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第25章 概率初步
1．（2021 安溪县模拟）北京大兴国际机 ( http: / / www.21cnjy.com )场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东跑道、北跑道，若有2架飞机要从以上不同跑道同时起飞，有 12 种不同的安排方法．www-2-1-cnjy-com
思路引导：画树状图，共有12种等可能的结果，即可求解．
完整解答：解：把西一跑道、西二跑道、东跑道、北跑道分别记为A、B、C、D，2架飞机分别记为甲、乙，
画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12种等可能的结果，
即有2架飞机要从以上不同跑道同时起飞，有12种不同的安排方法，
故答案为：12．
2．（2021 宛城区一模）将4张印有“梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片（形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子中搅匀．从中任意取出1张，记录后放回搅匀，再从中任意取出1张，则取出的两张卡片中，至少有1张印有“兰”字的概率是 ．21*cnjy*com
思路引导：画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．
完整解答：解：画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由树状图知，共有16种等可能结果，其中至少有1张印有“兰”字的有7种结果，
∴至少有1张印有“兰”字的概率为．
故答案为：．
3．（2021 河南模拟）几何图形嵌板是一种开发幼儿智力的玩具．如图，甲，乙两个小朋友分别从A，B，C，D四个嵌板中随机抓取一个，放在操作屉中，则他们抓取相同嵌板的概率为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出他们抓取相同嵌板的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
完整解答：解：根据题画图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中抓取相同嵌板的结果有4种，
则他们抓取相同嵌板的概率为＝．
故答案为：．
4．（2021 周村区一模）一个不透明盒子里有3张形状大小质地完全相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3．从中随机抽出一张后不放回，再从盒中随机抽出一张，则两次抽出的卡片都是奇数的概率为 ．
思路引导：列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
完整解答：解：列表如下
1 2 3
1 （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，3）
3 （3，1） （3，2）
由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片都是奇数的有2种结果，
所以两次抽出的卡片都是奇数的概率为＝．
故答案为：．
5．（2021 焦作模拟）手机“微信”推出了红包游戏功能，它有多种玩法，其中一种为“拼手气红包“，用户设好总金额以及红包个数后，可以生成不等金额的红包，现有一用户发了三个“拼手气红包“，总金额为10元，随机被甲，乙、丙三人抢到．记金额最多、居中．最少的红包分别为A，B，C，求甲抢到红包A，乙抢到红包C的概率为 ．21·cn·jy·com
思路引导：画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲抢到红包A，乙抢到红包C的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
完整解答：解：画树状图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有6种等可能的情况数，其中甲抢到红包A，乙抢到红包C的情况有1种，
则甲抢到红包A，乙抢到红包C的概率为．
故答案为：．
6．（2021 驻马店二模）五一期间，某旅游公司开展团队旅游有奖活动，凡组团报名满二十人的团队有一次抽奖机会．抽奖设置如图所示，左转盘被等分成四个扇形区，各扇形区分别标有数字8、6、2、1；右转盘被等分成三个扇形区，各扇形区分别标有数字4、5、7．抽奖时左右转盘各转动一次，将箭头停留在扇形区内的两个数字相加求出和．奖品设置：和不大于8的获得矿泉水20瓶；和为9或10或11的获得遮阳伞20把；和为12或13的获得太阳镜20付；和为15的获得免旅游费2000元．某团队获得免旅游费2000元的概率为 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出和为15的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
完整解答：解：根据题意画图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12种等可能的情况数，其中和为15的有1种，
则某团队获得免旅游费2000元的概率为．
故答案为：．
7．（2021 内乡县二模）如图，一只蜗牛从迷宫入口进入后，每遇到岔口时都会以均等的机会随机选择前进方向，最后蜗牛从C出口爬出迷宫的概率是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：根据题意列出树状图，直接由概率公式求解即可．
完整解答：解：如图所示，设进入入口后有1、2两个不同出口，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意可列树状图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
故从C出口爬出迷宫的概率P＝，
故答案为：．
8．（2021 宾阳县模拟）某摄影爱好者打算周末游玩南宁，为了体验如长廊画卷般的邕江滨水，现从熟知的3座大桥：邕江大桥、中兴大桥、白沙大桥中随机选两座桥摄影，则恰好选到邕江大桥的概率为 ．21教育网
思路引导：由题意知一共有3种可能，恰好选到邕江大桥的有2种可能，再根据概率公式即可得出答案．
完整解答：解：从3座大桥中随机选两座桥，可选择：
邕江大桥、中兴大桥；邕江大桥，白沙大桥；中兴大桥、白沙大桥；共3种方案，
恰好选到邕江大桥的有2种，分别是邕江大桥、中兴大桥；邕江大桥，白沙大桥；
则恰好选到邕江大桥的概率为．
故答案为：．
9．（2021 许昌二模）某校计划以班级为单位开展“数学趣味赛“，七（1）班准备从小铭、小宇两名男生和小琪、小叶、小萱三名女生中各随机选出一名男生和一名女生参加比赛，则小宇和小萱被选中的概率为 ．
思路引导：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出小宇和小萱的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．
完整解答：解：画树状图得：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵共有20种等可能的结果，选出一男一女的有2种情况，
∴小宇和小萱被选中的概率为＝．
故答案为：．
10．（2021 凉山州模拟）将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是 ．2-1-c-n-j-y
思路引导：用树状图表示所有可能出现的情况，进而求出能组成“强国”的概率．
完整解答：解：用树状图表示所有可能出现的情况有：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有12种等可能出现的情况，其中组成“强国”的有2种，
∴P组成强国＝＝．
故答案为：．
11．（2021 武进区校级自主招生）有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程+2＝有正整数解的概率为
思路引导：易得分式方程的解，看所给6个数中，能使分式方程有整数解的情况数占总情况数的多少即可．
完整解答：解：解分式方程得：x＝，
∵分式方程的解为正整数，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，
∴a＝0，1，
∵分式方程的解为正整数，
当a＝1时，x＝2不合题意，
∴a＝0，
∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为，
故答案为：．
12．（2020 黄石模拟）甲、乙两位同学各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则a能被b整除的概率为 ．
思路引导：用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
完整解答：解：用列表法表示所有可能出现的情况有：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共36种情况，其中a能被b整除的有14种，
∴P（a能被b整除）＝＝．
故答案为：．
13．（2019秋 万州区期末）质地均匀的骰子，6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．同时抛掷这样的两枚骰子，落地后朝上的两个面上的数字之和为4的倍数的概率为 ．【出处：21教育名师】
思路引导：用列表法或树状图法表示所有可能出现的结果情况，再根据概率公式进行计算即可．
完整解答：解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有36种情况，其中两次数字之和为4的倍数的有9种，
∴P＝＝，
故：答案为：．
14．（2019秋 栾城区期末）已知函数y＝（3k+1）x+5（k为常数），若从﹣3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而减小”的一次函数的概率为 ．21世纪教育网版权所有
思路引导：求出“y随x增加而减小”的一次函数k的取值范围，再根据k的取值范围占总取值范围的比值即可．21*cnjy*com
完整解答：解：当3k+1＜0时，即k＜﹣时，y随x增加而减小，
又∵﹣3≤k≤3，
∴﹣3≤k＜﹣，
∴得到的函数具有“y随x增加而减小”的一次函数的概率为＝，
故答案为：．
15．（2020 金华一模） ( http: / / www.21cnjy.com )某航班每次约有100名乘客，一次飞行中飞机失事的概率为P＝0.00005．一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万人民币．平均来说，保险公司为了不亏本，至少应该收取保险费 20 元每人．21·世纪*教育网
思路引导：先求出飞机失事时保险公司应赔偿的金额，再根据飞机失事的概率求出赔偿的钱数即可解答．
完整解答：解：每次约有100名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿40万人民币，共计4000万元，
一次飞行中飞机失事的概率为P＝0.00005，
故赔偿的钱数为40000000×0.00005＝2000元，
故至少应该收取保险费每人＝20元．
16．（2019 渝北区自主招生）有五张正面分别标有数字﹣3、﹣2、0、1、2的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使得函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点的概率为 ．21cnjy.com
思路引导：用列表法表示所有可能出现的结果情况，再分一次函数和二次函数两种情况进行解答即可．
完整解答：解：用列表法表示（a，b）所有可能出现的结果情况如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
共有25中等可能出现的结果情况，其中使函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点，
当a＝﹣2，b≠0时，函数y＝（a+2）x2﹣bx+a变为一次函数，此时有4种情况符合题意，
当a≠﹣2时，函数y＝（a+2）x2﹣bx+a为二次函数，因此有b2﹣4（a+2）×a≥0，也就是b2≥﹣a（a+2），此时有12中种情况，www.21-cn-jy.com
所以函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点的概率为＝，
故答案为：．
17．（2018 武侯区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+x+c的顶点是正方形ABCO的边AB的中点，点A，C在坐标轴上，抛物线分别与AO，BC交于D，E两点，将抛物线向下平移1个单位长度得到如图所示的阴影部分．现随机向该正方形区域投掷一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率P＝ ．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
思路引导：根据抛物线解析式确定出对称轴， ( http: / / www.21cnjy.com )进而求出正方形ABCO的边长，根据平移性质求出阴影部分面积，求出阴影部分面积占正方形的几分之几，即可确定出所求概率．
完整解答：解：∵抛物线y＝﹣x2+x+c的顶点是正方形ABCO边AB的中点，且抛物线对称轴为直线x＝2，
∴正方形ABCO的边长为4，
∵抛物线向下平移1个单位长度得到如图所示的阴影部分，
∴阴影部分面积为4，
则针尖落在阴影部分的概率P＝＝，
故答案为：
18．（2017春 新都区期末）有四条线段长度为3cm，5cm，7cm，9cm，从中任意取三条线段能组成三角形的概率是 【版权所有：21教育】
思路引导：根据题意可以写出所有的可能性，并求出从中任意取三条线段能组成三角形的概率．
完整解答：解：由题意可得，
任取三条线段的所有可能性是：（3，5，7）、（3，5，9）、（3，7，9）、（5，7，9），
可以组成三角形的可能性是：（3，5，7）、（3，7，9）、（5，7，9），
∴从中任意取三条线段能组成三角形的概率是．
19．（2021 郫都区模拟）如图，有A、B、C三类长方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是 ．【来源：21cnj*y.co*m】
思路引导：依据选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为（a+b）的正方形，可得能拼成一个正方形的概率为．21教育名师原创作品
完整解答：解：由题可得，随机选取两位同学，可能的结果如下：
甲乙、甲丙、乙丙，
∵a2+2ab+b2＝（a+b）2，
∴选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个边长为（a+b）的正方形，
∴能拼成一个正方形的概率为，
故答案为：．
20．（2016秋 大邑县期末）从3，﹣1，0，1，﹣2这五个数中任意取出一个数记作b，则既能使函数y＝（b2﹣4）x的图象经过第二、第四象限，又能使关于x的一元二次方程x2﹣bx+b+1＝0的根的判别式小于零的概率为 ．
思路引导：确定使函数的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象经过第二、四象限的b的取值范围，然后确定使方程根的判别式小于零的b的取值范围，找到同时满足两个条件的b的值，利用概率公式计算即可．
完整解答：解：∵函数y＝（b2﹣4）x的图象经过第二、四象限，
∴b2﹣4＜0，
解得：﹣2＜b＜2
∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+b+1＝0的根的判别式小于零，
∴（﹣b）2﹣4（b+1）＜0，
∴2﹣2＜b＜2+2，
∴使函数的图象经过第二、四象限，且使方程的根的判别式小于零的b的值有为0、1，
∴此事件的概率为，
故答案为：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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1．（2021 安溪县模拟）北京 ( http: / / www.21cnjy.com )大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东跑道、北跑道，若有2架飞机要从以上不同跑道同时起飞，有 种不同的安排方法．21世纪教育网版权所有
2．（2021 宛城区一模）将4张印有“ ( http: / / www.21cnjy.com )梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片（形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子中搅匀．从中任意取出1张，记录后放回搅匀，再从中任意取出1张，则取出的两张卡片中，至少有1张印有“兰”字的概率是 ．21教育网
3．（2021 河南模拟）几何图形 ( http: / / www.21cnjy.com )嵌板是一种开发幼儿智力的玩具．如图，甲，乙两个小朋友分别从A，B，C，D四个嵌板中随机抓取一个，放在操作屉中，则他们抓取相同嵌板的概率为 ．21·cn·jy·com
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4．（2021 周村区一模）一个不 ( http: / / www.21cnjy.com )透明盒子里有3张形状大小质地完全相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3．从中随机抽出一张后不放回，再从盒中随机抽出一张，则两次抽出的卡片都是奇数的概率为 ．
5．（2021 焦作模拟）手机“微 ( http: / / www.21cnjy.com )信”推出了红包游戏功能，它有多种玩法，其中一种为“拼手气红包“，用户设好总金额以及红包个数后，可以生成不等金额的红包，现有一用户发了三个“拼手气红包“，总金额为10元，随机被甲，乙、丙三人抢到．记金额最多、居中．最少的红包分别为A，B，C，求甲抢到红包A，乙抢到红包C的概率为 ．2·1·c·n·j·y
6．（2021 驻马店二模） ( http: / / www.21cnjy.com )五一期间，某旅游公司开展团队旅游有奖活动，凡组团报名满二十人的团队有一次抽奖机会．抽奖设置如图所示，左转盘被等分成四个扇形区，各扇形区分别标有数字8、6、2、1；右转盘被等分成三个扇形区，各扇形区分别标有数字4、5、7．抽奖时左右转盘各转动一次，将箭头停留在扇形区内的两个数字相加求出和．奖品设置：和不大于8的获得矿泉水20瓶；和为9或10或11的获得遮阳伞20把；和为12或13的获得太阳镜20付；和为15的获得免旅游费2000元．某团队获得免旅游费2000元的概率为 ．
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7．（2021 内乡县二模）如图，一只蜗牛从 ( http: / / www.21cnjy.com )迷宫入口进入后，每遇到岔口时都会以均等的机会随机选择前进方向，最后蜗牛从C出口爬出迷宫的概率是 ．www.21-cn-jy.com
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8．（2021 宾阳县模拟）某摄 ( http: / / www.21cnjy.com )影爱好者打算周末游玩南宁，为了体验如长廊画卷般的邕江滨水，现从熟知的3座大桥：邕江大桥、中兴大桥、白沙大桥中随机选两座桥摄影，则恰好选到邕江大桥的概率为 ．
9．（2021 许昌二模）某校计划以班 ( http: / / www.21cnjy.com )级为单位开展“数学趣味赛“，七（1）班准备从小铭、小宇两名男生和小琪、小叶、小萱三名女生中各随机选出一名男生和一名女生参加比赛，则小宇和小萱被选中的概率为 ．
10．（2021 凉山州模拟）将分别标有“ ( http: / / www.21cnjy.com )学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是 ．【来源：21·世纪·教育·网】
11．（2021 武进区校级自主招生）有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程+2＝有正整数解的概率为 www-2-1-cnjy-com
12．（2020 黄石模拟）甲、乙两位同学 ( http: / / www.21cnjy.com )各抛掷一枚质地均匀的骰子，他们抛掷的点数分别记为a、b，则a能被b整除的概率为 ．
13．（2019秋 万州区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）质地均匀的骰子，6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．同时抛掷这样的两枚骰子，落地后朝上的两个面上的数字之和为4的倍数的概率为 ．21·世纪*教育网
14．（2019秋 栾城区期末）已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝（3k+1）x+5（k为常数），若从﹣3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而减小”的一次函数的概率为 ．2-1-c-n-j-y
15．（2020 金华一模）某航 ( http: / / www.21cnjy.com )班每次约有100名乘客，一次飞行中飞机失事的概率为P＝0.00005．一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万人民币．平均来说，保险公司为了不亏本，至少应该收取保险费 元每人．21*cnjy*com
16．（2019 渝北区自主招生）有五张正面分别标有数字﹣3、﹣2、0、1、2的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使得函数y＝（a+2）x2﹣bx+a的图象与x轴有交点的概率为 ．【来源：21cnj*y.co*m】
17．（2018 武侯区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+x+c的顶点是正方形ABCO的边AB的中点，点A，C在坐标轴上，抛物线分别与AO，BC交于D，E两点，将抛物线向下平移1个单位长度得到如图所示的阴影部分．现随机向该正方形区域投掷一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率P＝ ．
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18．（2017春 新都区期末）有四条 ( http: / / www.21cnjy.com )线段长度为3cm，5cm，7cm，9cm，从中任意取三条线段能组成三角形的概率是 21cnjy.com
19．（2021 郫都区模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，有A、B、C三类长方形（或正方形）卡片（a＞b），其中甲同学持有A、B类卡片各一张，乙同学持有B、C类卡片各一张，丙同学持有A、C类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是 ．【出处：21教育名师】
20．（2016秋 大邑县期末）从3，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )1，0，1，﹣2这五个数中任意取出一个数记作b，则既能使函数y＝（b2﹣4）x的图象经过第二、第四象限，又能使关于x的一元二次方程x2﹣bx+b+1＝0的根的判别式小于零的概率为 ．
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