江苏省扬州市2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题

扬州市2013—2014学年度第一学期高二数学期中测试卷
2013.11
填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
命题“”的逆否命题为 ▲
命题“”的否定是“ ▲ ”．
3. “”是“”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”）
4．已知一个球的表面积为，则这个球的体积为 ▲ .
5.已知抛物线的准线方程为错误！未找到引用源。，则抛物线的标准方程为 ▲ ．
6．已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ .
7. 过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 ▲ .
8.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：
① 若∥，，，则∥；② 若∥，m (，n∥，则(；
③ 若(，m ( ，n (，则m ( n； ④ 若(，m (，n∥，则∥．
上面命题中，所有真命题的序号为 ▲ ．
9.已知正四棱柱ABCD ( A1B1C1D1的对角线AC1的长为，且AC1与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积为 ▲ ．

（第9题） (第10题)
10．如图为圆的直径，点在圆周上（异于点）直线垂直于圆所在的平面，点为线段的中点，有以下四个命题：
(1)PA//平面MOB; (2)MO//平面PAC (3)OC平面PAB; （4）
其中正确的命题是 ▲ .
11.已知点错误！未找到引用源。在抛物线错误！未找到引用源。上，那么点错误！未找到引用源。到点错误！未找到引用源。的距离与点错误！未找到引用源。到抛物线焦点的距离之和取最小值时，点错误！未找到引用源。的坐标为 ▲ .
12.已知命题“”，若命题是假命题，则实数
的取值范围是 ▲ .
13．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为　　▲ 　．
14．如图，已知过椭圆的左顶点A(－a，0)作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为 ▲ ．

（第13题）
二、解答题（本大题共6题，共90分）
15．(本小题满分14分)
已知，若是充分而不必要条件，求实数的取值范围.
16．（本小题满分14分）
设命题：方程表示双曲线，
命题：圆与圆相交．
若“且”为真命题，求实数的取值范围．
17．(本小题满分15分)
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
AB＝AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC1上，
且AC1＝4AF.
(1)求证：平面ADF⊥平面BCC1B1；
(2)求证：EF //平面ABB1A1.
18. （本小题满分15分）
如图在直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=，曲线DE上任一点到A、B两点距离之和为常数.
（1）建立适当的坐标系，求曲线DE的方程；
（2）过C点作一条与曲线DE相交且以C为中点的弦，求出弦所在直线的方程.
19. （本小题满分16分）
如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.
（1） 求证：平面AEC平面ABE；
（2） 点F在BE上，若DE//平面ACF，求的值。
20．（本小题满分16分）
如图，点A（( a，0），B（，）是椭圆上的两点，直线AB与y轴交于点C（0，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P，Q，求PQ的取值范围．
2013—2014学年度第一学期高二数学期中测试卷答案
一、填空题
1、 2、 3、 必要不充分 4、 5、
6、 7、 8、②③ 9、2 10、（2）、（4） 11、 12、 13、 14、
二、解答题
15．(本小题满分14分)
已知，若是充分而不必要条件，求实数的取值范围.
解:由题意 p: ∴ …… (3分)
∴：……. (5分) q：…… (8分)
∴：…… (10分)
又∵是充分而不必要条件∴ 且等号不同时成立
∴…… (14分)
16．(本小题14分)
设命题：方程表示双曲线，
命题：圆与圆相交．
若“且”为真命题，求实数的取值范围．
解：若真，即方程表示双曲线，
则，． ………………………………………5分
若真，即圆与圆相交，
则． …………………………………………10分
若“且”为真命题，则假真，
，即，
符合条件的实数的取值范围是． ………………………………14分
17．(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
AB＝AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC1上，
且AC1＝4AF.
(1)求证：平面ADF⊥平面BCC1B1；
(2)求证：EF //平面ABB1A1.
证明：(1) 因为直三棱柱ABC－A1B1C1，所以CC1(平面ABC，
而AD(平面ABC， 所以CC1(AD. ……………… 2分
又AB＝AC，D为BC中点，所以AD(BC，……………… 4分
因为BC(CC1＝C，BC(平面BCC1B1，CC1(平面BCC1B1，
所以AD(平面BCC1B1， ……………… 6分
因为AD(平面ADF，所以平面ADF⊥平面BCC1B1. ……………… 7分
(2) 连结CF延长交AA1于点G，连结GB.
因为AC1＝4AF，AA1//CC1，所以CF＝3FG，……………… 9分
又因为D为BC中点，点E为BD中点，所以CE＝3EB，……………… 11分
所以EF//GB，而EF(平面ABBA1，GB (平面ABBA1，
所以EF //平面ABBA1. ……………… 14分
18.（15分）如图在直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=，曲线DE上任一点到A、B两点距离之和为常数.
（1）建立适当的坐标系，求曲线DE的方程；
（2）过C点作一条与曲线DE相交且以C为中点的弦，求出弦所在直线的方程.
解：⑴a＝（｜AD｜＋｜BD｜）＝4，可求出曲线DE的方程为＝1，（－2≤x≤4,0≤y≤2）　　………………7分
（2）椭圆弧DE与y轴的交点M（0，），与x轴的交点N（4，0），C（2，）为M，N的中点，所以弦MN即为所求，其所在直线方程为.……15分
19.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.
（1） 求证：平面AEC平面ABE；
（2） 点F在BE上，若DE//平面ACF，求的值。
解：（1）证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC．
因为平面ABCD⊥平面BCE，
平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB(平面ABCD，
所以AB⊥平面BCE． ……………… 3分
因为CE(平面BCE，所以CE⊥AB．
因为CE⊥BE，AB(平面ABE，BE(平面ABE，AB∩BE＝B，
所以CE⊥平面ABE． ………………………… 6分
因为CE(平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE． ………………………… 8分
（2）连结BD交AC于点O，连结OF．
因为DE∥平面ACF，DE(平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，
所以DE//OF． ………………………… 13分
又因为矩形ABCD中，O为BD中点，
所以F为BE中点，即＝． ………………………… 16分
20．（本小题满分16分）
如图，点A（( a，0），B（，）是椭圆上的两点，直线AB与y轴交于点C（0，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P，Q，求PQ的取值范围．
解：（1）由B（，），C（0，1），得直线BC方程为．………… 2分
令y = 0，得x = (2，∴a = 2． ………… 3分
将B（，）代入椭圆方程，得．∴b2 = 2．
椭圆方程为． ………… 5分
（2）① 当PQ与x轴垂直时，PQ = ； ………… 6分
② 当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ：y = kx ( 1（k≥0），
代入椭圆方程x2 ( 2y2 ( 4 = 0，得x2 ( 2(kx ( 1)2 ( 4 = 0．
即 (2k2 ( 1) x2 ( 4kx ( 2 = 0． ………… 8分
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 ．
则 | x1 ( x2 | = ．PQ = ． ………… 10分
=． ………… 12分
∵，在k =时取等号， ………… 14分
∴PQ2 = (（8，9]．则PQ(． ………… 15分
由①，②得PQ的取值范围是． ………… 16分