13.4 课题学习 最短路径问题 教案
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文档简介
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课题学习 最短路径问题
一、内容和内容解析
1．内容
利用轴对称研究某些最短路径问题.
2．内容解析
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.
二、目标和目标解析
1.教学目标
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识．
2. 教学目标解析
学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．
三、教学问题诊断分析
最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.
对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路.
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用.
教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可告诉学生，证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（C点除外）都成立
本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．
四、教学过程设计
1．创设问题情境
问题1 如图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？说说你的理由.
师生活动：学生回答问题，说出理由：两点之间，线段最短.
【设计意图】让学生回顾“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备．
问题2：如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
师生活动：学生回答，连接AB，线段AB与l的交点即为泵站修建的位置．
【设计意图】让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫．
2．将实际问题抽象为数学问题
问题3 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？
【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念．
3．解决数学问题
问题4 如图，点A，B 在直线l 的同侧，在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？
师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.
如果学生有困难，教师可作如下提示：
（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小
（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持
（3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点吗？
师生共同完成作图，如下图.
作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．
【设计意图】教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.
4．证明AC +BC “最短”
问题4 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.
证明：如图，在直线l 上任取一点（与点C 不重合），连接AC′，BC′，．
由轴对称的性质知，
，．
∴，
．
在△中，，
∴ ．
即AC +BC 最短．
追问1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点（与点C但不重合）？
师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．
【设计意图】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．
追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
师生活动：学生回答，相互补充.
【设计意图】学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.
5．巩固练习
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
师生活动:学生分析解题思路，独立完成画图，教师适时点拨.
【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．
6．归纳小结
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
师生活动：教师引导，学生小结.
【设计意图】：引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.
7．布置作业：
教科书复习题13第15题．
五、目标检测设计
某实验中学八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的能力.
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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课题学习 最短路径问题
一、内容和内容解析
1．内容
利用轴对称研究某些最短路径问题.
2．内容解析
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.
二、目标和目标解析
1.教学目标
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识．
2. 教学目标解析
学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．
三、教学问题诊断分析
最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.
对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路.
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用.
教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可告诉学生，证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（C点除外）都成立
本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．
四、教学过程设计
1．创设问题情境
问题1 如图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？说说你的理由.
师生活动：学生回答问题，说出理由：两点之间，线段最短.
【设计意图】让学生回顾“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备．
问题2：如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
师生活动：学生回答，连接AB，线段AB与l的交点即为泵站修建的位置．
【设计意图】让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫．
2．将实际问题抽象为数学问题
问题3 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？
【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念．
3．解决数学问题
问题4 如图，点A，B 在直线l 的同侧，在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？
师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.
如果学生有困难，教师可作如下提示：
（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小
（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持
（3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点吗？
师生共同完成作图，如下图.
作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．
【设计意图】教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.
4．证明AC +BC “最短”
问题4 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.
证明：如图，在直线l 上任取一点（与点C 不重合），连接AC′，BC′，．
由轴对称的性质知，
，．
∴，
．
在△中，，
∴ ．
即AC +BC 最短．
追问1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点（与点C但不重合）？
师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．
【设计意图】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．
追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
师生活动：学生回答，相互补充.
【设计意图】学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.
5．巩固练习
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
师生活动:学生分析解题思路，独立完成画图，教师适时点拨.
【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．
6．归纳小结
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
师生活动：教师引导，学生小结.
【设计意图】：引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.
7．布置作业：
教科书复习题13第15题．
五、目标检测设计
某实验中学八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的能力.
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