【五三】初中数学鲁教版七年级上册专项综合全练(四)新定义型试题
一、类型一实数运算中的新定 义
1．定义新运算“@”的运算法则为x@y= ，如1@2= ，那么4@8=
【答案】6
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵x@y= ，∴4@8= =6．
【分析】把X=4、Y=8代入x@y= 中计算即可。
2．在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为a b=-2ab，如：1 5=-2×1×5=-10，则式子2 =
【答案】2
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：根据题中新定 义的运算得原式= =-2．
【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果。
3．定义一种新运算：对于任意实数m、n，都有m◎n=m2-mn-5，等式右边是通常的减法、乘法及乘方运算，比如：2◎3=22-2×3-5=4-6-5=-7，试求 ◎4的值．
【答案】解： ◎4=( )2- ×4-5=5-4 -5=-4
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得。
4．定义新运算：a b=a(1-b) ，其中等号右边是常规的乘法和减法运算，例如：(-1) 1=(-1)×(1-1)=0．
（1）计算：(1+ ) ；
（2）小嘉说：“若a+b=0，则a a+b b= 2ab．”你是否同意他的观点？请说明理由．
【答案】（1）解：(1+ ) 2=(1+ )×(1- )= 1-2=-1
（2）解：同意．理由如下：
∵a+b=0，∴a=-b，b=-a，
∴a a+b b=a (-b)+b (-a)=a(1+6)+b(1+a)=(a+b)+2ab= 2ab，．小嘉的观点正确．
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】（1）根据定义，新运算的式子，再利用平方差进行计算可得；
（2）先根据条件，可得 a=-b， 再结合所给的新定义运算公式可得。
二、类型二坐标与函数中的新定义
5．定义新运算：a&b= ，
例如：3&4=12，3&(-4)=12，则函数y=2&x(x≠0)的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；分段函数；定义新运算
【解析】【解答】由题意，得y=2&x=
当x>0时，正比例函数y=2x的图象在第一象限，
当x<0时，正比例函数y=-2x的图象在第二象限，
又因为正比例函数图象是直线，所以C选项符合．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的图象即可得解。
6．我们把[a，b]称为-次函数y=ax+b的“特征数”．如果“特征数"是[2，n+1]的一次函数为正比例函数，则n的值为
【答案】-1
【知识点】定义新运算；正比例函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得 n+1=0，解得n=-1．
【分析】根据正比例函数的定义，即可得解。
7．（2019八上·固镇月考）新定义：[a，b]为一次函数 (a≠0，a、b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[3，m-2] 的一次函数是正比例函数，则点(1-m，1+m)在第 象限．
【答案】二
【知识点】定义新运算；正比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵“关联数”为[3，m﹣2]的一次函数是正比例函数，
∴y＝3x+m﹣2是正比例函数，
∴m﹣2＝0，
解得：m＝2，
则1﹣m＝﹣1，1+m＝3，
故点（1﹣m，1+m）在第二象限．
故答案为：二．
【分析】根据新定义列出一次函数解析式，再根据正比例函数的定义确定m的值，进而确定坐标、确定象限.
三、类型三一次函数与几何图形综合中的新定义
8．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点，如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积的数值相等，则点P是和谐点．
（1）请判断点M(1，3)，N(3，6)是不是和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P(a，3)在直线y=x+3b(b为常数)上，求a、b的值．
【答案】（1）解：点M不是和谐点，点N是和谐点，
理由：∵M(1，3)，∴C=(1+3)×2=8，S=1×3=3，
∵8≠3，∴M(1，3)不是和谐点；
∵N(3，6)，∴C=(3+6)x2=18，S=3x6=18，
∵18= 18，∴N(3，6)是和谐点．
（2）解：∵P(a，3)是和谐点，
∴(a+3)×2=3a或(-a+3)×2=-3a，
解得a=6或a=-6．
把P(6，3)代入y=x+3b，得3=6+36，解得b=-1．
把P(-6，3)代入y=x+3b，
得3=-6+3b ，解得b=3．
综上所述，a=6，b=-1或a=-6，b=3．
【知识点】一次函数的图象；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据和谐点的定义，利用点MN的坐标分别求得矩形的周长与面积进行验证即可；
（2）根据和谐点的定义，列出关于a的方程，通过解方程可求得a的值，再把点p的坐标代入直线方程来求得b的值即可。韩国前锋区。
9．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x1，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“衍生矩形”．图为点P，Q的“衍生矩形”的示意图．
（1）已知点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(2，4)，求点A，B的“衍生矩形”的面积；
（2）已知点A的坐标为(-1，0)，点C在直线x=2上，若点A，C的“衍生矩形"为正方形，求直线AC的解析式
【答案】（1）解：∵点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(2，4)
∴由定义可知点A，B的“衍生矩形” 的宽与长分别为3和4，
∴点A，B的“衍生矩形”的面积为3×4= 12．
（2）解：由定义可知AC是点A，C的“衍生矩形"的对角线，
又∵点A，C的“衍生矩形”为正方形，
∴直线AC与x轴所夹的锐角为45°，
∴C(2，3)或(2，-3)，
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0) ，
把A，C坐标分别代入得，0=-k+b，3=2k+b或0=-k+b，-3= 2k+b，
解得k=1，b=1或k=-1，b=-1．
∴y=x+1或y=-x-1．
综上所述，若点A，C的“衍生矩形"为正方形，则直线AC的解析
式为y=x+1或y=-x-1．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题；定义新运算
【解析】【分析】（1）由矩形的定义可知，要求a与b的相关矩形面积，则ab必须为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的高度，进而可求出该矩形的面积；
（2）由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以ac与x轴的夹角必须为45度，设直线AC的解析式为 y=kx+b(k≠0) ， 解方程组即可得到结论。
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一、类型一实数运算中的新定 义
1．定义新运算“@”的运算法则为x@y= ，如1@2= ，那么4@8=
2．在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为a b=-2ab，如：1 5=-2×1×5=-10，则式子2 =
3．定义一种新运算：对于任意实数m、n，都有m◎n=m2-mn-5，等式右边是通常的减法、乘法及乘方运算，比如：2◎3=22-2×3-5=4-6-5=-7，试求 ◎4的值．
4．定义新运算：a b=a(1-b) ，其中等号右边是常规的乘法和减法运算，例如：(-1) 1=(-1)×(1-1)=0．
（1）计算：(1+ ) ；
（2）小嘉说：“若a+b=0，则a a+b b= 2ab．”你是否同意他的观点？请说明理由．
二、类型二坐标与函数中的新定义
5．定义新运算：a&b= ，
例如：3&4=12，3&(-4)=12，则函数y=2&x(x≠0)的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．我们把[a，b]称为-次函数y=ax+b的“特征数”．如果“特征数"是[2，n+1]的一次函数为正比例函数，则n的值为
7．（2019八上·固镇月考）新定义：[a，b]为一次函数 (a≠0，a、b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[3，m-2] 的一次函数是正比例函数，则点(1-m，1+m)在第 象限．
三、类型三一次函数与几何图形综合中的新定义
8．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点，如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积的数值相等，则点P是和谐点．
（1）请判断点M(1，3)，N(3，6)是不是和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P(a，3)在直线y=x+3b(b为常数)上，求a、b的值．
9．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x1，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“衍生矩形”．图为点P，Q的“衍生矩形”的示意图．
（1）已知点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(2，4)，求点A，B的“衍生矩形”的面积；
（2）已知点A的坐标为(-1，0)，点C在直线x=2上，若点A，C的“衍生矩形"为正方形，求直线AC的解析式
答案解析部分
1．【答案】6
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵x@y= ，∴4@8= =6．
【分析】把X=4、Y=8代入x@y= 中计算即可。
2．【答案】2
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：根据题中新定 义的运算得原式= =-2．
【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果。
3．【答案】解： ◎4=( )2- ×4-5=5-4 -5=-4
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得。
4．【答案】（1）解：(1+ ) 2=(1+ )×(1- )= 1-2=-1
（2）解：同意．理由如下：
∵a+b=0，∴a=-b，b=-a，
∴a a+b b=a (-b)+b (-a)=a(1+6)+b(1+a)=(a+b)+2ab= 2ab，．小嘉的观点正确．
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】（1）根据定义，新运算的式子，再利用平方差进行计算可得；
（2）先根据条件，可得 a=-b， 再结合所给的新定义运算公式可得。
5．【答案】C
【知识点】函数的图象；分段函数；定义新运算
【解析】【解答】由题意，得y=2&x=
当x>0时，正比例函数y=2x的图象在第一象限，
当x<0时，正比例函数y=-2x的图象在第二象限，
又因为正比例函数图象是直线，所以C选项符合．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的图象即可得解。
6．【答案】-1
【知识点】定义新运算；正比例函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得 n+1=0，解得n=-1．
【分析】根据正比例函数的定义，即可得解。
7．【答案】二
【知识点】定义新运算；正比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵“关联数”为[3，m﹣2]的一次函数是正比例函数，
∴y＝3x+m﹣2是正比例函数，
∴m﹣2＝0，
解得：m＝2，
则1﹣m＝﹣1，1+m＝3，
故点（1﹣m，1+m）在第二象限．
故答案为：二．
【分析】根据新定义列出一次函数解析式，再根据正比例函数的定义确定m的值，进而确定坐标、确定象限.
8．【答案】（1）解：点M不是和谐点，点N是和谐点，
理由：∵M(1，3)，∴C=(1+3)×2=8，S=1×3=3，
∵8≠3，∴M(1，3)不是和谐点；
∵N(3，6)，∴C=(3+6)x2=18，S=3x6=18，
∵18= 18，∴N(3，6)是和谐点．
（2）解：∵P(a，3)是和谐点，
∴(a+3)×2=3a或(-a+3)×2=-3a，
解得a=6或a=-6．
把P(6，3)代入y=x+3b，得3=6+36，解得b=-1．
把P(-6，3)代入y=x+3b，
得3=-6+3b ，解得b=3．
综上所述，a=6，b=-1或a=-6，b=3．
【知识点】一次函数的图象；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据和谐点的定义，利用点MN的坐标分别求得矩形的周长与面积进行验证即可；
（2）根据和谐点的定义，列出关于a的方程，通过解方程可求得a的值，再把点p的坐标代入直线方程来求得b的值即可。韩国前锋区。
9．【答案】（1）解：∵点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(2，4)
∴由定义可知点A，B的“衍生矩形” 的宽与长分别为3和4，
∴点A，B的“衍生矩形”的面积为3×4= 12．
（2）解：由定义可知AC是点A，C的“衍生矩形"的对角线，
又∵点A，C的“衍生矩形”为正方形，
∴直线AC与x轴所夹的锐角为45°，
∴C(2，3)或(2，-3)，
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0) ，
把A，C坐标分别代入得，0=-k+b，3=2k+b或0=-k+b，-3= 2k+b，
解得k=1，b=1或k=-1，b=-1．
∴y=x+1或y=-x-1．
综上所述，若点A，C的“衍生矩形"为正方形，则直线AC的解析
式为y=x+1或y=-x-1．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题；定义新运算
【解析】【分析】（1）由矩形的定义可知，要求a与b的相关矩形面积，则ab必须为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的高度，进而可求出该矩形的面积；
（2）由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以ac与x轴的夹角必须为45度，设直线AC的解析式为 y=kx+b(k≠0) ， 解方程组即可得到结论。
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