【精品解析】人教A版（2019） 必修一 5.4 正弦函数、余弦函数的图像与性质

人教A版（2019） 必修一 5.4 正弦函数、余弦函数的图像与性质
一、单选题
1．（2020高三上·郑州月考）已知点 在函数 （ 且 ， ）的图象上，直线 是函数 的图象的一条对称轴．若 在区间 内单调，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】由题意得， ，得 ，得 ，又因为 在区间 内单调，所以 ，得 ，得 ．所以 ．又因为 ，所以 或3．
当 时， ，得 ，又 ，所以 ，此时直线 的函数 的图象的一条对称轴，且 在区间 内单调．所以 ．
当 时， ，得 ，又 ，所以 ，
此时 ，所以直线 不是函数 的图象的一条对称轴．所以 ， ．
故答案为：B．
【分析】根据函数的单调区间得到周期的范围，结合函数零点与对称轴之间的关系，求出 即可。
2．（2020高三上·南阳月考）已知当 时， 取得最大值，则下列说法正确的是（　　）
A． 是 图像的一条对称轴
B． 在 上单调递增
C．当 时， 取得最小值
D．函数 为奇函数
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】当 时， 取得最大值，
所以 .
所以 .
令 所以A不正确；
令 ，
所以函数的单调递增区间为 ，所以B符合题意；
当 时， ，所以该C不正确；
函数 为偶函数，所以D不正确.
故答案为：B
【分析】由正弦函数的图象和已知条件可求出值，再根据正弦函数的图象和性质对每一个选项逐一进行分析，即可得到答案。
3．（2020高一上·保山月考）在 上，满足 的 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】根据 的图象可知：当 时， 或 ，
数形结合可知：
当 ，得 ．
故答案为：B.
【分析】根据 的函数图象结合特殊角的三角函数值，即可容易求得结果.
4．（2020高一上·保山月考）函数 图象的一条对称轴方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】令 ，则
故答案为：C
【分析】根据正弦函数的对称轴方程，即可得对称轴 ，进而可知正确选项；
5．（2020高一上·舒城期末）同时具备以下性质：“①最小周期是 ；②图象关于直线 对称；③在 上是增函数；④一个对称中心为 ”的一个函数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】由“①最小正周期是π，可得ω=2，排除A；②图象关于直线x= 对称；可得： +φ= ，k∈Z．对于D选项：φ=﹣ ，不满足，排除D；
④一个对称中心为 ”代入函数y中，B选项不满足．排除B；
故答案为：C．
【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式、正弦函数图象的对称性、单调性，从而求出满足要求的正弦型函数。
6．（2020高三上·宁城月考）已知函数 ( ， )在区间 上单调，且 ，则 的最小正周期为（　　）
A． B．π C．2π D．4π
【答案】B
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】∵函数 ， ， ，若 在区间 上单调，
∴ ，即 ，∴ ，
∵ ，
∴ 为 的一条对称轴，
且 即 为 的一个对称中心，
∴ ，∴
∴ .
故答案为：B.
【分析】由题意求得 为 的一条对称轴， 为 的一个对称中心，根据 ，可解得 的值，进而求出结果．
7．（2020·泉州模拟）已知 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则；正弦函数的性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ，故 ．
又 ，所以 ．
故答案为：B．
【分析】先判断 ，再引入中间变量 ，比较 的大小，即可得答案
8．下列关系式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由诱导公式可得 ， ，
由正弦函数 在 上单调递增可知 ，
所以 ．
故答案为：B.
【分析】由诱导公式得 ， ，再由正弦函数的单调性即可得解.
二、多选题
9．（2020高三上·湖北月考）已知函数 的最小正周期为 ，且 ，则 的值可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由题意知， ，因为 ，
所以直线 为函数 图象的一条对称轴，即 或 ，
所以， ， ，解得 ， ．
因为 ，所以 或 ．
故答案为：AD．
【分析】根据周期公式可求出 ，再根据 可知直线 为函数 图象的一条对称轴，即可得 或 ，即可解出 ．
10．（2020高三上·永州月考）若函数 的两相邻对称轴之间的距离为 ，且 时 有最大值，则下列结论成立的是（　　）
A．
B．函数 的一个单调递减区间为
C．函数 的图象关于点 对称
D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】A,D
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】∵相邻对称轴之间的距离为 ，可得周期 ，
即 ，∴ ，
∵ 时 有最大值，∴ ，
∴ ，结合 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，A符合题意；
当 时， ，由余弦函数性质得先减后增，B不符合题意；
由于 ，C不符合题意；
由于 ，所以函数 的图象关于直线 对称，D符合题意；
故答案为：AD.
【分析】通过周期性求出 的值，通过最值求出 的值，按照余弦函数的性质逐一判断即可.
11．（2020高三上·福建月考）设函数 ，已知 在 有且仅有5个零点．下面论述正确的是（　　）．
A． 在 有且仅有3个极大值点
B． 在 有且仅有2个极小值点
C． 在 单调递增
D． 的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：当 时， ，
因为 在 有且仅有5个零点，
所以 在 上有且仅有3个极大值点，而极小值点有2个或3 个，所以A符合题意，B不符合题意；
因为 ，所以 ，所以D符合题意；
当 时， ，
若 在 单调递增，则 ，得 ，而 ，所以C符合题意，
故答案为：ACD
【分析】结合正弦函数的图象和性质可判断A，B选项，根据 在 有且仅有5个零点，可得 ，解出 ，可判断D，由 ，得 ，而要 在 单调递增，从而可得 ，进而可求出 的范围，可判断C
12．（2020高三上·黄冈月考）已知函数 则下列说法正确的是（　　）
A． 的值域是
B． 是以 为最小正周期的周期函数
C． 在区间 上单调递增
D． 在 上有 个零点
【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】根据题意，画出函数 在 的图象，如图所示
A. 根据图像可知， 的值域是 ，正确；
B. 是以 为最小正周期的周期函数，错误；
C. 在区间 上单调递增，正确；
D. 在 上有 个零点，正确；
故答案为：ACD.
【分析】采用数形结合，并逐一验证可得结果.
13．（2020高一下·沈阳期末）下面关于 叙述中正确的是（　　）
A．关于点 对称
B．关于直线 对称
C．在区间 上单调
D．函数 的零点为
【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的性质；函数的零点
【解析】【解答】对于A： ，A符合题意；
对于B： ，不是最值，B不符合题意；
对于C： ，
则 的单调递增区间为 ，
又 ，则C符合题意.
对于D： ，则D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】对于A：直接代入 即可判断；对于B：代入检验是否为最值即可判断；对于C：求出 的单调增区间即可判断；对于D：直接代入 即可判断.
三、填空题
14．（2020高一上·舒城期末）已知函数 ，若实数 互不相等，且满足 ，则 的取值范围是　 　.
【答案】（8，23）
【知识点】余弦函数的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】由题意函数 在 上递减， 上递增， 上递减，作出图像，如图．
设 ，则 ，不妨设 ，
，由 ，得 ，所以 ，所以 .
故答案为：（8，23）．
【分析】研究函数的单调性，确定 的关系及范围．
15．（2020高三上·天津月考）函数 的一个单调递减区间是　 　.
【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，令 ，解得 .
所以，函数 的减区间为 .
故答案为： .
【分析】将函数解析式化为 ，结合正弦型函数的单调性可求得该函数的单调递减区间.
16．（2020·新课标Ⅲ·理）关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是　 　．
【答案】②③
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于命题①， ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取 可判断命题④的正误.综合可得出结论.
17．（2020高一下·上海期末）函数 的最小值为　 　.
【答案】-3
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】 ，
，
，
所以函数的最小值为-3.
故答案为：-3
【分析】根据余弦型函数的图象与性质即可求解.
18．（2020高一下·太原期中）函数 在 上单调递减，则正实数 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由函数 在 上单调递减，可得函数的半个周期大于或等于 ，
即 ， ．
由 ，且 ，求得 ， ，
则正实数 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【分析】由条件利用正弦函数的单调性，求得正实数 的取值范围．
四、解答题
19．（2020高三上·平顶山月考）已知函数 的最小正周期为 ，且 为图象的一个对称中心，求函数 在区间 上的值域.
【答案】解：函数 的最小正周期为 ，
得 ， .
∵ 为图象的一个对称中心，
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
即函数 在 上的值域为 .
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】根据函数周期求出 ，再根据对称中心求出 ，由正弦型函数的图象与性质求出值域即可.
20．（2020高二上·安徽月考）若函数 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为 ，且当 时， 取得最小值.
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求 的值域.
【答案】（1）解：由题意，函数 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为 ，
可得 的周期 ，即 ，解得 ，
又因为当 时， 取得最小值，
所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以
（2）解：因为 ，可得 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
当 时， 取得最大值 ，
所以函数 的值域是
【知识点】余弦函数的图象
【解析】【分析】（1）由题设条件，求得 的周期 ，得到 ，再由 时， 取得最小值，求得 ，即可得到函数的解析式；（2）因为 ，可得 ，结合三角函数的性质，即可求解.
21．（2020高一下·东莞月考）设函数 .
（1）若 ，求 的单调递增区间；
（2）当 时， 的值域为 ，求 的值.
【答案】（1）解：当 时，函数 的单调递增区间与函数 的单调递增区间相同，
令 ，可得 ，
的单调递增区间为 .
（2）解：当 时， ，
的值域为 ，
当 时，有 ，解得 ；
当 时，有 ，解得 .
综上， ， 或 ， .
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）当 时，函数 的单调递增区间与函数 的单调递增区间相同，令 即求；（2）由 ，求出 的取值范围，根据 的值域为 ，分 和 两种情况讨论.
22．（2020高一下·平谷月考）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值，并求出取最值时 的值．
【答案】（1）解：函数 的最小正周期为 ，
由 的单调增区间是 可得
，解得
故函数 的单调递增区间是 ．
（2）解：设 ， 则 ，由 在 上的图象知，当 时，即 ， ；
当 时，即 ， ．
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）由三角函数周期公式即可算出周期，利用代换法可求单调递增区间；（2）换元，设 ，转为求函数 在 上的最值，作出图像，即可求出最值，以及取最值时的 的值．
1 / 1人教A版（2019） 必修一 5.4 正弦函数、余弦函数的图像与性质
一、单选题
1．（2020高三上·郑州月考）已知点 在函数 （ 且 ， ）的图象上，直线 是函数 的图象的一条对称轴．若 在区间 内单调，则 （　　）
A． B． C． D．
2．（2020高三上·南阳月考）已知当 时， 取得最大值，则下列说法正确的是（　　）
A． 是 图像的一条对称轴
B． 在 上单调递增
C．当 时， 取得最小值
D．函数 为奇函数
3．（2020高一上·保山月考）在 上，满足 的 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高一上·保山月考）函数 图象的一条对称轴方程是（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高一上·舒城期末）同时具备以下性质：“①最小周期是 ；②图象关于直线 对称；③在 上是增函数；④一个对称中心为 ”的一个函数是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020高三上·宁城月考）已知函数 ( ， )在区间 上单调，且 ，则 的最小正周期为（　　）
A． B．π C．2π D．4π
7．（2020·泉州模拟）已知 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
8．下列关系式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2020高三上·湖北月考）已知函数 的最小正周期为 ，且 ，则 的值可以为（　　）
A． B． C． D．
10．（2020高三上·永州月考）若函数 的两相邻对称轴之间的距离为 ，且 时 有最大值，则下列结论成立的是（　　）
A．
B．函数 的一个单调递减区间为
C．函数 的图象关于点 对称
D．函数 的图象关于直线 对称
11．（2020高三上·福建月考）设函数 ，已知 在 有且仅有5个零点．下面论述正确的是（　　）．
A． 在 有且仅有3个极大值点
B． 在 有且仅有2个极小值点
C． 在 单调递增
D． 的取值范围是
12．（2020高三上·黄冈月考）已知函数 则下列说法正确的是（　　）
A． 的值域是
B． 是以 为最小正周期的周期函数
C． 在区间 上单调递增
D． 在 上有 个零点
13．（2020高一下·沈阳期末）下面关于 叙述中正确的是（　　）
A．关于点 对称
B．关于直线 对称
C．在区间 上单调
D．函数 的零点为
三、填空题
14．（2020高一上·舒城期末）已知函数 ，若实数 互不相等，且满足 ，则 的取值范围是　 　.
15．（2020高三上·天津月考）函数 的一个单调递减区间是　 　.
16．（2020·新课标Ⅲ·理）关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是　 　．
17．（2020高一下·上海期末）函数 的最小值为　 　.
18．（2020高一下·太原期中）函数 在 上单调递减，则正实数 的取值范围是　 　．
四、解答题
19．（2020高三上·平顶山月考）已知函数 的最小正周期为 ，且 为图象的一个对称中心，求函数 在区间 上的值域.
20．（2020高二上·安徽月考）若函数 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为 ，且当 时， 取得最小值.
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求 的值域.
21．（2020高一下·东莞月考）设函数 .
（1）若 ，求 的单调递增区间；
（2）当 时， 的值域为 ，求 的值.
22．（2020高一下·平谷月考）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值，并求出取最值时 的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】由题意得， ，得 ，得 ，又因为 在区间 内单调，所以 ，得 ，得 ．所以 ．又因为 ，所以 或3．
当 时， ，得 ，又 ，所以 ，此时直线 的函数 的图象的一条对称轴，且 在区间 内单调．所以 ．
当 时， ，得 ，又 ，所以 ，
此时 ，所以直线 不是函数 的图象的一条对称轴．所以 ， ．
故答案为：B．
【分析】根据函数的单调区间得到周期的范围，结合函数零点与对称轴之间的关系，求出 即可。
2．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】当 时， 取得最大值，
所以 .
所以 .
令 所以A不正确；
令 ，
所以函数的单调递增区间为 ，所以B符合题意；
当 时， ，所以该C不正确；
函数 为偶函数，所以D不正确.
故答案为：B
【分析】由正弦函数的图象和已知条件可求出值，再根据正弦函数的图象和性质对每一个选项逐一进行分析，即可得到答案。
3．【答案】B
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】根据 的图象可知：当 时， 或 ，
数形结合可知：
当 ，得 ．
故答案为：B.
【分析】根据 的函数图象结合特殊角的三角函数值，即可容易求得结果.
4．【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】令 ，则
故答案为：C
【分析】根据正弦函数的对称轴方程，即可得对称轴 ，进而可知正确选项；
5．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象
【解析】【解答】由“①最小正周期是π，可得ω=2，排除A；②图象关于直线x= 对称；可得： +φ= ，k∈Z．对于D选项：φ=﹣ ，不满足，排除D；
④一个对称中心为 ”代入函数y中，B选项不满足．排除B；
故答案为：C．
【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式、正弦函数图象的对称性、单调性，从而求出满足要求的正弦型函数。
6．【答案】B
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】∵函数 ， ， ，若 在区间 上单调，
∴ ，即 ，∴ ，
∵ ，
∴ 为 的一条对称轴，
且 即 为 的一个对称中心，
∴ ，∴
∴ .
故答案为：B.
【分析】由题意求得 为 的一条对称轴， 为 的一个对称中心，根据 ，可解得 的值，进而求出结果．
7．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则；正弦函数的性质
【解析】【解答】因为 ，所以 ，故 ．
又 ，所以 ．
故答案为：B．
【分析】先判断 ，再引入中间变量 ，比较 的大小，即可得答案
8．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由诱导公式可得 ， ，
由正弦函数 在 上单调递增可知 ，
所以 ．
故答案为：B.
【分析】由诱导公式得 ， ，再由正弦函数的单调性即可得解.
9．【答案】A,D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由题意知， ，因为 ，
所以直线 为函数 图象的一条对称轴，即 或 ，
所以， ， ，解得 ， ．
因为 ，所以 或 ．
故答案为：AD．
【分析】根据周期公式可求出 ，再根据 可知直线 为函数 图象的一条对称轴，即可得 或 ，即可解出 ．
10．【答案】A,D
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】∵相邻对称轴之间的距离为 ，可得周期 ，
即 ，∴ ，
∵ 时 有最大值，∴ ，
∴ ，结合 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，A符合题意；
当 时， ，由余弦函数性质得先减后增，B不符合题意；
由于 ，C不符合题意；
由于 ，所以函数 的图象关于直线 对称，D符合题意；
故答案为：AD.
【分析】通过周期性求出 的值，通过最值求出 的值，按照余弦函数的性质逐一判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：当 时， ，
因为 在 有且仅有5个零点，
所以 在 上有且仅有3个极大值点，而极小值点有2个或3 个，所以A符合题意，B不符合题意；
因为 ，所以 ，所以D符合题意；
当 时， ，
若 在 单调递增，则 ，得 ，而 ，所以C符合题意，
故答案为：ACD
【分析】结合正弦函数的图象和性质可判断A，B选项，根据 在 有且仅有5个零点，可得 ，解出 ，可判断D，由 ，得 ，而要 在 单调递增，从而可得 ，进而可求出 的范围，可判断C
12．【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】根据题意，画出函数 在 的图象，如图所示
A. 根据图像可知， 的值域是 ，正确；
B. 是以 为最小正周期的周期函数，错误；
C. 在区间 上单调递增，正确；
D. 在 上有 个零点，正确；
故答案为：ACD.
【分析】采用数形结合，并逐一验证可得结果.
13．【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的性质；函数的零点
【解析】【解答】对于A： ，A符合题意；
对于B： ，不是最值，B不符合题意；
对于C： ，
则 的单调递增区间为 ，
又 ，则C符合题意.
对于D： ，则D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】对于A：直接代入 即可判断；对于B：代入检验是否为最值即可判断；对于C：求出 的单调增区间即可判断；对于D：直接代入 即可判断.
14．【答案】（8，23）
【知识点】余弦函数的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】由题意函数 在 上递减， 上递增， 上递减，作出图像，如图．
设 ，则 ，不妨设 ，
，由 ，得 ，所以 ，所以 .
故答案为：（8，23）．
【分析】研究函数的单调性，确定 的关系及范围．
15．【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，令 ，解得 .
所以，函数 的减区间为 .
故答案为： .
【分析】将函数解析式化为 ，结合正弦型函数的单调性可求得该函数的单调递减区间.
16．【答案】②③
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】对于命题①， ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取 可判断命题④的正误.综合可得出结论.
17．【答案】-3
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】 ，
，
，
所以函数的最小值为-3.
故答案为：-3
【分析】根据余弦型函数的图象与性质即可求解.
18．【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由函数 在 上单调递减，可得函数的半个周期大于或等于 ，
即 ， ．
由 ，且 ，求得 ， ，
则正实数 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【分析】由条件利用正弦函数的单调性，求得正实数 的取值范围．
19．【答案】解：函数 的最小正周期为 ，
得 ， .
∵ 为图象的一个对称中心，
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
即函数 在 上的值域为 .
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】根据函数周期求出 ，再根据对称中心求出 ，由正弦型函数的图象与性质求出值域即可.
20．【答案】（1）解：由题意，函数 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为 ，
可得 的周期 ，即 ，解得 ，
又因为当 时， 取得最小值，
所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以
（2）解：因为 ，可得 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
当 时， 取得最大值 ，
所以函数 的值域是
【知识点】余弦函数的图象
【解析】【分析】（1）由题设条件，求得 的周期 ，得到 ，再由 时， 取得最小值，求得 ，即可得到函数的解析式；（2）因为 ，可得 ，结合三角函数的性质，即可求解.
21．【答案】（1）解：当 时，函数 的单调递增区间与函数 的单调递增区间相同，
令 ，可得 ，
的单调递增区间为 .
（2）解：当 时， ，
的值域为 ，
当 时，有 ，解得 ；
当 时，有 ，解得 .
综上， ， 或 ， .
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）当 时，函数 的单调递增区间与函数 的单调递增区间相同，令 即求；（2）由 ，求出 的取值范围，根据 的值域为 ，分 和 两种情况讨论.
22．【答案】（1）解：函数 的最小正周期为 ，
由 的单调增区间是 可得
，解得
故函数 的单调递增区间是 ．
（2）解：设 ， 则 ，由 在 上的图象知，当 时，即 ， ；
当 时，即 ， ．
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）由三角函数周期公式即可算出周期，利用代换法可求单调递增区间；（2）换元，设 ，转为求函数 在 上的最值，作出图像，即可求出最值，以及取最值时的 的值．
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