2018-2019学年数学人教版九年级上册22.1.4 y=ax +bx+c的图象和性质 同步训练
一、选择题
1．抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
2．用配方法将 化成 的形式为（ ）
A． B．
C． D．
3．对二次函数y＝3x2－6x的性质及其图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为直线x＝1
C．顶点坐标为（1，－3） D．最小值为3
4．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，－3)，则代数式1＋a＋b的值为（ ）
A．－3 B．－1 C．2 D．5
5．下列关于抛物线 的描述不正确的是（ ）
A．对称轴是直线x= B．函数y的最大值是
C．与y轴交点是（0，1） D．当x= 时，y=0
6．若二次函数 的图像是开口向上的抛物线，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（ ，y1），点N（ ，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣ ＜a＜﹣ ．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2017·安阳模拟）若二次函数y=﹣x2+4x+c的图象经过A（1，y1），B（﹣1，y2），C（2+ ，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
二、填空题
9．已知二次函数y=﹣x2+ax﹣a+1的图象顶点在x轴上，则a= ．
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有 。
11．若二次函数 的图象经过点（-1，0），（1，-2），当 随 的增大而增大时， 的取值范围是 。
12．二次函数y＝2x2－4x＋5通过配方化为顶点式为y＝ ，其对称轴是 ，顶点坐标为 ．
13．对于二次函数 ，当 时的函数值与 时的函数值相等时， ．
14．二次函数 的图象经过原点，则a的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是 ．
三、解答题
16．用配方法把二次函数y＝ x2－4x＋5化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
17．已知二次函数y=﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
18．已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过（－1，0），（0，－3），（2，－3）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
19．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）．
（1）当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围．
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n=1，求点P的坐标．
20．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD的面积．
21．如图，抛物线y=﹣ x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】由原方程，得
y=（x﹣1）2，
∴该抛物线的顶点坐标是：（1，0）．
故答案为：A．
【分析】将二次函数的解析式转化为顶点式，就可求出顶点坐标。或将a、b、c的值代入顶点式计算即可。
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】在抛物线的解析式的右边加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，然后前三项利用完全平方公式分解因式，常数项合并在一起，即 y = x2 8x+12=x2 8x+16 16+12= (x 4)2 4.
3．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】A. 二次函数开口向上，不符合题意.
B.对称轴 不符合题意.
C.当 时， 顶点坐标为： 不符合题意.
D.二次函数的最小值为： 符合题意.
故答案为：D
【分析】首先将二次函数配成顶点式，根据顶点坐标式即可判断出其对称轴直线，顶点坐标，最值等问题，再根据二次项系数大于0，即可判断出抛物线的开口方向。
4．【答案】B
【知识点】代数式求值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】二次函数 的图象经过点
把点 代入二次函数的解析式，得：
故答案为：B
【分析】将点 ( 1 ， 3 ) 得出代入二次函数的解析式+b= 2.，再整体代入代数式即可算出答案。
5．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】
函数的最大值是 B符合题意.
故答案为：B
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式，根据顶点式即可得出其对称轴直线，函数的最值，再根据抛物线与y轴交点的坐标特点，求出其与y轴交点的坐标；根据抛物线上点的坐标特点，将x=-1代入解析式，即可算出对应的函数值，即可判断出答案。
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，∴2﹣m＞0，解得：m＜2．
故答案为：D
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系，由二次函数y=（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，知其二次项的系数应该要大于0，从而列出不等式，求解即可。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x= ＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），
对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），
∴x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正确；
③由于 ＜2＜ ，
且（ ，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（ ，y2），
∵ ＜ ，
∴y1＜y2，故③正确，
④∵ =2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴- ＜a＜- ，故④正确
故答案为：D
【分析】根据抛物线的开口向下得a＜0，又对称轴在y轴的右边，故b＞0，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，故c＞0，所以abc＜0；根据抛物线的对称性，由抛物线与x轴交于点A（-1，0）且对称轴为x=2，故抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0；由于 ＜2＜ ，且（ ，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（ ，y2），又＜，根据对称轴左侧，y随x的增大而增大，即可得出y1＜y2；根据抛物线的对称轴直线公式得出b=-4a，又x=-1，y=0，即a-b+c=0，故c=-5a，又2＜c＜3，从而得出.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=﹣x2+4x+c=﹣x2+4x﹣4+4+c，
=﹣（x﹣2）2+4+c，
∴二次函数对称轴为直线x=2，
∵2﹣1=1，
2﹣（﹣1）=3，
2+ ﹣2= ，
∴1＜ ＜3，
∴y2＜y3＜y1．
故答案为：C．
【分析】先求出抛物线的对称轴，a=-1，抛物线开口向下，当x＞2时，y随x增大而减小；当x＜2时，y随x增大而增大。根据A、B、C三点坐标，即可求出结果。
9．【答案】2
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】二次函数y=﹣x2+ax﹣a+1=-（x2-ax+ ）+ -a+1=-(x- )2+ ，
则二次函数的顶点坐标为（ ， ），
由二次函数的顶点在x轴上，
则 =0，解得a=2.
故答案为：2
【分析】首先将二次函数配成顶点式，得出顶点坐标，根据二次函数的顶点在x轴上，又x轴上的点的纵坐标为0，列出方程，求解得出a的值。
10．【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】根据图象可得a＞0，c＜0，对称轴为直线x=- ＞0，
①∵它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），
∴对称轴是直线x=1，
∴- =1，∴b+2a=0，故①错误；
②∵a＞0，- ＞0，∴b＜0，
又∵c＜0，∴abc＞0，故②错误；
③∵当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴c=b-a，
∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a）=2b-3a，又由①得b=-2a，
∴a-2b+4c=-7a＜0，故③正确；
④由图知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0，
又由①知b=-2a，∴8a+c＞0.故④正确.
故答案为：③④
【分析】先根据二次函数图象开口方向可得a>0，根据图象与y轴交点可得c<0，再根据二次函数的对称轴x=，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断①；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b<0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a-b+c=0，求出a-2b+4c<0，再利用当x=4时，y>0，则16a+4b+c>0，由①知，b=-2a，得出8a+c>0.
11．【答案】x>
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】将（-1，0），（1，-2）代入函数解析式得 解得
则函数解析式为y=x2-x-2=（x- ）2- ，
根据抛物线性质可知当x> 时，函数值y随x的增大而增大.
故答案为：x>
【分析】分别将（-1，0），（1，-2）代入函数解析式，得出关于B，C的二元一次方程组，求解得出b，c的值，从而求出抛物线的解析式，再将解析式配成顶点式，由于此函数的二次项系数大于0，图像开口向上，顶点右侧y随x的增大而增大，从而得出答案。
12．【答案】2(x－1)2＋3；x=1；(1，3)
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】二次函数y＝2x2－4x＋5化为顶点式为2(x－1)2＋3，所以，其对称轴是x=1，顶点坐标为(1，3)
【分析】二次函数y＝2x2－4x＋5=2（x2－2x）+5=2（x2－2x+1-1）+5=2(x－1)2＋3，根据顶点式即可得出对称轴直线，顶点坐标。
13．【答案】5
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】已知二次函数 ，当 时的函数值与 时的函数值相等，由此可得二次函数图象的对称轴为 ，即 ，可得
【分析】根据二次函数的对称性，由当 x = 2 时的函数值与 x = 8 时的函数值相等得出其对称轴是直线x=，根据对称轴直线公式即可列出方程，求解得出m的值。
14．【答案】-1
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】∵二次函数 的图象经过原点，
∴ ，解得： .
故答案为：-1
【分析】根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，根据二次函数的图象与系数的关系，由图象经过原点，可知常数项等于0，从而列出混合组，求解得出答案。
15．【答案】-2
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为（- ，- ）．
∵抛物线y=ax2过点B，
∴- =a（- ）2，
解得：b1=0（舍去），b2=-2．
故答案为：-2
【分析】由题意可知C点的坐标为（ ，），根据正方形的性质及抛物线对称轴上点的坐标特点，可得出B点的坐标为（ ，），将点B的坐标代入抛物线y=ax2，即可求出b的值，再检验即可得出答案。
16．【答案】解：∵y＝ x2－4x＋5＝ (x－4)2－3，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】提出二次项的系数，在括号内加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，利用完全平方公式将完全平方式分解因式，将剩下的常数项合并在一起，放在后边即可，根据顶点式，即可得出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
17．【答案】（1）解：∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2
（2）解：列表得：
x … -1 0 1 2 3 4 5 …
y … -5 0 3 4 3 0 -5 …
描点，连线．
（3）解：由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式，根据对称轴是过顶点（2，4）且平行于y轴的直线，从而得出答案；
（2）采用描点法，根据抛物线的对称性，列表的时候，自变量的取值，围绕顶点的横坐标，对称的取值，然后将自变量的值代入抛物线的解析式，算出对应的函数值；以每对自变量及对应的函数值，作为点的横纵坐标，在坐标平面内描出这些点；按自变量从小到大用平滑的曲线将这些点连起来，即可得出抛物线的图像，注意末端要延伸出去；
（3）根据图像求y＜0时，x的取值范围，就是看x轴下方图像自变量的取值范围，从而得出答案。
18．【答案】（1）解：把（-1，0），（0，-3），（2，-3）代入y=ax2+bx+c，
得：
解得： ，
则抛物线的解析式为y=x2-2x-3
（2）解：y=x2-2x-3=（x-1）2-4
∴抛物线的开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将已知三点坐标分别代入二次函数解析式，建立a、b、c的三元一次方程组，解方程组，即可得出抛物线的解析式。
（2）将（1）种所求的抛物线的解析式配方成顶点式，再直接写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
19．【答案】（1）解：将（1，0），（0，2）代入y=x2+bx+c得：
，
解得： ，
∴这个函数的解析式为：y=x2-3x+2=（x- ）2- ；
把x=-2代入y=x2-3x+2得，y=12，
∴y的取值范围是- ≤y≤12．
（2）解：∵点P（m，n）在该函数的图象上，
∴n=m2-3m+2，
∵m+n=1，
∴m2-2m+1=0，
解得m=1，n=0，
∴点P的坐标为（1，0）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出抛物线的顶点坐标，可得出x=时，y有最小值，再根据﹣2≤x≤2，求出x=-2时y有最大值，就可求出答案。
（2）将点P的坐标代入二次函数解析式，可得出n=m2-3m+2，再由m+n=1，可得出m2-2m+1=0，解方程求出m的值，然后求出n的值，就可得出点P的坐标。
20．【答案】（1）解：将A（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2+4中，得：0=4a+4，解得：a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4
（2）解：对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3．
∵抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4的对称轴为直线x=1，∴CD=1．
∵A（﹣1，0），∴B（3，0），即OB=3，则S梯形COBD= =6
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线y=a(x﹣1)2+4，即可求出a的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点求出C，的坐标，从而得出OC的长，根据抛物线的解析式得出对称轴直线，从而得出CD的长，根据抛物线的对称性由点A的坐标，求出点B的坐标，得出OB的长，根据梯形的面积公式即可算出答案。
21．【答案】（1）解：∵点A（1，0）在抛物线y=﹣ x2+bx+2上，∴﹣ +b+2=0，解得，b=﹣ ，
抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+2，y=﹣ x2﹣ x+2=﹣ （x+ ）2+ ，
则顶点D的坐标为（﹣ ， ）
（2）解：△ABC是直角三角形，证明：点C的坐标为（0，2），即OC=2， ﹣ x2﹣ x+2=0， 解得，x1=﹣4，x2=1，则点B的坐标为（﹣4，0），即OB=4，OA=1， ∴AB=5，
由勾股定理得，AC= ，BC=2 ， AC2+BC2=25=AB2， ∴△ABC是直角三角形
（3）解：由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b，
由题意得， ， 解得， ， 则直线BC的解析式为：y= x+2，
当x=﹣ 时，y= ， ∴当M的坐标为（﹣ ， ）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线y=﹣ x2+bx+2，求出b的值，从而即可求出抛物线的解析式；再将所得的解析式化为顶点式，即可求出D点的坐标；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点，求出C.B两点的坐标，从而得出OC，OB，OA，AB的长，根据勾股定理算出AC，BC，的长，根据勾股定理的逆定理，由 AC2+BC2=25=AB2得出结论：△ABC是直角三角形；
（3）由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小，利用待定系数法求出直线BC的解析式，由于对称轴上所有点的横坐标都相等，故将M点的横坐标x=-代入直线的解析式即可求出对应的纵坐标，从而得出M点的坐标。
1 / 12018-2019学年数学人教版九年级上册22.1.4 y=ax +bx+c的图象和性质 同步训练
一、选择题
1．抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】由原方程，得
y=（x﹣1）2，
∴该抛物线的顶点坐标是：（1，0）．
故答案为：A．
【分析】将二次函数的解析式转化为顶点式，就可求出顶点坐标。或将a、b、c的值代入顶点式计算即可。
2．用配方法将 化成 的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】在抛物线的解析式的右边加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，然后前三项利用完全平方公式分解因式，常数项合并在一起，即 y = x2 8x+12=x2 8x+16 16+12= (x 4)2 4.
3．对二次函数y＝3x2－6x的性质及其图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为直线x＝1
C．顶点坐标为（1，－3） D．最小值为3
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】A. 二次函数开口向上，不符合题意.
B.对称轴 不符合题意.
C.当 时， 顶点坐标为： 不符合题意.
D.二次函数的最小值为： 符合题意.
故答案为：D
【分析】首先将二次函数配成顶点式，根据顶点坐标式即可判断出其对称轴直线，顶点坐标，最值等问题，再根据二次项系数大于0，即可判断出抛物线的开口方向。
4．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，－3)，则代数式1＋a＋b的值为（ ）
A．－3 B．－1 C．2 D．5
【答案】B
【知识点】代数式求值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】二次函数 的图象经过点
把点 代入二次函数的解析式，得：
故答案为：B
【分析】将点 ( 1 ， 3 ) 得出代入二次函数的解析式+b= 2.，再整体代入代数式即可算出答案。
5．下列关于抛物线 的描述不正确的是（ ）
A．对称轴是直线x= B．函数y的最大值是
C．与y轴交点是（0，1） D．当x= 时，y=0
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】
函数的最大值是 B符合题意.
故答案为：B
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式，根据顶点式即可得出其对称轴直线，函数的最值，再根据抛物线与y轴交点的坐标特点，求出其与y轴交点的坐标；根据抛物线上点的坐标特点，将x=-1代入解析式，即可算出对应的函数值，即可判断出答案。
6．若二次函数 的图像是开口向上的抛物线，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，∴2﹣m＞0，解得：m＜2．
故答案为：D
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系，由二次函数y=（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，知其二次项的系数应该要大于0，从而列出不等式，求解即可。
7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（ ，y1），点N（ ，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣ ＜a＜﹣ ．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x= ＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），
对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），
∴x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正确；
③由于 ＜2＜ ，
且（ ，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（ ，y2），
∵ ＜ ，
∴y1＜y2，故③正确，
④∵ =2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴- ＜a＜- ，故④正确
故答案为：D
【分析】根据抛物线的开口向下得a＜0，又对称轴在y轴的右边，故b＞0，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，故c＞0，所以abc＜0；根据抛物线的对称性，由抛物线与x轴交于点A（-1，0）且对称轴为x=2，故抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0；由于 ＜2＜ ，且（ ，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（ ，y2），又＜，根据对称轴左侧，y随x的增大而增大，即可得出y1＜y2；根据抛物线的对称轴直线公式得出b=-4a，又x=-1，y=0，即a-b+c=0，故c=-5a，又2＜c＜3，从而得出.
8．（2017·安阳模拟）若二次函数y=﹣x2+4x+c的图象经过A（1，y1），B（﹣1，y2），C（2+ ，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=﹣x2+4x+c=﹣x2+4x﹣4+4+c，
=﹣（x﹣2）2+4+c，
∴二次函数对称轴为直线x=2，
∵2﹣1=1，
2﹣（﹣1）=3，
2+ ﹣2= ，
∴1＜ ＜3，
∴y2＜y3＜y1．
故答案为：C．
【分析】先求出抛物线的对称轴，a=-1，抛物线开口向下，当x＞2时，y随x增大而减小；当x＜2时，y随x增大而增大。根据A、B、C三点坐标，即可求出结果。
二、填空题
9．已知二次函数y=﹣x2+ax﹣a+1的图象顶点在x轴上，则a= ．
【答案】2
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】二次函数y=﹣x2+ax﹣a+1=-（x2-ax+ ）+ -a+1=-(x- )2+ ，
则二次函数的顶点坐标为（ ， ），
由二次函数的顶点在x轴上，
则 =0，解得a=2.
故答案为：2
【分析】首先将二次函数配成顶点式，得出顶点坐标，根据二次函数的顶点在x轴上，又x轴上的点的纵坐标为0，列出方程，求解得出a的值。
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有 。
【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】根据图象可得a＞0，c＜0，对称轴为直线x=- ＞0，
①∵它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），
∴对称轴是直线x=1，
∴- =1，∴b+2a=0，故①错误；
②∵a＞0，- ＞0，∴b＜0，
又∵c＜0，∴abc＞0，故②错误；
③∵当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴c=b-a，
∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a）=2b-3a，又由①得b=-2a，
∴a-2b+4c=-7a＜0，故③正确；
④由图知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0，
又由①知b=-2a，∴8a+c＞0.故④正确.
故答案为：③④
【分析】先根据二次函数图象开口方向可得a>0，根据图象与y轴交点可得c<0，再根据二次函数的对称轴x=，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断①；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b<0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a-b+c=0，求出a-2b+4c<0，再利用当x=4时，y>0，则16a+4b+c>0，由①知，b=-2a，得出8a+c>0.
11．若二次函数 的图象经过点（-1，0），（1，-2），当 随 的增大而增大时， 的取值范围是 。
【答案】x>
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】将（-1，0），（1，-2）代入函数解析式得 解得
则函数解析式为y=x2-x-2=（x- ）2- ，
根据抛物线性质可知当x> 时，函数值y随x的增大而增大.
故答案为：x>
【分析】分别将（-1，0），（1，-2）代入函数解析式，得出关于B，C的二元一次方程组，求解得出b，c的值，从而求出抛物线的解析式，再将解析式配成顶点式，由于此函数的二次项系数大于0，图像开口向上，顶点右侧y随x的增大而增大，从而得出答案。
12．二次函数y＝2x2－4x＋5通过配方化为顶点式为y＝ ，其对称轴是 ，顶点坐标为 ．
【答案】2(x－1)2＋3；x=1；(1，3)
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】二次函数y＝2x2－4x＋5化为顶点式为2(x－1)2＋3，所以，其对称轴是x=1，顶点坐标为(1，3)
【分析】二次函数y＝2x2－4x＋5=2（x2－2x）+5=2（x2－2x+1-1）+5=2(x－1)2＋3，根据顶点式即可得出对称轴直线，顶点坐标。
13．对于二次函数 ，当 时的函数值与 时的函数值相等时， ．
【答案】5
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】已知二次函数 ，当 时的函数值与 时的函数值相等，由此可得二次函数图象的对称轴为 ，即 ，可得
【分析】根据二次函数的对称性，由当 x = 2 时的函数值与 x = 8 时的函数值相等得出其对称轴是直线x=，根据对称轴直线公式即可列出方程，求解得出m的值。
14．二次函数 的图象经过原点，则a的值为 ．
【答案】-1
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】∵二次函数 的图象经过原点，
∴ ，解得： .
故答案为：-1
【分析】根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，根据二次函数的图象与系数的关系，由图象经过原点，可知常数项等于0，从而列出混合组，求解得出答案。
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是 ．
【答案】-2
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为（- ，- ）．
∵抛物线y=ax2过点B，
∴- =a（- ）2，
解得：b1=0（舍去），b2=-2．
故答案为：-2
【分析】由题意可知C点的坐标为（ ，），根据正方形的性质及抛物线对称轴上点的坐标特点，可得出B点的坐标为（ ，），将点B的坐标代入抛物线y=ax2，即可求出b的值，再检验即可得出答案。
三、解答题
16．用配方法把二次函数y＝ x2－4x＋5化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】解：∵y＝ x2－4x＋5＝ (x－4)2－3，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】提出二次项的系数，在括号内加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，利用完全平方公式将完全平方式分解因式，将剩下的常数项合并在一起，放在后边即可，根据顶点式，即可得出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
17．已知二次函数y=﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
【答案】（1）解：∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2
（2）解：列表得：
x … -1 0 1 2 3 4 5 …
y … -5 0 3 4 3 0 -5 …
描点，连线．
（3）解：由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式，根据对称轴是过顶点（2，4）且平行于y轴的直线，从而得出答案；
（2）采用描点法，根据抛物线的对称性，列表的时候，自变量的取值，围绕顶点的横坐标，对称的取值，然后将自变量的值代入抛物线的解析式，算出对应的函数值；以每对自变量及对应的函数值，作为点的横纵坐标，在坐标平面内描出这些点；按自变量从小到大用平滑的曲线将这些点连起来，即可得出抛物线的图像，注意末端要延伸出去；
（3）根据图像求y＜0时，x的取值范围，就是看x轴下方图像自变量的取值范围，从而得出答案。
18．已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过（－1，0），（0，－3），（2，－3）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）解：把（-1，0），（0，-3），（2，-3）代入y=ax2+bx+c，
得：
解得： ，
则抛物线的解析式为y=x2-2x-3
（2）解：y=x2-2x-3=（x-1）2-4
∴抛物线的开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将已知三点坐标分别代入二次函数解析式，建立a、b、c的三元一次方程组，解方程组，即可得出抛物线的解析式。
（2）将（1）种所求的抛物线的解析式配方成顶点式，再直接写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
19．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）．
（1）当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围．
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n=1，求点P的坐标．
【答案】（1）解：将（1，0），（0，2）代入y=x2+bx+c得：
，
解得： ，
∴这个函数的解析式为：y=x2-3x+2=（x- ）2- ；
把x=-2代入y=x2-3x+2得，y=12，
∴y的取值范围是- ≤y≤12．
（2）解：∵点P（m，n）在该函数的图象上，
∴n=m2-3m+2，
∵m+n=1，
∴m2-2m+1=0，
解得m=1，n=0，
∴点P的坐标为（1，0）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出抛物线的顶点坐标，可得出x=时，y有最小值，再根据﹣2≤x≤2，求出x=-2时y有最大值，就可求出答案。
（2）将点P的坐标代入二次函数解析式，可得出n=m2-3m+2，再由m+n=1，可得出m2-2m+1=0，解方程求出m的值，然后求出n的值，就可得出点P的坐标。
20．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD的面积．
【答案】（1）解：将A（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2+4中，得：0=4a+4，解得：a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4
（2）解：对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3．
∵抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4的对称轴为直线x=1，∴CD=1．
∵A（﹣1，0），∴B（3，0），即OB=3，则S梯形COBD= =6
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线y=a(x﹣1)2+4，即可求出a的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点求出C，的坐标，从而得出OC的长，根据抛物线的解析式得出对称轴直线，从而得出CD的长，根据抛物线的对称性由点A的坐标，求出点B的坐标，得出OB的长，根据梯形的面积公式即可算出答案。
21．如图，抛物线y=﹣ x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．
【答案】（1）解：∵点A（1，0）在抛物线y=﹣ x2+bx+2上，∴﹣ +b+2=0，解得，b=﹣ ，
抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+2，y=﹣ x2﹣ x+2=﹣ （x+ ）2+ ，
则顶点D的坐标为（﹣ ， ）
（2）解：△ABC是直角三角形，证明：点C的坐标为（0，2），即OC=2， ﹣ x2﹣ x+2=0， 解得，x1=﹣4，x2=1，则点B的坐标为（﹣4，0），即OB=4，OA=1， ∴AB=5，
由勾股定理得，AC= ，BC=2 ， AC2+BC2=25=AB2， ∴△ABC是直角三角形
（3）解：由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b，
由题意得， ， 解得， ， 则直线BC的解析式为：y= x+2，
当x=﹣ 时，y= ， ∴当M的坐标为（﹣ ， ）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线y=﹣ x2+bx+2，求出b的值，从而即可求出抛物线的解析式；再将所得的解析式化为顶点式，即可求出D点的坐标；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点，求出C.B两点的坐标，从而得出OC，OB，OA，AB的长，根据勾股定理算出AC，BC，的长，根据勾股定理的逆定理，由 AC2+BC2=25=AB2得出结论：△ABC是直角三角形；
（3）由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小，利用待定系数法求出直线BC的解析式，由于对称轴上所有点的横坐标都相等，故将M点的横坐标x=-代入直线的解析式即可求出对应的纵坐标，从而得出M点的坐标。
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