延安市第一高级中学2021-2022学年高二下学期期末考试
(理科)数学试题
（全卷150分；时间120分钟）
本试卷分为第一卷和第二卷两部分
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)
1．车上有6名乘客，沿途有3个车站，每名乘客可任选1个车站下车，则乘客不同的下车方法数为（ ）
A． B． C． D．
2．某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（ ）
A．6种 B．8种 C．9种 D．10种
3．甲、乙同时抛掷两枚骰子，正面向上的数字分别记作a、b，则下列说法错误的是（ ）
A．“a是奇数”是随机事件 B．“”与“”是互斥事件
C．”与“”是对立事件 D．“”与“”是相互独立事件
4．2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有支，冬奥会冰壶比赛的赛程安排如下，先进行循环赛，循环赛规则规定每支队伍都要和其余支队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照比赛规则决出前名进行半决赛，胜者决冠军，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是（ ）
A． B． C． D．
5．的展开式中含项的系数为（ ）
A． B．24 C． D．16
6．为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中，由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ）
附表：
0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.02 6.635 7.879 10.828
A．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物有效”
B．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物无效”
C．有99％以上的把握认为“药物有效”
D．有99％以上的把握认为“药物无效”
7．已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为，回归直线方程为，若，，则（ ）
A．9 B．4 C．-3 D．-6
8．某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（ ）
A．350 B．500 C．550 D．700
9．举世瞩目的第届冬奥会于年月日至月日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊位大学生志愿者前往、、、四个场馆服务，每个场馆至少分配一位志愿者.由于工作需要甲同学不能去场馆，则所有不同的安排方法种数为（ ）
A． B． C． D．
10．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
（附：，则，，）
A．2718 B．3413 C．4773 D．4987
11．展开式中常数项为（ ）.
A．11 B． C．8 D．
12．已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（ ）
A． B． C．2021 D．
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知随机变量，则___________.
14．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是____________．
15．2021年6月14日是中国的传统节日“端午节”，这天人们会吃粽子、赛龙舟．现有七个粽子，其中三个是腊肉馅，四个是豆沙馅，小明随机取两个，记事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个都是豆沙馅”，则______．
16．已知，则__________．
三、解答题（共70分，第17题10分，第18-22题各12分。解答应写出文字说明、推理过程或演算过程。）
17．(本题10分) 在某次1500米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为，，，求：
(1) 3人都通过体能测试的概率；
(2) 只有2人通过体能测试的概率；
(3) 至少有1人通过体能测试的概率.
18．(本题12分) 请从下列三个条件中任选一个，补充在下面已知条件中的横线上，并解答问题.①第2项与第3项的二项式系数之比是；②第2项与第3项的系数之比的绝对值为；③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大.
已知在的展开式中，___________.
(1) 求展开式中的常数项，并指出是第几项；
(2) 求展开式中的所有有理项.（注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.）
19．(本题12分) 一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球（假设取到任何—个小球的可能性相同）.
（1）求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；
（2）在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为，求随机变量的分布列及数学期望.
20．(本题12分) 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称礼让行人．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不礼让行人行为统计数据：
月份 1 2 3 4 5
违章驾驶员人数 120 105 100 95 80
(1)请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程；
(2)预测该路口9月份的不礼让行人违章驾驶员人数.
参考公式：．
21．(本题12分) 某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表：
女生 男生 合计
环境保护 80 40 120
社会援助 40 40 80
合计 120 80 200
(1)能否有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？
(2)以样本的频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生中随机抽取4人，记这4人中参加环境保护的人数为，求的分布列和期望．
附：，其中．
0.025 0.010 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
22．(本题12分) 某中学在全校进行了一次爱国主义知识竞赛，共1000名学生参加，答对题数（共60题）分布如下表所示：
答对题数
频数 10 185 265 400 115 25
答对题数近似服从正态分布，为这1000人答对题数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）．
(1)估计答对题数在内的人数（精确到整数位）；
(2)将频率视为概率，现从该中学随机抽取4名学生，记答对题数位于的人数为，求的分布列和数学期望．
附：若，则，，．答案第1页，共2页数学（理科）答案
一、选择题
1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．C 9．C 10．D
11．B 12．A
二、填空题
13． 14．0.92（） 15． 16．120
17．【解析】 (1)设事件表示“甲通过体能测试”，事件表示“乙通过体能测试”，事件表示“丙通过体能测试”，则由题意知：，，.
设表示事件“甲，乙，丙3人都通过体能测试”，即，
由事件，，相互独立，可得
………..3分
所以3人都通过体能测试的概率为.
(2)设表示事件“甲，乙，丙3人中只有2人通过体能测试”，则，由于事件，，，，，均相互独立，并且事件，，两两互斥，因此所求概率为
.……………..3分
所以只有2人通过体能测试的概率为.
(3)设表示事件“甲，乙，丙3人中至少1人通过体能测试”，
………………………………..4分
18．【解析】(1)由二项式知：展开式通项为，
①第2项与第3项的二项式系数分别为、，故，
∴，整理得，又，解得.
②第2项与第3项的系数分别为，，则有，解得.
③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大，可知.展开式共有7项，从而可知.
由上知：展开式通项为，
当，有时，常数项为……………6分
(2)由上知：的展开项通项为，要求有理项，可知，
∴有理项分别为，，，，即为 ……………….12分
19．【解析】（1）由题可知：取出的3个小球所有的结果数…2分
含有编号为4的结果数……………………………3分
所以所求得概率为 ………………………………………..4分
（2）所有得可能取值为：3，4，5 …………………………..6分
………………………………………………8分
所以的分布列为
所以 …………………………..12分
20．【解析】（1）由表中的数据可得：
，， …………………..2分
所以， …………………….4分
所以，
即所求的回归直线方程为 …………………………..6分
（2）由（1）令，则，
即该路口月份“不礼让行人”的违章驾驶人次预测为人次……..12分
21．【解析】（1）因为，……….2分
所以没有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关．…..4分
（2）由统计表得，女生参加环境保护的频率为，……………6分
故从女生中随机抽取1人，此人参加环境保护的概率为，
由题意知，， …………………..8分
则，．…………10分
的分布列为
0 1 2 3 4
故 ……………….12分
22．【解析】(1)根据题意，可得
，…….2分
所以． …………………………4分
又因为，，
所以，所以人．………….6分
故答对题数在内的人数约为954人．
(2)从该中学随机抽取1名学生，答对题数位于的概率为…….8分
由条件可知，的可能取值为0，1，2，3，4，……….9分
，
，
，
，
．
的分布列为
0 1 2 3 4
则．……………………………………………12分
