方程ax2+3x+＝0有实数根的概率为：＝．
16．（2020 碑林区校级 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）西西正参加我市电视台组织的智力竞答节目，只要答对最后两道单选题就能顺利通关，每道单选题都有A、B、C三个选项．这两道题西西都不会，只能在A、B、C三个选项中随机一项．
（1）西西答对第一道单选题的概率是 ．
（2）若西西可以使用“求助”（每使用“求助”一次可以让主持人去掉一个错误选项）．但是她只有两次“求助”机会，现有两种方案可供西西选择：
方案一：在第一道中一次性使用两次“求助”机会．
方案二：每道题各使用一次“求助”机会．
请你用画树状图或者列表的方法帮助西西分析哪种方案更有利（三个选项中正确项用“√”表示，错误项用“×”表示）．
思路引导：（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）分别计算出在第一题使用“求助”顺利通关的概率和每道题各使用一次“求助”顺利通关的概率即可求得答案．
完整解答：解：（1）∵第一道单选题有3个选项，
∴西西答对第一道题的概率是，
故答案为：；
（2）如果在第一道中一次性使用两次“求助”机会，则西西一定能答对第一题，而他能答对第二题的概率为，
所以此时西西能通关的概率为；
如果每道题各使用一次“求助”机会，
画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由树状图可知，西西能通关的概率为；
因为＞，
所以第一种方案对西西更有利．
17．（2021春 郓城县期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到2的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到6或者其它号码，则重新转动转盘．
（1）转盘转到2的倍数的概率是多少？
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断．
完整解答：解：（1）∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中2的倍数有4个，2-1-c-n-j-y
∴P（转到2的倍数）＝；
（2）游戏不公平，
共有9种等可能的结果，其中3的倍数有3、6、9共3种可能，2的倍数有2，4，6，8共4种可能，由于转到6时需要重新转转盘，故6舍去，
∴小亮去参加活动的概率为：＝，
小芳去参加活动的概率为：，
∵＞，
∴游戏不公平．
18．（2021 牡丹区二模）“校园安全” ( http: / / www.21cnjy.com )受到全社会的关注，菏泽市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：【来源：21cnj*y.co*m】
（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90 °；21教育名师原创作品
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
（4）若从对校园安全知识达 ( http: / / www.21cnjy.com )到“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：（1）根据了解很少 ( http: / / www.21cnjy.com )的人数和所占的百分百求出抽查的总人数，再用“基本了解”所占的百分比乘以360°，即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；21·cn·jy·com
（2）用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“基本了解”的人数，求出了解的人数，从而补全统计图；
（3）根据了解和基本了解共占的百分百乘以900即可求出抽查的总人数；
（4）根据题意先画出树状图，再根据概率公式即可得出答案；
完整解答：解：（1）接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）
扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为＝90°，
故答案为：60，90；
（2）补全条形统计图如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）根据题意得：900×＝300（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人．
（4）列表法如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则所有等可能的情况有20种，其中选中1个男生和1个女生的情况有12种，
所以恰好抽到1个男生和1个女生的概率：P＝＝．
19．（2021 铁岭模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字﹣2，﹣1，1，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为b．
（1）用列表法或画树状图表示出（a，b）的所有可能出现的结果；
（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（a，b）落在二次函数y＝x2的图象上的概率；
（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数a，b满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的概率．
思路引导：（1）利用树状图展示所有16种等可能的结果；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到点（﹣2，4），（﹣1，1），（1，1）落在二次函数y＝x2的图象上，然后根据概率公式求解；
（3）根据一次函数图象与 ( http: / / www.21cnjy.com )系数的关系可得到a＞0，b＞0，则点（1，1），（1，4），（4，1），（4，4）满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限，然后根据概率公式求解．
完整解答：解：（1）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，它们为（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )2，﹣2）、（﹣2，﹣1）、（﹣2，1）、（﹣2，4）、（﹣1，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（﹣1，1）、（﹣1，4）、（1，﹣2）、（1，﹣1）、（1，1）、（1，4）、（4，﹣2）、（4，﹣1）、（4，1）、（4，4）；
（2）落在二次函数y＝x2的图象上的点有（﹣2，4），（﹣1，1），（1，1），
所以落在二次函数y＝x2的图象上的概率＝；
（3）满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的点有（1，1），（1，4），（4，1），（4，4），
所以满足直线y＝ax+b经过一、二、三象限的概率＝＝．
20．（2020 晋江市模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A、B、C三种午餐供师生选择，单价分别是：8元、10元、15元．为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A、B、C三种午餐购买情况的数据制成统计表如下，又根据过去平均每份的利润与销售量之间的关系绘制成统计图如下：
种类 数量（份）
A 1800
B 2400
C 800
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）该校师生上周购买午餐费用的中位数是 10 元；
（2）为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人选择两种不同午餐交替使用，试通过列表或画树状图分析，求该校学生小明选择“AB”组合的概率；
（3）经分析与预测，师生购买午餐种类与数量相对稳定．根据上级规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价？
②为了便于操作，公司决定只调低一种午餐的 ( http: / / www.21cnjy.com )单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），才能使得下周平均每份午餐的利润在不违反规定下最接近3元，试通过计算说明，应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
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思路引导：（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字．
（2）画树状图见解答．
（3）根据条形统计图找到 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC的利润，算出总利润，之后除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可．对于调低单价，要求对ABC三种午餐分别罗列每个讲价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在降价1元时比较三种午餐的利润谁与3元最接近即可作答．21教育网
完整解答：解：（1）全校总人数为：1800+2400+800＝5000人．
因此再将价钱按照8元（A）、10元（B）、15元（C）的价钱排列后，
对于5000份数据，按照从小到大排 ( http: / / www.21cnjy.com )列后，中位数为第2500和第2501个数据的平均数．也就是说，中位数为数量（份）的第2500和2501个数的平均数，
因此，通过统计表计算得知，A+B一共为1800+2400＝4200，因此中位数为B午餐的费用，
即为10元，
故答案为10．
（2）①树状图如下：
根据树状图能够得到共有6种情况：AB，AC，BA，BC，CA，CB．
其中“AB”组合共有2中情况，
∴．
（3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
因此，总利润为：1800×2+4×2400+3×800＝15600（元），
平均利润为：15600÷5000＝3.12（元），
3.12＞3，因此应调低午餐单价．
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
当A，B，C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，
因此最低即为降低1元，此时，当调低ABC大于1元时，平均每份午餐的利润一定小于2.96元，
综上，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润更接近3元．
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