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启东市汇龙中学2013---2014学年度第一学期期中考试
高一数学试卷
时间：2013.11 本卷满分160分
第Ⅰ卷 填空题 共70分
一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的横线上）
1．已知集合A＝{3, }，B＝{，b}，且A∩B＝{2}，则A∪B＝ ▲ ．
2．函数y=的定义域为 ▲ ．
3. 已知幂函数f(x)＝k·的图象过点，则k＋＝ ▲ ．
4. 函数f(x)＝log2(x2－4x－5)的单调增区间为 ▲ ．
5. 已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 ▲ ．
6. 设f(x)是定义在上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝ ▲ ．
7. 定义在R的奇函数f(x)单调递增，且对任意实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b＝ ▲ ．
8．若有负值,则实数a的取值范围是 ▲ ．
9. 设x0是方程2x＋x－8＝0的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝ ▲ ．
10. 若二次函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的两个零点均在(0,1)内，则实数m的取值范围是 ▲ ．
11．已知函数且f(1+x)=f(-x),则f(-2)，f(0)，f(2)的大小关系是 ▲ ．
12．由方程2x|x|－y＝1所确定的x，y的函数关系记为y＝f(x)．给出如下结论：
①f(x)是R上的单调递增函数；
②对于任意x∈R，f(x)＋f(－x)＝－2恒成立；
③存在x0∈(－1,0)，使得过点A(1，f(1))，B(x0，f(x0))的直线与曲线y＝f(x)恰有两个公共点．
其中正确的结论为 ▲ ．(写出所有正确结论的序号)．
13. 已知函数f(x)＝|2x－3|，若0＜2a＜b＋1，且f(2a)＝f(b＋3)，则T＝3a2＋b的取值范围为 ▲ ．
14．如果对于函数f(x)的定义域内任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)≤f(x2)且存在两个不相等的自变量m1，m2，使得f(m1)＝f(m2)，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数g(x)的定义域、值域分别为A，B，A＝{1,2,3}，B A且g(x)为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的函数g(x)共有 ▲ 个.
第Ⅱ卷 解答题 共90分
2、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知全集U={x|-1≤x≤4}，A={x|x2-1≤0}，B={x|0(B)∩A.
16．设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)．
(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求实数a、b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.
17．已知≤a≤1，若f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)．
(1)求g(a)的函数表达式；
(2)判断g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值．
18．已知函数()在区间上有最大值和最小值.设.
(1)求、的值; (2)若不等式在上有解,求实数的取值范围．
19．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
20．设f(x)＝loga为奇函数，g(x)＝f(x)＋loga[(x－1)(ax＋1)](a＞1，且m≠1)．
(1)求m的值；
(2)求g(x)的定义域；
(3)若g(x)在上恒大于0，求a的取值范围．
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启东市汇龙中学2013---2014学年度第一学期期中考试
高一数学试卷参考答案
1.{1,2,3} 2.{x|-4≤x<0或02或a<-2 9. 2 10． (－，1－] 11. f(0)12．①②③ 13. 14. 9
15.［解答］∵A＝{x|x2-1≤0}={ x|-1≤x≤1}，
∴A∩B={x|0x≤1}………………………………………………………………………… (3)
A∪B={x|-1≤x≤3}……………………………………………………………………………(6)
A ={x|1x≤4}……………………………………………………………………………(10)
B ={x|-1≤x≤0或3x≤4}.
∴ A={x|-1≤x≤0}…………………………………………………………………(14)
16. 解析 (1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，即b＝a＋1.
又对任意实数x均有f(x)≥0成立，∴a>0且Δ＝b2－4a≤0恒成立，即a>0且(a－1)2≤0恒成立，∴a＝1，b＝2. …………………………………………………………………………(6)
(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，
∴g(x)＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在x∈[－2,2]时是单调函数，
∴[－2,2] 或[－2,2] . ……………………………………(10)
∴2≤或≤－2，解得k≥6或k≤－2，
即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．……………………………………………(14)
17. 解析 (1)函数f(x)＝ax2－2x＋1的对称轴为直线x＝，而≤a≤1，所以1≤≤3.
所以f(x)在[1,3]上N(a)＝f＝1－.……………………………………………………(3)
①当1≤≤2时，即≤a≤1时，M(a)＝f(3)＝9a－5.
②当2＜≤3时，即≤a＜时，M(a)＝f(1)＝a－1. ……………………………………(6)
所以g(a)＝M(a)－N(a)＝…………………………………(7)
(2)g(a)在上单调递增…………………………………………………………………(9)
g(a)＝a＋－2，≤a＜，在上单调递减…………………………………………(11)
故g(a)min＝g＝.…………………………………………………………………………(15)
18． 解:(1),
因为,所以在区间上是增函数,故,解得.…………(5)
(2)由已知可得,
所以可化为,
化为……………………………………………………………… (10)
令,则,因,故,
记,因为,故,
所以的取值范围…………………………………………………………………(15)
19. 解析 (1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0………………(3)
(2)f(x)为偶函数，令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)．
所以f(x)为偶函数……………………………………………………………………………(7)
(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.
所以f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3即f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)①
因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以①等价于不等式组：
……………………………………(12)
或所以3＜x≤5或－≤x＜－或－＜x＜3.
故x的取值范围为{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}……………………………(16)
20. 解析 (1)f(x)是奇函数，f(x)＝－f(－x)，
loga＝－loga＝loga，∴＝，x2－1＝(mx)2－1，
∴(m2－1)x2＝0，又m≠1，∴m＝－1. ……………………………………………………(5)
(2)由(1)f(x)＝loga，g(x)＝loga＋loga[(x－1)·(ax＋1)]，x必须满足
又a＞1，∴x＜－1或x＞1，
∴g(x)的定义域为{x|x＜－1或x＞1}……………………………………………………(10)
(3)a＞1，g(x)在上恒正，
即(x＋1)(ax＋1)＞1 ax＋1＜ ax＜－ a＞－，
∵x∈，∴－≤－＝2，
∴a＞2，∴a的取值范围是(2，＋∞) ………………………………………………………………(16)
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