专题 1.2 充分必要条件
1 充分条件与必要条件
① 概念
一般地，”若p，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.
这时，我们就说，由p可以推出q，记作 ，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条
件.
如果”若p，则q”和它的逆命题”若q，则p”均是真命题，
即既有 ，又有q ，就记作 ，
此时p即是q的充分条件也是必要条件，我们说 是 的充要条件.
② p是q的______条件(填写是否充分、必要)
完成此题型，可思考
从左到右，若 则充分，若 则不充分；
从右到左，若q p则必要，若q 则不必要.
Eg：帅哥是男人的______条件.
从左到右，显然若 是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；
从右到左，若 是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.
③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围
(1) 命题 、 对应集合 、 ，
若 ，则 ，即 是 的充分条件；若 ，则 ，即 不是 的充分条件.
备注 若 ，则称 为小范围， 为大范围.
Eg1：帅哥是男人的______条件.
设集合 = {帅哥}，集合 = {男人}，显然 ，{帅哥}是小范围，推得出{男人}这个
大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.
Eg2：x > 1是x > 2的不充分必要条件，因为{x|x > 2} { | > 1}.
(2) 结论
① 若 是 的充分不必要条件，则 ；② 若 是 的必要不充分条件，则 ；
③ 若 是 的充分条件，则 ； ④ 若 是 的必要条件，则 ；
⑤ 若 是 的充要条件，则 = .
一、单选题
1．已知集合M 0,1,2 ， N 1,0,1, 2 ，则“ a M ”是“ a N ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．“ a b 0 ”是“ a4 b4 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．“ a b ”的一个充分条件是（ ）
1 1 1 1
A． B． ab b2 C． 0 D． a2 ab
a b b a
4．命题“ x 1, 2 ,3x2 a 0，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． a 3 B． a 2 C． a 4 D． a 2
5．“ a 0 ”是关于 x 的不等式 ax b 1的解集为 R 的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
6．2022 年 3 月 21 日，东方航空公司 MU5735 航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专
家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣
子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3 月 23 日 16 时 30 分左右，广西
武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员
座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的
名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知命题 p： 1 x 2，命题 q： x 3或 x 1，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．“ x 2 ”是“ x2 3x 2 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的
A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非
必要条件
12．设 a,b R , 则 “ (a b)a2 0 ”是“ a b ”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．命题 A： (x 1)2 9,命题 B：(x＋2)·(x＋a)<0；若 A 是 B 的充分不必要条件，则 a
的取值范围是
A．(－∞，－4) B．[4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(－∞，－4]
14．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中
“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．下列各题中，p 是 q 的充要条件的是（ ）
A．p： xy 0， q： x 0, y 0
B．p： x 1， q： x2 1
C．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分
D．p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例
a 1 b 116．“ 0 a b ”是“ ”的（ ）
a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
17．设 p：x > y，q： x2 y2 ，则 p 是 q 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不必要也不充分条件
18．已知条件 p : x 1 2 ，条件 q : x a ，且满足q是 p 的必要不充分条件，则
（ ）
A． a 3 B． a 1 C． a 1 D． a 1
2
19．设 a，b R，则“ a b ”是“ ab a b ”的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
20．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青
海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此
推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件专题 1.2 充分必要条件
1 充分条件与必要条件
① 概念
一般地，”若p，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.
这时，我们就说，由p可以推出q，记作 ，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条
件.
如果”若p，则q”和它的逆命题”若q，则p”均是真命题，
即既有 ，又有q ，就记作 ，
此时p即是q的充分条件也是必要条件，我们说 是 的充要条件.
② p是q的______条件(填写是否充分、必要)
完成此题型，可思考
从左到右，若 则充分，若 则不充分；
从右到左，若q p则必要，若q 则不必要.
Eg：帅哥是男人的______条件.
从左到右，显然若 是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；
从右到左，若 是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.
③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围
(1) 命题 、 对应集合 、 ，
若 ，则 ，即 是 的充分条件；若 ，则 ，即 不是 的充分条件.
备注 若 ，则称 为小范围， 为大范围.
Eg1：帅哥是男人的______条件.
设集合 = {帅哥}，集合 = {男人}，显然 ，{帅哥}是小范围，推得出{男人}这个
大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.
Eg2：x > 1是x > 2的不充分必要条件，因为{x|x > 2} { | > 1}.
(2) 结论
① 若 是 的充分不必要条件，则 ；② 若 是 的必要不充分条件，则 ；
③ 若 是 的充分条件，则 ； ④ 若 是 的必要条件，则 ；
⑤ 若 是 的充要条件，则 = .
一、单选题
1．已知集合M 0,1,2 ， N 1,0,1,2 ，则“ a M ”是“ a N ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【来源】湖北省华中师范大学第一附属中学 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】A
【解析】因为M N ,所以“ a M ” “ a N ”，但“ a N ”推不出“ a M ”，
所以“ a M ”是“ a N ”的充分不必要条件.
故选：A.
2．“ a b 0 ”是“ a4 b4 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【来源】安徽省阜阳市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】A
【解析】由“ a b 0 ”可以推出“ a4 b4 ”，由“ a4 b4 ”得“ | a | | b | ”，不能推出
“ a b 0 ”，所以“ a b 0 ”是“ a4 b4 ”的充分不必要条件．
故选：A.
3．“ a b ”的一个充分条件是（ ）
1 1 1 1
A． B． ab b2 C． 0 D． a2 ab
a b b a
【来源】江苏省盐城市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
1 1
【解析】对于 A，当 a 0 b 时，满足 ，无法得到 a b，充分性不成立，A 错误；
a b
b 0
对于 B，当 ab b2 时，b a b 0
b 0
， a 或 b a b，充分性不成立，B 错误；
1 1
对于 C，当 0时， a b 0，可得到 a b，C 正确；
b a
a 0 a 0
对于 D，当 a2 ab时， a a b 0， a b 或 a b，充分性不成立，D 错误.
故选：C.
4．命题“ x 1,2 ,3x2 a 0，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． a 3 B． a 2 C． a 4 D． a 2
【来源】河南省濮阳市第一高级中学 2021-2022 学年高一下学期期中理科数学试题
【答案】D
x 1,2 , 3x2【解析】 [3,12]，
2
因为命题“ x 1,2 ,3x a 0，”为真命题，
所以有 a 3，显然选项 A 是充要条件， 由 a 2不一定能推出 a 3，
由 a 4不一定能推出 a 3，由 a 2一定能推出 a 3，
故选：D
5．“ a 0 ”是关于 x 的不等式 ax b 1的解集为 R 的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【来源】专题 13 充分条件与必要条件-2022 年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义
（人教 A 版 2019）
【答案】B
【解析】
【分析】若 a 0，取b 1时，不等式 ax b 1 1 1，此时不等式解集为 ；
当 a 0时，不等式 ax b 1的解集为{x | x
b 1
}，
a
b 1
当 a 0时，不等式 ax b 1的解集为{x | x }，
a
当 a 0，且b 1时，不等式 ax b 1 b 1 b 1，
所以，若关于 x 的不等式 ax b 1的解集为 R，则 a 0 .
综上，“ a 0 ”是关于 x 的不等式 ax b 1的解集为 R 的必要非充分条件.
故选：B
6．2022 年 3 月 21 日，东方航空公司 MU5735 航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专
家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣
子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3 月 23 日 16 时 30 分左右，广西
武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员
座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【来源】专题 13
充分条件与必要条件-2022 年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（人教 A 版 2019）
【答案】C
【解析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，
则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；
而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，
故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，
故选：C．
7．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的
名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【来源】2.2 充分条件、必要条件、充要条件
【答案】B
【解析】由已知设“积跬步”为命题 p ，“至千里”为命题q，
“故不积跬步，无以至千里”，即“若 p ，则 q ”，
其逆否命题为“若q则 p ”，反之不成立，
所以命题 p 是命题q的必要不充分条件，
故选：B.
8．已知命题 p： 1 x 2，命题 q： x 3或 x 1，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【来源】专题 13 充分条件与必要条件-2022 年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义
（人教 A 版 2019）
【答案】A
【解析】因为 1,2 ， 3 1, ，
所以 p 是 q 的充分不必要条件.
故选：A
9．“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
=
【答案】C
【解析】根据相似三角形的性质得，由“两个三角形相似”可得到“两个三角形三边成比
例”，即充分性成立；
反之：由“两个三角形三边成比例”可得到“两个三角形相似”，即必要性成立，
所以“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的充分必要条件.
故选：C.
10．“ x 2 ”是“ x2 3x 2 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【来源】河南省驻马店市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】A
【解析】解方程 x2 3x 2 0 可得 x 1或 x 2，
2 1,2 ，因此，“ x 2 ”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件.
故选：A.
11．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的
A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非
必要条件
【来源】第 05 讲 充分条件、必要条件、充要条件-【暑假自学课】2022 年新高一数学
暑假精品课（苏教版 2019 必修第一册）
【答案】B
【解析】
【详解】
根据等价命题，便宜 没好货，等价于，好货 不便宜，故选 B．
12．设 a,b R , 则 “ (a b)a2 0 ”是“ a b ”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【来源】2.2 常用逻辑用语（培优讲义）-2022 年初升高数学无忧衔接
【答案】A
【解析】由 (a b)a2 0一定可得出 a b ；但反过来，由 a b 不一定得出 (a b)a2 0，
如 a 0，故选 A.
13．命题 A： (x 1)2 9,命题 B：(x＋2)·(x＋a)<0；若 A 是 B 的充分不必要条件，则 a
的取值范围是
A．(－∞，－4) B．[4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(－∞，－4]
【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】A
2
【解析】记 A x | (x 1) 9 , B x | (x 2)(x a) 0 ;根据题意知 A B ，所以
a 4,则a 4.故选 A
14．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中
“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【来源】贵州省毕节市第一中学 2021-2022 学年高一上学期第二次阶段性考试数学试题
【答案】B
【解析】“返回家乡”的前提条件是“攻破楼兰”，
故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件
故选：B
15．下列各题中，p 是 q 的充要条件的是（ ）
A．p： xy 0， q： x 0, y 0
B．p： x 1， q： x2 1
C．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分
D．p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例
【来源】新疆吐鲁番市 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】D
所以 p 是q的充分不必要条件，不符合题意；
对于 C 中，若四边形是正方形，可得四边形的对角线互相垂直且平分，即充分性成立；
反之：若四边形的对角线互相垂直且平分，但四边形不一定是正方形，即必要性不成立，
所以 p 是q的充分不必要条件，不符合题意；
对于 D 中，若两个三角形相似，可得两个三角形三边成比例，即充分性成立；
反之：若两个三角形三边成比例，可得两个三角形相似，即必要性成立，
所以 p 是q的充分必要条件，符合题意.
故选：D.
1 1
16．“ 0 a b ”是“ a b ”的（ ）
a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【来源】湖南省长沙市周南中学 2021-2022 学年高一下学期分班考试数学试题
【答案】A
1
【解析】 y x 在 ,0 和 0, 上均为增函数，
x
1 1当0 a b时， a b ，充分性成立；
a b
当 a
1
b 1 时， a b 0或0 a b，必要性不成立；
a b
1 1“ 0 a b ”是“ a b ”的充分不必要条件.
a b
故选：A.
17．设 p：x > y，q： x2 y2 ，则 p 是 q 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不必要也不充分条件
【来源】天津市红桥区 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
【解析】先验证 p q ，若 x 0, y 1，显然满足 x y ，但不满足 x2 y2 ，所以不成
立；
再验证 q p ，若 x 1, y 0，显然满足 x2 y2 ，但不满足 x y ，所以不成立.
故选：D.
18．已知条件 p : x 1 2 ，条件 q : x a ，且满足q是 p 的必要不充分条件，则
（ ）
A． a 3 B． a 1 C． a 1 D． a 1
【来源】第 03 练 常用逻辑用语-2022 年【寒假分层作业】高一数学（人教 A 版 2019
选择性必修第一册）
【答案】D
【解析】 p : x 1 2，即 1 x 3，
又q是 p 的必要不充分条件，
所以 a 1，
故选：D.
2
19．设 a，b R，则“ a b ”是“ ab a b ”的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【来源】湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中 2021-2022 学年高一上学期 12 月联考数学
试题
【答案】A
a b a b
2
a2 b2 2ab a b 2 2
【解析】若 a b，则 ab 0
即 ab ，
2 4 4 2
a b
2
a b
2
a2 b2 2ab a b 2
若 ab 即 ab
0，
2 2 4 4
则 a b 0或 a b 0，
2
所以若 a,b R ，则“ a b a b 是 ab ”的充分不必要条件.
2
故选：A
20．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青
海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此
推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【来源】第 03 练 常用逻辑用语-2022 年【寒假分层作业】高一数学（人教 A 版 2019
选择性必修第一册）
【答案】B
【解析】“攻破楼兰”不一定会返回家乡，不充分；
“返回家乡”了一定是在攻破楼兰的前提下，必要.
故选：B.
