第13章 轴对称 全章热门考点整合应用 课件（40张PPT）

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全章热门考点整合应用
第十三章 轴对称
1．被誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值．下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是(　　)
C
2．观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请画出其对称轴．
【点拨】判断两个图形是否成轴对称，关键是理解、应用两个图形成轴对称的定义，即看这两个图形能否沿一条直线折叠后重合．若能重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，否则不成轴对称．
解：题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称．题图①②③中成轴对称的两个图形的对称
轴如图所示．
3．如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的周长为24 cm，△ECF的周长为8 cm，求四边形纸片ABCD的周长．
解：由题意可知，△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称，所以AB＝AF，BE＝FE.
因为△AFD的周长为24 cm，△ECF的周长为8 cm，
即AD＋DF＋AF＝24 cm，FC＋CE＋FE＝8 cm，
所以四边形纸片ABCD的周长为AD＋DC＋BC＋
AB＝AD＋DF＋FC＋CE＋BE＋AB＝(AD＋DF＋
AF)＋(FC＋CE＋FE)＝24＋8＝32(cm)．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC.
∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°.
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°－36°＝54°.
(2)求证：FB＝FE.
5．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，点E在AD上，试说明：BD＋CD＝AD.
解：因为△ABC，△BDE均为等边三角形，
所以BE＝BD＝DE，AB＝BC，∠ABC＝∠EBD＝60°.
所以∠ABE＋∠EBC＝∠DBC＋∠EBC.
所以∠ABE＝∠DBC.
又因为AD＝AE＋ED，ED＝BD，所以BD＋CD＝AD.
A
【点拨】含30°角的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．
7．如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝60°，DC∥AB，且∠DBC＝∠BDC，CD＝4.
求：(1)∠CBD的度数；
解：在Rt△ADB中，∵∠A＝60°，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝30°.
∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD＝30°.
又∵∠DBC＝∠BDC，∴∠CBD＝30°.
(2)AB的长．
【点拨】含30°角的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．
如图，过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE，∵∠DBC＝∠BDC，∴BC＝CD.
又∵CM⊥BD，∴DM＝MB.
∴CE为线段BD的垂直平分线，∴DE＝EB，
∴△DEM≌△BEM.
∴∠EBM＝∠EDM＝∠CDM.
∴△CDM≌△EDM.
∴CD＝ED＝4.
∵∠DEA＝∠EDB＋∠EBD＝60°，∠A＝60°，∴∠DEA＝∠A.
∴AD＝DE＝4.
又∵∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，
∴AB＝2AD＝8.
8．如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在C′处，BC′与AD相交于点E.
(1)连接AC′，则AC′与BD的位置关系是____________；
AC′∥BD
(2)△EBD是等腰三角形吗？证明你的结论．
解：△EBD是等腰三角形．
证明：由折叠可知∠CBD＝∠EBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED.∴EBD是等腰三角形.
9．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接EC，ED.
求证：EC＝ED.
证明：如图，延长BD到点F，使BF＝BE，连接EF.
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，AB＝BC.
又∵BE＝BF，∴△BEF是等边三角形．
∴BE＝BF＝EF，∠F＝60°.
∴BE－AB＝BF－BC，即AE＝CF.
又∵AE＝BD，∴BD＝CF.
∴BD－CD＝CF－CD，即BC＝DF.
10．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M，试说明：AD垂直平分EF.
解：因为AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
所以DE＝DF.所以点D在线段EF的垂直平分线上．
又∵BE＝BF，∴△BEF是等边三角形．
∴BE＝BF＝EF，∠F＝60°.
∴BE－AB＝BF－BC，即AE＝CF.
因为∠FAD＝∠EAD，∠AFD＝∠AED＝90°，AD＝AD，所以△AFD≌△AED.所以AF＝AE.
所以点A在线段EF的垂直平分线上．
根据两点确定一条直线可知，直线AD即为线段EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF.
11．如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中确定学校的位置．
【点拨】三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等．找三角形中到三个顶点距离相等的点的方法就是找任意两边的垂直平分线的交点．
解：(1)连接AB，BC；
(2)分别作AB，BC的垂直平分线交于点P，则点P就是所要确定的学校的位置，如图．
12．如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大，并说明理由．
解：如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长交直线l于点C，则点C即为所求．
理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，
所以直线l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，
所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.
又因为点C′在直线l上，所以C′A＝C′A′.
在△A′BC′中，C′A′－C′B＜A′B，
所以C′A－C′B＜CA－CB.
13．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC的外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．
解：因为△ADB和△ACE都是等边三角形，
所以∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝60°＋
∠BAC＋60°＝120°＋∠BAC，∠DBC＝
60°＋∠ABC.
又因为∠DAE＝∠DBC，
所以120°＋∠BAC＝60°＋∠ABC，
即∠ABC＝60°＋∠BAC.
又因为AB＝AC，
所以∠ACB＝∠ABC＝60°＋∠BAC.
设∠BAC＝x°，因为∠BAC＋2∠ABC＝180°，
则x＋2(x＋60)＝180，解得x＝20.
所以∠ACB＝∠ABC＝60°＋∠BAC＝60°＋20°＝80°.
所以△ABC三个内角的度数分别为20°，80°，80°.
14．在等腰三角形ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，求∠B的度数．
【点拨】本题要求的是等腰三角形的内角，这类问题通常要分类讨论．怎样讨论是解题的重点和难点．本题巧妙地采用设未知数的方法，使得三个角都能用含未知数的式子来表示，再根据等腰三角形顶角、底角的情况进行分类讨论．
解：设∠B＝x°.
因为∠A比∠B的2倍少50°，所以∠A＝2x°－50°.
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠C＝180°－(2x°－50°)－x°＝230°－3x°.
当AB＝AC时(如图①)，此时有∠B＝∠C，则x＝230－3x.解得x＝57.5.
当AB＝BC时(如图②)，此时有∠A＝∠C，则2x－
50＝230－3x.解得x＝56.
当AC＝BC时(如图③)，此时有∠A＝∠B，则2x－
50＝x.解得x＝50.
综上所述，∠B的度数为57.5°或56°或50°.