佳木斯市部分中学2021-2022学年高二下学期
数学期末答案
1．D
∵，，∴.
故选：D.
2．D
【详解】
由题意得，
所以切线的斜率，
所以，
又切点在切线上，代入可得
解得.
故选：D
3【答案】C
【详解】由随机变量均服从正态分布，，，
结合正态概率密度函数的图象，可得，，
即甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，
甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性.
故选：C.
4．C
根据题意，分2步完成，
第一步从4名护士中选2名安排到C医院，有种方法，
再将剩下的2名护士分派到A、B医院，有 种方法，
故护士的分派方法共有 种；
第二步将5名医生分派到3所医院，
若C医院安排3名，则有种方法，
若C医院安排2名，则有种方法，
故医生的分派方法共有 种方法，
则不同的分派方法共有 种，
故选;C
5．D
【详解】
纵式所表示的数字为、，横式所表示的数字为、，
在“〇”、“”、“” 、“”、“”按照一定顺序排成的三位数中，
百位数字可在或中任选一个，分以下三种情况讨论：
①零不选，则十位数字有种选择，个位数字只有种选择，此时三位数的个数为；
②零放在十位，则个位数只有种选择，此时三位数的个数为；
③零放在个位，则十位数有种选择，此时三位数的个数为.
由分类加法计数原理可知，三位数个数的总数为.
其中满足条件的三位数的奇数为：、、，共个，
因此，所求概率为.
故选：D.
6．A
【详解】
展开式的通项公式为，
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
据此可得：的系数为.
故选：A.
7．B
【详解】
解：若，则，
∴，
又当时，单调递增，∴．
反之不一定成立，“”不一定得出“”，
例如取，．则“”．
∴“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
8．A
【详解】
由题可得恒成立，
令，则，
当时，单调递增，函数的值域为R，不合题意，
当时，，不合题意，
当时，，由在上单调递增，
存在，使，即，
所以，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
设，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即
所以，即.
故选：A.
9．BD
【详解】
解：因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；
因为，，，
所以，故B正确；
同理，
所以，故A错误；
由于，故事件与事件不相互独立，故C错误．
故选：BD．
10．ACD
【详解】
解：对于，在残差图中，残差点比较均匀的分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好，选项正确；
对于，线性回归直线不一定经过样本数据中的一个点，它是最能体现这组数据的变化趋势的直线，选项错误；
对于，，选项正确；
对于，随机变量，若，则，选项正确；
综上可得，正确的选项为，，
故选：．
11．BD
【详解】
展开式的第项与第项的二项式系数相等，，则；
令，则，解得：；
展开式通项为：；
对于A，展开式的奇数项二项式系数和为，A错误；
对于B，展开式共有项，则二项式系数最大的项为第项，最大的二项式系数为；
由通项可知：展开式第项系数为，B正确；
对于C，令，解得：，则展开式第项为常数项，C错误；
对于D，令，解得：，展开式中含项的系数为，D正确.
故选：BD.
12．CD
【详解】
对于A：由函数，则，令，可得在上恒成立，则在上单调递增，而，故在上恒成立，即在上单调递减，故A错误；
对于B：因为，故存在，使得，所以，解得，所以当时，，即函数单调递减，当时，，即函数单调递增，
所以，因为，所以，故B错误；
对于C，因为函数与函数的图象关于直线对称，所以当直线分别和两函数图像相切时其距离最小.曲线与直线相切于点，函数与直线相切于点，则的最小值为，故C正确；
对于D，若对恒成立，则对恒成立，即
，可设，易可知在上单调递增，则
可化为，即，可设，，可知在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，则，解得，又因为，所以，故D正确.
故选：CD.
13．
【详解】
∵，，函数在时有极值0，
可得即 ，解得或，
若时，函数，
所以函数在上单调递增，函数无极值，故舍，
所以，所以
故答案为：．
14．
【详解】
由题得，为真命题，
所以当时，有解，
令，，
所以在区间上单调递增，
所以，
所以只需，即实数a的取值范围是.
故答案为：
15．8088
【详解】
对两边求导，
再令=可得，
.
故答案为：8088
16．
【详解】
，，当时，，单减；当时，单增；当时，，当时，，当时，，，画出大致图象，如图：
，故当时，，单减，当时，，单增，当时，，当时，，当时，，故将画出，如图所示：
由图可知，若，则；
若，，，因为，所以，即，即，
，令，因为，所以，构造，
，当时，，单增，当时，，单减，故，故的最大值是.
故答案为：；
17．(1)
(2)，
(1)
设所选3人中恰有1名女医生为事件M，，
故所选3人中恰有1名女医生的概率为.
(2)
，，．
18．(1)列联表答案见解析，，有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关；
(2)①；②.
【解析】
【分析】
（1）利用给定数据完善2×2列联表，计算的观测值即可求出n，再与临界值表比对作答.
（2）①利用分层抽样求出抽取的9人中男女生人数，再利用古典概型结合对立事件概率求解作答；②利用二项分布的期望公式计算作答.
(1)
2×2列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢 6n 5n 11n
不喜欢 4n 5n 9n
合计 10n 10n 20n
，而，于是得，
又，
所以有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关.
(2)
①采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，
再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为；
②由（1）知，任抽1人喜欢长跑的概率，
依题意，，所以X的数学期望是.
19．(1)更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型
(2)y关于x的回归方程为；
该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为miu/mL
(3)的分布列为
0 1 2 3
数学期望
【解析】
【分析】
小问1：由散点图即可做出选择；
小问2：对于非线性的回归方程，进行换元后转换为线性模型即可带公式求对应的值，求出回归方程后，便可以对进行估算；
小问3：对题干进行分析后可知，这个模型是超几何分布，带公式求对应概率即可列出分布列，然后求出数学期望.
(1)
根据散点图判断，更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型.
(2)
，，
设，则有，
，，
，
所以y关于x的回归方程为.
当时，，
则该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为miu/mL.
(3)
由表中数据可知，前三天的值小于50，故的可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
，
故的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望.
20．(1)
(2)过定点；
【解析】
【分析】
（1）由离心率可得，的关系，再由长轴长的值，求出的值，进而求出的值，求出椭圆的方程；
（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程、，，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线，的斜率之积，将、代入，由题意可得参数的关系，进而求出直线恒过的定点的坐标．
(1)
解：由离心率可得，
又由左、右顶点可得，所以，，
所以椭圆的方程为：；
(2)
解：由（1）可得，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
，即，可得，
且，，
，
整理可得，可得或，符合，
所以直线的方程为：或，
所以直线恒过或（舍去），
所以直线的方程为：，可得直线恒过点；
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，代入椭圆的方程，可得，
设，，则，解得或（舍，
所以直线恒过定点，
综上所述：直线恒过定点．
21由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），
当时，，∴在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时，令，解得：
∴当时，；当时，
∴f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减.
(2)
不妨设，则由得
即
令，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴在（0，+∞）上恒成立，
即又，∴
令，则
令，解得：或（舍）
∴当时，；当时，
∴m（x）在上单调递增，在上单调递减，
∴
∴a的取值范围为
22
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据极值点的定义可知方程有两个不等实根，即函数与图像有两个交点，利用导数研究函数的单调性求出的值域，结合图形即可得出结果；
(2)构造函数，根据导数研究它的单调性进而得，有，构造函数（），
利用导数证明，结合即可证明.
【小问1详解】
函数的定义域为，，
则方程有两个不同的正根，
即函数与图像有两个交点，
，令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，且当时，，
当时，，如图，
由图可知；
【小问2详解】
设，
则，
在单调递增，故，
即.
而，故，
又，，在单调递减，故，即；
由知；
由(1)知，，为函数的极值点，
当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
时，函数单调递减，
所以，故，
令（）.
，
，令，故当时，
单调递增，且，所以，故单调递减，
由，得，
即，即.
【点睛】破解含双参不等式证明题的3个关键点：
(1)转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.
(2)巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.
(3)回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
答案第1页，共2页佳木斯市部分中学2021-2022学年高二下学期
数学期末试题
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。
第Ⅰ卷（共60分）
单项选择题（40分，每题5分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3. 某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为，已知均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. 甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B. 甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C. 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D. 甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
4．2022年，上海面临疫情加重的压力．某省一医院从传染科选出5名医生和4名护士支援上海市的A、B、C三所医院开展防治工作，其中A、B医院都至少需要1名医生和1名护士，C医院至少需要2名医生和2名护士，则不同的分派方法共有（ ）
A．2160种 B．1920种 C．960种 D．600种
5．两千多年前我们的祖先就使用“算筹”表示数，后渐渐发展为算盘．算筹有纵式和横式两种排列方式，各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：
纵式 〇
横式
排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式纵式和横式依次交替出现．如“”表示，“〇”表示． 在“〇”、“”、“” 、“”、“”按照一定顺序排列成的三位数中任取一个，取到奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
7．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知函数，，曲线的图象上不存在点P，使得点P在曲线下方，则符合条件的实数a的取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则（ ）
A． B．
C．事件与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件
10．下列说法正确的是
A．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好
B．回归直线至少经过点，，，，，，中的一个
C．若，，则
D．设随机变量，若，则
11．已知的展开式的第项与第项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式的奇数项的二项式系数的和为 B．展开式的第项的系数与二项式系数相等且最大
C．展开式中不存在常数项 D．展开式中含项的系数为
12．已知函数，，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的最小值为2
C．若、，分别是曲线和上的动点，则的最小值为
D．若对恒成立，则<
三．填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数在时有极值0，则= ______ .
14．若命题为假命题，则实数a的取值范围是___________.
15．已知，则______．
16．已知函数，若存在实数使得，则的取值范围是___________；若，则的最大值是___________.
四．解答题
17．今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴上海新冠肺炎防治一线．
(1)求所选3人中恰有1名女医生的概率；
(2)设“男医生甲被选中”为事件A，“女医生乙被选中”为事件B，求和．
18．某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男女生人数均为，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得.
男生 女生 合计
喜欢
不喜欢
合计
(1)完成表格求出n值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性别有关；
(2)①为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；
②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对长跑喜欢的人数为X，求X的数学期望.
附表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
附：.
19．新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验．根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力．通过检测，用x表示注射疫苗后的天数，y表示人体中抗体含量水平（单位：miu/mL，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示．
天数x 1 2 3 4 5 6
抗体含量水平y 5 10 26 50 96 195
根据以上数据，绘制了散点图．
(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出到断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；
(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取3天的数据作进一步的分析，求其中的y值小于50的天数的分布列及数学期望．
参考数据：其中．
3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87
参考公式：；，．
20．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别是A，B，且．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知M，N是椭圆E上异于A，B的不同两点，若直线AM与直线AN的斜率之积等于-1，判断直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
已知函数
讨论f（x）的单调性；
(2)若对任意的不等正数，总有求实数a的取值范围.
22. 已知.
（1）若恒有两个极值点，（），求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，证明.
