高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程，2.1.2求曲线方程
一、选择题
1．方程 表示的图形是（ ）
A．圆 B．两条直线 C．一个点 D．两个点
2．方程 表示的曲线为图中的（ ）
A． B．
C． D．
3．方程 表示的图形经过点 ， ， ， 中的（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
4．已知坐标满足方程 的点都在曲线 上，那么（ ）
A．曲线 上的点的坐标都适合方程
B．凡坐标不适合 的点都不在 上
C．不在 上的点的坐标必不适合
D．不在 上的点的坐标有些适合 ，有些不适合
5．已知点 ．若曲线 上存在两点 ，使△ 为正三角形，则称 为 型曲线．给定下列三条曲线：
① ；② ；③ ．
其中， 型曲线的个数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知两点 、 ，点 为坐标平面内的动点，满足 ，则动点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ， ，则以 为斜边的直角三角形的直角顶点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．一条线段的长等于 ，两端点 分别在 轴和 轴上滑动， 在线段 上且 ，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．一动点到 轴距离比到点 的距离小 ，则此动点的轨迹方程为 .
10．曲线 与曲线 的交点有 个．
11．如图，在△ 中，已知 ， 于 ，△ 的垂心为 ，且 ，则点 的轨迹方程为 .
三、解答题
12．已知方程
（1）判断 两点是否在此方程表示的曲线上；
（2）若点 在此方程表示的曲线上，求 的值．
13．已知线段 与 互相垂直平分于点 ， 动点 满足 .求动点 的轨迹方程．
14．已知曲线 是动点 到两个定点 、 距离之比为 的点的轨迹.
（1）求曲线 的方程；
（2）求过点 且与曲线 相切的直线方程.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【解答】由已知得 即 所以方程表示点 ．
故答案为：C
【分析】直接利用二次根式及平方的非负数性质得到答案。
2．【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】 ， ，为偶函数，图象关于 轴对称，故排除A，B.
又因为当 时， ；当 时， ，所以排除D.故答案为：C.
【分析】利用函数的定义域，奇偶性及绝对值的化简可得到函数的图象。
3．【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】由方程 ，可知 ， 两点不符合题意；对于点 ， ，则有 ；对于点 ， .故答案为：C.
【分析】先根据对数函数的真数必须要满足正数，排除不符合的坐标；再把点代入方程检验是否成立，从而可得到答案。
4．【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】根据题意可以举例方程 为 ，曲线 为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线 的一部分，结合选项知A，B，D都不正确，只有C正确.
【分析】A选项由于题设没有说对于任意的x,y都成立，所以A选项错误；
B选项由于可以是部分的曲线C是方程f（x，y）=0满足的，所以B选项错误；
如果不在曲线C上，那么点的坐标必定不满足方程f（x，y）=0，所以C选项正确，D选项错误。
5．【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】结合图象定性分析，① 表示一条线段，线段上存在两点 ，使△ 为正三角形；② 表示圆 位于第二象限的一部分，不存在满足条件的点；③ 表示位于第四象限的一支双曲线，结合其对称性知存在满足条件的点.故答案为：C.
【分析】阅读理解型问题一定要理解题设的要求；题目所给的三条曲线要根据曲线方程与取值范围通过数形结合的思想方法作出图像；结合组成正三角形的条件即可判断。
6．【答案】D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】由 ，得 ，
∴ .
故答案为：D
【分析】直接根据坐标向量的模与数量积得到题设等量关系的方程。
7．【答案】D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】设 ，∵△ 为直角三角形，∴
∴ ，整理得 .
∵ 不共线，∴ ，∴轨迹方程为 ．
故答案为：D
【分析】可根据坐标向量垂直等价于数量积为0建立等量关系得到轨迹方程；或者根据圆周角定理直接得到圆心坐标与半径，直接写出轨迹圆的标准方程；也或者可根据Rt三角形的勾股定理建立等量关系。
8．【答案】B
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】设
则 .∵ ， ，
∴ 即 代入 ，得 ，
即 ，故答案为：B.
【分析】A,B坐标满足斜边为10的勾股定理可建立等量关系；A,B,M三点共线联立题设向量的等量关系可直接得到轨迹方程。
9．【答案】 或
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】设动点为 ，则由条件得 ，平方得 ，
当 时， ；当 时， ，所以动点的轨迹方程为 或 .
【分析】假设动点的坐标后，根据等量关系建立方程，即可得到答案。
10．【答案】
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】利用数形结合的思想方法，如图所示：
由图可知，交点有 个.
【分析】利用数形结合的思想画出函数图象（一定要注意参数的取值范围），根据图像的交点得到答案。
11．【答案】
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】设点 的坐标为 ， 点坐标为 ，则 ，则
又
故 .
，
故点 的轨迹方程为 .
【分析】构建平面直角坐标系，联立题设条件，通过坐标向量的共线与垂直得到轨迹方程。
12．【答案】（1）解：因为 ，而 .所以点 在方程表示的曲线上，点 不在方程表示的曲线上
（2）解：因为点 在方程 表示的曲线上，所以 解得 或
【知识点】曲线与方程
【解析】【分析】由方程可知这是圆的标准方程，可得到圆心坐标与半径的大小；
（1）将点代入方程看是否符合方程成立，若成立则说明点在曲线上，否则就不在；
（2）将点代入方程即可建立等量关系，根据等量关系得到参数m的解。
13．【答案】解：以 为原点，分别以直线 为 轴， 轴建立平面直角坐标系，则
，设 为轨迹上任意一点，则 ， ， ， .因为 ，
所以
化简，得 .所以所求轨迹方程为
【知识点】曲线与方程
【解析】【分析】在求轨迹方程时，首先建立适当的平面直角坐标系；根据题设条件把每个端点的坐标表示出来；再根据题设的等量关系联立，得到轨迹方程。
14．【答案】（1）解：设点 .
由 及两点间的距离公式，得 ， ①
将①式两边平方整理得 .
即所求曲线方程为
（2）解：由（1）得 ，表示圆心为 ，半径为 的圆.
（i）当过点 的直线的斜率不存在时，直线方程为 ，显然与圆相切；
（ii） 当过点 的直线的斜率存在时，设其方程为 ，
即 ，
由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，即
，解得 ，
此时直线方程为 ，
所以过点 且与曲线 相切的直线方程为 ，
【知识点】曲线与方程
【解析】【分析】（1）可根据题设所给的条件建立等量关系，直接得到曲线的方程；
（2）用点斜式假设直线方程时，必须要讨论斜率的存在问题；再根据题设的条件与所假设的直线方程得到最后答案。
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一、选择题
1．方程 表示的图形是（ ）
A．圆 B．两条直线 C．一个点 D．两个点
【答案】C
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【解答】由已知得 即 所以方程表示点 ．
故答案为：C
【分析】直接利用二次根式及平方的非负数性质得到答案。
2．方程 表示的曲线为图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】 ， ，为偶函数，图象关于 轴对称，故排除A，B.
又因为当 时， ；当 时， ，所以排除D.故答案为：C.
【分析】利用函数的定义域，奇偶性及绝对值的化简可得到函数的图象。
3．方程 表示的图形经过点 ， ， ， 中的（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】由方程 ，可知 ， 两点不符合题意；对于点 ， ，则有 ；对于点 ， .故答案为：C.
【分析】先根据对数函数的真数必须要满足正数，排除不符合的坐标；再把点代入方程检验是否成立，从而可得到答案。
4．已知坐标满足方程 的点都在曲线 上，那么（ ）
A．曲线 上的点的坐标都适合方程
B．凡坐标不适合 的点都不在 上
C．不在 上的点的坐标必不适合
D．不在 上的点的坐标有些适合 ，有些不适合
【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】根据题意可以举例方程 为 ，曲线 为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线 的一部分，结合选项知A，B，D都不正确，只有C正确.
【分析】A选项由于题设没有说对于任意的x,y都成立，所以A选项错误；
B选项由于可以是部分的曲线C是方程f（x，y）=0满足的，所以B选项错误；
如果不在曲线C上，那么点的坐标必定不满足方程f（x，y）=0，所以C选项正确，D选项错误。
5．已知点 ．若曲线 上存在两点 ，使△ 为正三角形，则称 为 型曲线．给定下列三条曲线：
① ；② ；③ ．
其中， 型曲线的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】结合图象定性分析，① 表示一条线段，线段上存在两点 ，使△ 为正三角形；② 表示圆 位于第二象限的一部分，不存在满足条件的点；③ 表示位于第四象限的一支双曲线，结合其对称性知存在满足条件的点.故答案为：C.
【分析】阅读理解型问题一定要理解题设的要求；题目所给的三条曲线要根据曲线方程与取值范围通过数形结合的思想方法作出图像；结合组成正三角形的条件即可判断。
6．已知两点 、 ，点 为坐标平面内的动点，满足 ，则动点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】由 ，得 ，
∴ .
故答案为：D
【分析】直接根据坐标向量的模与数量积得到题设等量关系的方程。
7．已知 ， ，则以 为斜边的直角三角形的直角顶点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】设 ，∵△ 为直角三角形，∴
∴ ，整理得 .
∵ 不共线，∴ ，∴轨迹方程为 ．
故答案为：D
【分析】可根据坐标向量垂直等价于数量积为0建立等量关系得到轨迹方程；或者根据圆周角定理直接得到圆心坐标与半径，直接写出轨迹圆的标准方程；也或者可根据Rt三角形的勾股定理建立等量关系。
8．一条线段的长等于 ，两端点 分别在 轴和 轴上滑动， 在线段 上且 ，则点 的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】设
则 .∵ ， ，
∴ 即 代入 ，得 ，
即 ，故答案为：B.
【分析】A,B坐标满足斜边为10的勾股定理可建立等量关系；A,B,M三点共线联立题设向量的等量关系可直接得到轨迹方程。
二、填空题
9．一动点到 轴距离比到点 的距离小 ，则此动点的轨迹方程为 .
【答案】 或
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】设动点为 ，则由条件得 ，平方得 ，
当 时， ；当 时， ，所以动点的轨迹方程为 或 .
【分析】假设动点的坐标后，根据等量关系建立方程，即可得到答案。
10．曲线 与曲线 的交点有 个．
【答案】
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】利用数形结合的思想方法，如图所示：
由图可知，交点有 个.
【分析】利用数形结合的思想画出函数图象（一定要注意参数的取值范围），根据图像的交点得到答案。
11．如图，在△ 中，已知 ， 于 ，△ 的垂心为 ，且 ，则点 的轨迹方程为 .
【答案】
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】设点 的坐标为 ， 点坐标为 ，则 ，则
又
故 .
，
故点 的轨迹方程为 .
【分析】构建平面直角坐标系，联立题设条件，通过坐标向量的共线与垂直得到轨迹方程。
三、解答题
12．已知方程
（1）判断 两点是否在此方程表示的曲线上；
（2）若点 在此方程表示的曲线上，求 的值．
【答案】（1）解：因为 ，而 .所以点 在方程表示的曲线上，点 不在方程表示的曲线上
（2）解：因为点 在方程 表示的曲线上，所以 解得 或
【知识点】曲线与方程
【解析】【分析】由方程可知这是圆的标准方程，可得到圆心坐标与半径的大小；
（1）将点代入方程看是否符合方程成立，若成立则说明点在曲线上，否则就不在；
（2）将点代入方程即可建立等量关系，根据等量关系得到参数m的解。
13．已知线段 与 互相垂直平分于点 ， 动点 满足 .求动点 的轨迹方程．
【答案】解：以 为原点，分别以直线 为 轴， 轴建立平面直角坐标系，则
，设 为轨迹上任意一点，则 ， ， ， .因为 ，
所以
化简，得 .所以所求轨迹方程为
【知识点】曲线与方程
【解析】【分析】在求轨迹方程时，首先建立适当的平面直角坐标系；根据题设条件把每个端点的坐标表示出来；再根据题设的等量关系联立，得到轨迹方程。
14．已知曲线 是动点 到两个定点 、 距离之比为 的点的轨迹.
（1）求曲线 的方程；
（2）求过点 且与曲线 相切的直线方程.
【答案】（1）解：设点 .
由 及两点间的距离公式，得 ， ①
将①式两边平方整理得 .
即所求曲线方程为
（2）解：由（1）得 ，表示圆心为 ，半径为 的圆.
（i）当过点 的直线的斜率不存在时，直线方程为 ，显然与圆相切；
（ii） 当过点 的直线的斜率存在时，设其方程为 ，
即 ，
由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，即
，解得 ，
此时直线方程为 ，
所以过点 且与曲线 相切的直线方程为 ，
【知识点】曲线与方程
【解析】【分析】（1）可根据题设所给的条件建立等量关系，直接得到曲线的方程；
（2）用点斜式假设直线方程时，必须要讨论斜率的存在问题；再根据题设的条件与所假设的直线方程得到最后答案。
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